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Baccalauréat 2016 - SAsieSérie S Obli. et Spé.23 juin 2016Correction Like Math93 on Facebook / Follow Math93 on Twitter

Remarque:dans la correction détaillée ici proposée, les questions des exercices sont presque intégralement réécrites pour

faciliter la lecture et la compréhension du lecteur. Il est cependant exclu de faire cela lors de l"examen, le temps est précieux! Il

est par contre nécessaire de numéroter avec soin vos questions et de souligner ou encadrer vos résultats. Pour plus de précisions

et d"astuces, consultez la page dédiée de math93.com : présenter une copie, trucs et astuces.

Exercice 1. Probabilités6 points

Commun à tous les candidats

Partie A

Notation proposées pour l"exercice.

Notons les évènements :A" la fleur vient de la serre A»,B"la fleur vient de la serre B » etF" la fleur vient donne un fruit».

Le maraîcher produit ses fraises dans deux serres A et B :55%dans la serra A,45%dans la B donc :

P(A) = 0,55etP(B) = 0,45

Dans la serre A, la probabilité de donner un fruit est de 0,88 et dans la serre B de 0,84 donc :

A(F) = 0,88;PB(F) = 0,84 =?PA?

F?= 0,12;PB?F?= 0,16

On peut résumer ces données dans un arbre :

A F F B F F

P(A) = 0,55

PA(F) = 0,88

PA?F?= 0,12

P(B) = 0,45

PB(F) = 0,84

PB?F?= 0,16

La probabilité qu"une fleur donne un fruit est 0,862.

Affirmation 1(Vraie)

Preuve

On chercheP(F)or d"après la formule des probabilités totales :

P(F) =P(F∩A) +P(F∩B)

P(F) =P(A)×PA(F) +P(B)×PB(F)

P(F) = 0,55×0,88 + 0,45×0,84

P(F) = 0,484 + 0,378

Soit p(F) = 0,862

L"affirmation 1 est donc vraie.

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Obli. et Spé. - 23 juin 2016

On constate qu"une fleur, choisie au hasard donne un fruit. Laprobabilitéqu"elle soit située dans la serre A , arrondie

au millième, est égale à 0,439.

Affirmation 2(Fausse)

Preuve

On a cherchePF(A)or :

F(A) =P(F∩A)

L"affirmation 2 est donc fausse.

Partie B

La masse (en gramme) d"une barquette est modélisée par une v.a.Xqui suit la loi normale d"espéranceμ= 250et

d"écart-typeσ.

237 263250μ

1313

0,14 0,14

On a donc d"après les propriétés de symétrie de la loi normale: Soit = 1-0,14-0,14 = 0,72

La probabilité de l"évènement "la masse de la barquette est comprise entre 237 et 263 grammes» est de 0,72.

2. On noteYla v.a. définie parY=X-250

2. a. Quelle est la loi de la variableY?

Soitμun réel etσun réel strictement positif.

La variable aléatoireXsuit la loi normaleN?μ;σ2?si et seulement si, la variable aléatoireY=X-μ

σsuit la loi

normale centrée réduiteN(0 ; 1).

Propriété 1

Donc ici, puisqueXsuit la loi normaleN?250 ;σ2?, la v.a.Y=X-250 σsuit la loi normale centrée réduiteN(0 ; 1). www.math93.com /www.mathexams.frc?ISSN 2272-53182/10

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2. b. Démontrer queP?

= 0,14.

On cherche ici une valeur approchée à10-0deσsachant d"après la question(B.1.)queP(237?X?263) = 0,72, or :

P(237?X?263) = 0,72??P?237-250

σ?X-250σ?263-250σ?

= 0,72 ??P?-13

σ?Y?13σ?

= 0,72 Or la v.a.Zsuit la loi normale centrée réduite et on rappelle que : SoitYune v.a. qui suit la loi normale centrée réduiteN(0 ; 1).

2. b. 2.Pour tout réelaon a :

(2) : Φ(-a) = 1-Φ(a)

-aa a 0a

Propriété 2

De ce fait en appliquant la relation (3) de la propriété 2 :

P(237?X?263) = 0,72??P?-13

σ?Y?13σ?

= 0,72 ??2Φ?13 -1 = 0,72 ??Φ?13 =0,72 + 12= 0,86 On applique alors la relation (2) de la propriété 2 : -13 = 1-Φ?13σ? -13 = 1-0,86 ??P? = 0,14 P = 0,14

2. c. En déduire la valeur deσarrondie à l"entier.

La calculatrice nous donne alors avec la fonction répartition normale réciproque :

Y≂N(0 ; 1) =? -13

σ≈ -1,0803319

Soit arrondi à l"unité :

σ≈12

Calculatrices

?Sur la TI Voyage 200 : TIStat.invNorm(0,14,0,1)≈ -1,0803319 ?Sur TI82/83+ : invNorm(0,14,0,1)ou (fr.) FracNormale(0,14,0,1) ?Sur Casio 35+ ou 75 : Menu STAT/DIST/NORM/InvN?InvNormCD(0,14,1,0) www.math93.com /www.mathexams.frc?ISSN 2272-53183/10

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3. On admet queσvaut 12. On désigne parmetndes entiers.

3. a. Une barquette est conforme si sa masse se trouve dans l"intervalle[250-n; 250 +n]. Déterminer la plus petite

valeur denpour qu"une barquette soit conforme, avec une probabilité supérieure ou égale à95%.

Notons que plusnest grand, plus la probabilité est grande et donc si on trouveun entiernqui vérifie l"égalité, ce dernier

conviendra. On peut procéder comme lors de la question(2.). = 0,95 Alors d"après la propriété 1,≂N(0 ; 1): ??P?-n = 0,95 Soit

2Φ?n

12? -1 = 0,95??Φ?n12? =0,95 + 12= 0,975

On cherche

12tel queP?

= 0,975oùYqui suit une loi normaleN?0 ; 12?. La calculatrice nous donne alors avec la répartition normale réciproque, arrondi à10-3près : P 12? = 0,975??n12≈1,960

Calculatrices

?Sur la TI Voyage 200 : TIStat.invNorm(0.975,0,1)≈1,959964 ?Sur TI82/83+ : invNorm(0.975,0,1)ou (fr.) FracNormale(0.975,0,1) ?Sur Casio 35+ ou 75 : Menu STAT/DIST/NORM/InvN?InvNormCD(0.975,1,0)

De ce fait on a puisquenest entier :

12×1,960≈23,5 =?n= 24

Remarque: On peut vérifier que

3. b. On considère qu"une barquette est conforme si sa masse est dans l"intervalle[230 ;m]. Déterminer la plus petite

valeur dempour qu"une barquette soit conforme , avec une probabilité supérieure ou égale à95%.

D"après les propriété de la loi normale :

Donc on cherchentel que :

La variableXsuit une loi normaleN?250 ; 122?. La calculatrice nous donne alors avec la répartition normale réciproque,

arrondi à l"entier supérieur :

Calculatrices

?Sur la TI Voyage 200 : TIStat.invNorm(0.99779,250,12)≈284,15824 ?Sur TI82/83+ : invNorm(0.99779,250,12)ou (fr.) FracNormale(0.99779,250,12) ?Sur Casio 35+ ou 75 : Menu STAT/DIST/NORM/InvN?InvNormCD(0.99779,12,250)

Remarque: On peut vérifier que

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Exercice 2. Fonction (EPI)3 points

Commun à tous les candidats

Soitaun réel compris entre 0 et 1. On notefala fonction définie surRparfa(x) =aeax+a, etI(a) =?

1 0 f a(x)dx.

1. On posea= 0. DéterminerI(0).

f a(x) =aeax+a=?f0(x) = 0 =?I(0) = 0

2. On pose dans cette questiona= 1.

2. a. Sans étude, représenterf1et faire apparaitreI(1).

f 1:?

R-→R

x?-→f1(x) =ex+ 1etI(1) =? 1 0 f

1(x)dx=?

1 0 (ex+ 1)dx 1234

1 2 3 4-1-2-3-4-5I(1)

2. b. CalculerI(1).

Une primitive de la fonctionx?-→ex+ 1estx?-→ex+xdonc :

I(1) =?

1 0 (ex+ 1)dx=?ex+x?10=e+ 1 + 1-1 =e

3. Existe-t-il une valeur deapour laquelleI(a)est égale à 2? Donnez-en un encadrement au millième.

Une primitive de la fonctionx?-→fa(x) =aeax+aestx?-→eax+axdonc :

I(a) =?

1 0 (aeax+a)dx=?eax+ax?10=ea+a-1-0 Donc

I(a) =ea+a-1

On cherche donc si il existeatel queI(a) =ea+a-1 = 2, pour cela on va étudier la fonctionIsur l"intervalle [0; 1].

La fonctionIest dérivable sur[0 ; 1]et on obtient facilement : ?a?[0 ; 1] ;I?(a) =ea+ 1>0

La positivité de l"exponentielle implique donc que la fonction dérivéeI?est strictement positive. La fonctionIest donc

strictement croissante sur[0 ; 1].

I(0) = 0etI(1) =e≈2,7

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Signe deI?(x)

I0 1 00 ee 2 Sifest une fonction définie,continueet strictementmonotonesur un intervalle[a;b], alors, pour tout réelkcompris entref(a)etf(b), l"équationf(x) =kadmet une unique solution dans[a;b]. autrichien Bernard Bolzano (1781-1848). Théorème 1(Corollaire du théorème des valeurs intermédiaires)

Application du corollaire sur[0; 1]:

-La fonctionIestcontinueetstrictement croissantesur l"intervalle[0; 1]; -L"image parIde l"intervalle[0; 1]est[I(0);I(1)]d"après le tableau de variations. -On a :

I(0) = 0<2< I(1) =e≈2,7

Donc, d"après lecorollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l"équationI(x) = 2admet une solution uniqueαsur l"intervalle[0; 1]. - Valeur approchée. Pour avoir un encadrement deα, on peut utiliser la fonction TABLE de la calculatrice. ?Avec un pas deΔ = 0.001on obtient :?

I(0,792)≈1,9998<2

I(0,793)≈2,0030>2?????

, donc0,792< α <0,793. Une valeur approchée deαà0.001près est doncα≈0,793 www.math93.com /www.mathexams.frc?ISSN 2272-53186/10

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Exercice 3. Suite7 points

Commun à tous les candidats

Partie A

On définit la suite(un)pour tout entiernpar :?

0= 1000

u n+1= 1,2un-100. 1.

1. a. Expliquer en quoi ce modèle correspond à la situation.

Si on noteunla masse en g de bactérie au journ, alors on au0= 1000.Le jour(n+1),la masse augmentede20%par rapport

à celleundu jour d"avant et on perd 100 g. Augmenter de20%, c"est multiplier par1,2soit pour tout entiern:

u n+1= 1,2un-100

1. b. L"entreprise souhaite savoir au bout de combien de jours la masse de bactéries dépassera 30 kg . A l"aide de la

calculatrice, donner la réponse à ce problème. n2223 un28 103.0733 623.69 C"est donc le23ejour que la masse de bactéries dépassera 30 kg.

1. c. Recopier et compléter cet algorithme.

Variables :uetnsont des nombres

Traitement :uprend la valeur 1 000

nprend la valeur 0 uprend la valeur1,2u-100 nprend la valeurn+ 1

Fin Tant que

Sortie :Affichern

2. a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier natureln,un≥1000.

Notons pour tout entier natureln≥0le postulat (Pn) :un≥1000 InitialisationPourn= 0, le postulat(P0)est vrai puisque : u

0= 1000≥1000

HéréditéSupposons que pournentier fixé,(Pn)soit vérifié et montrons qu"alors il est aussi vrai au rangn+ 1. On a donc :

u n≥1000 En multipliant les deux membres par1,2et en retranchant 100 on obtient

1,2un-100?

u n+1≥1,2×1000-100 = 1100 u n+1≥1100≥1000 On a alors montré queun+1≥1000et donc que(Pn+1)est vrai. www.math93.com /www.mathexams.frc?ISSN 2272-53187/10

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ConclusionOn a montré que(P0)est vrai. De plus, si l"on suppose le postulat(Pn)vérifié, alors il l"est aussi au rang suivant,

(Pn+1)est vrai. De ce fait la relation est vrai pour tout entiern≥0. u n≥1000

2. b. Démontrer que la suite(un)est croissante.

Pour tout entiernon a :

u n+1-un= 1,2un-100-un = 0,2un-100 Or on a montré lors de la question (2.a.) que?n?N;un≥1 000soit u n+1-un= 0,2un-100≥0,2×1 000-100 u n+1-un≥200-100 = 100 u n+1-un>0

La suite

(un)estcroissante.

3. On définit la suite(vn)par : pour tout entiern,vn=un-500.

quotesdbs_dbs13.pdfusesText_19

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Exercice 1. Probabilités6 points

Commun à tous les candidats

Partie A

Notation proposées pour l"exercice.

P(A) = 0,55etP(B) = 0,45

A(F) = 0,88;PB(F) = 0,84 =?PA?

F?= 0,12;PB?F?= 0,16

On peut résumer ces données dans un arbre :

P(A) = 0,55

PA(F) = 0,88

PA?F?= 0,12

P(B) = 0,45

PB(F) = 0,84

PB?F?= 0,16

Affirmation 1(Vraie)

Preuve

P(F) =P(F∩A) +P(F∩B)

P(F) =P(A)×PA(F) +P(B)×PB(F)

P(F) = 0,55×0,88 + 0,45×0,84

P(F) = 0,484 + 0,378

L"affirmation 1 est donc vraie.

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Affirmation 2(Fausse)

Preuve

On a cherchePF(A)or :

F(A) =P(F∩A)

L"affirmation 2 est donc fausse.

Partie B

237 263250μ

0,14 0,14

2. On noteYla v.a. définie parY=X-250

2. a. Quelle est la loi de la variableY?

σsuit la loi

Propriété 1

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2. b. Démontrer queP?

P(237?X?263) = 0,72??P?237-250

σ?X-250σ?263-250σ?

σ?Y?13σ?

2. b. 2.Pour tout réelaon a :

(2) : Φ(-a) = 1-Φ(a)

Propriété 2

P(237?X?263) = 0,72??P?-13

σ?Y?13σ?

2. c. En déduire la valeur deσarrondie à l"entier.

Y≂N(0 ; 1) =? -13

σ≈ -1,0803319

Soit arrondi à l"unité :

σ≈12

Calculatrices

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3. On admet queσvaut 12. On désigne parmetndes entiers.

3. a. Une barquette est conforme si sa masse se trouve dans l"intervalle[250-n; 250 +n]. Déterminer la plus petite

2Φ?n

On cherche

12tel queP?

Calculatrices

De ce fait on a puisquenest entier :

12×1,960≈23,5 =?n= 24

Remarque: On peut vérifier que

3. b. On considère qu"une barquette est conforme si sa masse est dans l"intervalle[230 ;m]. Déterminer la plus petite

Donc on cherchentel que :

Calculatrices

Remarque: On peut vérifier que

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Exercice 2. Fonction (EPI)3 points

Commun à tous les candidats

1. On posea= 0. DéterminerI(0).

2. On pose dans cette questiona= 1.

2. a. Sans étude, représenterf1et faire apparaitreI(1).

R-→R

1(x)dx=?

1 2 3 4-1-2-3-4-5I(1)

2. b. CalculerI(1).

I(1) =?

(2) : Φ(-a) = 1-Φ(a)