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A. P. M. E. P.

?Corrigé du baccalauréat S - Asie 23 juin 2016?

EXERCICE1 Commun à tousles candidats 5 points

PartieA : productionde fraises

On appelle :

•Al"évènement "la fleur de fraisier vient de la serre A»; •Bl"évènement "la fleur de fraisier vient de la serre B»; •Fl"évènement "la fleur de fraisier donne une fraise»;

Fl"évènement contraire deF.

On résume les données du texte dans un arbre pondéré : A 0,55 F0,88

F1-0,88=0,12

B

0,45F0,84

F1-0,84=0,16

Proposition1 :

La probabilité qu"une fleur de fraisier, choisie au hasard dans cette exploitation, donne un fruit

est égale à 0,862.

D"après les notations, on cherche la probabilité de l"évènementF; d"après la formule des proba-

bilités totales :

La proposition1 est vraie.

Proposition2 :

On constate qu"une fleur, choisie au hasard dans cette exploitation, donne une fleur.

La probabilité qu"elle soit située dans la serre A, arrondieau millième, est égale à 0,439.

On cherche la probabilité que la fleur provienne de la serre A sachant qu"elle a donné une fraise :

P

F(A)=P(A∩F)

P(F)=0,55×0,880,862≈0,561?=0,439

La proposition2 est fausse.

PartieB : conditionnementdes fraises

Les fraises sont conditionnées en barquettes. La masse (exprimée en gramme) d"une barquette

peut être modélisée par une variable aléatoireXqui suit la loi normale d"espéranceμ=250 et

d"écart-typeσ.

1.On donneP(X?237)=0,14.

On complète le graphique donné dans l"énoncé. On constate que 237=250-13=μ-13 et 263=250+13=μ+13. on a :

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

200210220230240250260270280290300237 263

P(X?237)=P(X?263) (parties grisées sur la figure). La probabilité de l"évènement " la masse de la barquette est comprise entre 237 et 263 grammes» est 0,72.

2.On noteYla variable aléatoire définie par :Y=X-250

a.D"aprèslecours,lavariablealéatoireYsuitlaloinormaled"espérance 0etd"écart-type

1 (la loi normale centrée réduite).

b.On sait queσest un nombre strictement positif; donc :

X?237??X-250?237-250??X-250

σ?-13σ??Y?-13σ

CommeP(X?237)=0,14, on en déduit queP?

Y?-13 =0,14. c.PourYsuivant la loi normale centrée réduite, on chercheβtel queP(Y?β)=0,14; la calculatrice donne pour résultat environ-1,08. On a donc :-1,08= -13

σet donc :

σ≈12.

a.Une barquette est conforme si sa masse, exprimée en gramme, se trouve dans l"inter- valle [250-n; 250+n]. D"après le cours, pour toute loi normale,P(μ-2σ?X?μ+2σ)≈0,95; donc P(250-2×12?X?250+2×12)≈0,95 ou encoreP(250-24?X?250+24)≈0,95. Sin?>n, alors[250-n; 250+n]?[250-n?; 250+n?]et donc

P(X?[250-n; 250+n]) Doncn=24 est le plus petit entier tel queP(250-n?X?250+n). en gramme,se trouve dans l"intervalle[230;m]. Cherchonsmpour queP(230?X?m) soit égal à 0,95. D"après le cours, on sait queP(230?X?m)=P(X?m)-P(X<230). En utilisant la calculatrice, on trouve queP(X<230)≈0,0478. À la calculatrice, siXsuit la loi normale d"espérance 250 et d"écart-type 12, le nombre mtel queP(X?m)≈0,9978 vaut environ 284,2. Donc la plus petite valeur dempour laquelle la probabilité que la masse de la bar- quette se trouve dans l"intervalle[230 ;m]soit supérieure ou égale à 0,95 estm=285.

Asie223 juin 2016

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

EXERCICE2 Commun à tousles candidats 3 points

Soitaun nombre réel compris entre 0 et 1. On notefala fonction définie surRpar : f a(x)=aeax+a. On noteI(a) l"intégrale de la fonctionfaentre 0 et 1 :I(a)=? 1 0 f(x)dx.

1.On pose dans cette questiona=0.

f

0(x)=0 doncI(0)=?

1 0 0dx=0

2.On pose dans cette questiona=1.

On étudie donc la fonctionf1définie surRpar :f1(x)=ex+1. a.On représente la fonctionf1dans un repère orthogonal :

1 2 3 4-1-2-3-4-5

-11

23450 1 2 3 4012345

On connaît la représentation graphique de la fonction exponentielle donc on peut, sans

étude, représenter la fonction f

1. b.La fonctionF1définie parF1(x)=ex+xest une primitive de la fonctionf1.

DoncI(1)=?

1 0 f(x)dx=? F 1(x)? 1

3.On cherche s"il existe une valeur deapour laquelleI(a) est égale à 2.

La fonctionFdéfinie surRparFa(x)=eax+axest une primitive def.

DoncI(a)=?

1 0 fa(x)dx=Fa(1)-Fa(0)=(ea+a)-(e0+0)=ea+a-1 Soitgla fonction définie sur[0; 1]parg(x)=ex+x-1. gest dérivable donc continue etg?(x)=ex+1>0 sur[0; 1]. g(0)=e0+0-1=0<2 etg(1)=e1+1-1=e≈2,72>2 La fonctiongest continue et strictement croissante sur[0; 1];g(0)<2 etg(1)>2 donc, d"après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l"équationg(x)=2 admet une solution unique dans l"intervalle[0; 1]. Il existe donc une valeur unique deadans[0; 1]telle queI(a)=2.?f(0,7)≈1,71<2 f(0,8)≈2,03>2=?a?[0,7; 0,8]?f(0,79)≈1,99<2 f(0,80)≈2,03>2=?a?[0,79; 0,80]

Asie323 juin 2016

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

EXERCICE3 Communà tous les candidats 7 points

PartieA : premier modèle - avecune suite

On modélise l"évolution de la population de bactéries dans la cuve par la suite (un) définie de la

façon suivante : u

0=1000 et, pour tout entier natureln,un+1=1,2un-100.

1. a.On appelleunla masse, en gramme, des bactéries présentes dans la cuve, etnrepré-

sente le nombre de jours depuis le début du processus. On a doncu0=1000 puis- qu"initialement, on introduit 1 kg soit 1000 grammes de bactéries. D"un jour à l"autre, le nombre de bactéries augmente de 10%, c"est donc qu"il est mul- tiplié par 1+20

100=1,2. Chaque jour, en remplaçant le milieu nutritif, on perd 100

grammes de bactéries.

Donc, pour toutn,un+1=1,2un-100 avecu0=1000.

b.L"entreprise souhaite savoir au bout de combien de jours la masse de bactéries dépas- sera 30 kg soit 30000 g.

On cherche le plus petit entierntel queun>30000.

À la calculatrice, on trouveu22≈28103 etu23≈33624; donc on dépasse 30 kg de bac- téries à partir de 23 jours. c.On complète l"algorithme :

Variablesuetnsont des nombres

uprend la valeur 1000 nprend la valeur 0

TraitementTant queu?30000faire

uprend la valeur1,2×u-100 nprend la valeurn+1

Fin Tant que

SortieAffichern

2. a.SoitPnla propriétéun?1000.

•u0=1000?1000 donc la propriété est vraie pourn=0. • On suppose la propriété vraie pour un rang quelconquep?N,p?0, c"est-à-dire u p?1000. u p+1=1,2up-100;up?1000 donc 1,2up?1200 donc 1,2up-100?1100. Donc1,2up-100?1000 etonadémontré quelapropriété étaitvraie aurangp+1.

• La propriété est vraie au rang 0, elle est héréditaire pour toutn?0, donc d"après le

principe de récurrence elle est vraie pour toutn?0.

Pour toutn,un?1000.

b.Pour toutn,un+1-un=1,2un-100-un=0,2un-100 Or, pour toutn,un?1000 donc 0,2un?200 et donc 0,2un-100?100 On a donc démontré que, pour toutn,un+1-un>0.

On peut donc dire que la suite

(un)est croissante.

3.On définit la suite (vn) par : pour tout entier natureln,vn=un-500 donc,un=vn+500.

v

0=u0-500=1000-500=500

Donc la suite

(vn)est géométrique de raisonq=1,2 et de premier termev0=500.

Asie423 juin 2016

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

b.On déduit de la question précédente que, pour toutn,vn=v0×qn=500×1,2n. Comme, pour toutn,un=vn+500, on en déduit queun=500+500×1,2n. c.La suite(vn)est géométrique de raison 1,2 et de premier terme positif; or1,2>1 donc, d"après le cours, limn→+∞vn=+∞. Pour toutn,un=vn+500 donc limn→+∞un=+∞

PartieB : secondmodèle - avecune fonction

Soitfla fonction définie sur[0 ;+∞[parf(t)=50

1+49e-0,2t.

1. a.f(0)=50

1+49e0=501+49=1

b.Pour toutt, e-0,2t>0 donc 1+49e-0,2t>1 et donc1

1+49e-0,2t<1

On en déduit que

50

1+49e-0,2t<50 et donc que, pour toutt,f(t)<50.

c.La fonctiont?-→ -0,2test décroissante surR. La fonctionx?-→exest croissante sur Rdonc, par composition, la fonctiont?-→e-0,2test décroissante surR. On en déduit que la fonctiont?-→1+49e-0,2test décroissante surR. La fonction inverse est décroissante sur]0 ;+∞[donc, par composition, la fonction t?-→1

1+49e-0,2test croissante surR.

On en conclut que la fonctionfest croissante surRdonc sur[0 ;+∞[.

d.limt→+∞-0,2t=-∞; on poseT=-0,2t. Or limT→-∞eT=0 donc limt→+∞e-0,2t=0.

On en déduit que lim

t→+∞1+49e-0,2t=1 et donc que limt→+∞f(t)=50.

2.On sait quef(t) représente la masse, en kg, de bactéries au tempst, exprimé en jours.

•f(0)=1 signifie que la masse des bactéries à l"instantt=0 est de 1 kg; •f(t)<50 pour touttsignifie que la masse de bactéries dans la cuve sera toujours infé- rieure à 50 kg; •fest croissante signifie que la masse de bactéries augmente régulièrement au fil du temps; • lim

3.On résout l"inéquation d"inconnuet:f(t)>30 :

f(t)>30??50quotesdbs_dbs27.pdfusesText_33