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S Polynésie juin 2013
Exercice 4 Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité 5 pointsUn opérateur téléphonique A souhaite prévoir l'évolution du nombre de ses abonnés dans
une grande ville par rapport à son principal concurrent B à partir de 2013. En 2013, les opérateurs A et B ont chacun 300 milliers d'abonnés. Pour tout entier naturel n, on note an le nombre d'abonnés, en milliers, de l'opérateur A lanième année après 2013, et bn le nombre d'abonnés, en milliers, de l'opérateur B la nième
année après 2013.Ainsi a0= 300 et b0= 300.
Des observations réalisées les années précédentes conduisent à modéliser la situation par la
relation suivante : pour tout entier naturel n {an+1=0,7an+0,2bn+60 bn+1=0,1an+0,6bn+70On considère les matrices M =
(0,70,20,10,6) et P = (60
70)Pour tout entier naturel n, on note
Un= (an
bn)1. a. Déterminer U1 b. Vérifier que, pour tout entier naturel n,Un+1=M×Un+P2. On note I la matrice
(1001) a. Calculer (I - M)x
(4213) b. En déduire que la matrice I - M est inversible et préciser son inverse.
c. Déterminer la matrice U telle queU=M×U+P3. pour tout entier naturel n, on pose
Vn=Un-U a. Justifier que, pour tout entier naturel n, Vn+1=M×Vn b. En déduire que, pour tout entier naturel n, Vn=Mn×V04. On admet que, pour tout entier naturel n, Vn=
(-1003×0,8n-140
3×0,5n
-503×0,8n+140
3×0,5n) a. Pour tout entier naturel n, exprimer Un en fonction de n et en déduire la limite
de la suite ( an). b. Estimer le nombre d'abonnés de l'opérateur A à long terme.S Polynésie juin 2013
CORRECTION
1. a. U1= (a1
b1) b1=0,1a0+0,6b0+70=0,1×300+0,6×300+70=30+180+70=280 U1 = (330280) b.
M×Un+P= (0,70,2
0,10,6)(an
bn) + (6070)= (0,7an+0,2bn
0,1an+0,6bn) + (60
70) =
(0,7an+0,2bn+600,1an+0,6bn+70) = (an+1
bn+1) = Un+1 donc Un+1=M×Un+P2. a. I - M =
(1001) - (0,70,2
0,10,6) = (0,3-0,2
-0,10,4) (I - M)x (4213) = (0,3-0,2
-0,10,4)(42 13) (0,3×4-0,2×10,3×2-0,2×3 -0,1×4+0,4×1-0,1×2+0,4×3) = (1001) ( on peut utiliser la calculatrice )
b. (4213) x (I - M) = (42
13)(0,3-0,2
-0,10,4) =1×0,3+3×(-0,1)1×(-0,2)+3×0,4) = (10
01) donc I - M est une matrice inversible et son inverse est la matrice
(4213) c. U=M×U+P ⇔ U-M×U=P ⇔ I×M-M×U=P
⇔ (I-M)×U=P (4213) x (I - M) x U = (42
13) x P ⇔ U = (42
13) x P
⇔ U = (4213)(60
70) = (4×60+2×70
1×60+3×70) = (380
270) U =
(380270)3. Pour tout entier naturel n : Vn=Un-U
Vn+1=Un+1-U=M×Un+P-U
Or U=M×U+P
Vn+1=M×Vn
b. On veut démontrer en utilisant un raisonnement par récurrence que pour tout entier naturel n
on a Vn=Mn×V0S Polynésie juin 2013
Initialisation
Pour n = 0 il faut alors supposer que M0=I et on obtient M0×V0=I×V0=V0 ( on peut alors affirmer que la propriété est vérifiée pour n = 0)Pour n = 1 M1×V0=M×V0=V1
La propriété est vérifiée pour n = 1
Hérédité
Pour démontrer que la propriété est héréditaire pour tout entier naturel non nul n, on suppose
que Vn=Mn×V0 et on doit démontrer que Vn+1=Mn+1×V0 On a Vn+1=M×Vn=M×(Mn×V0)=(M×Mn)×V0=Mn+1V0