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Dépendances Fonctionnelles

Exercices Corrigés

Axiomes dǯArmstrong

Exercice 1

L'axiome de pseudo transitivité nous dit que si XAEY et YWAEZ, alors XWAEZ. Démontrer cet axiome à l'aide des autres axiomes d'Arstrong.

XAEY alors XWAEYW (accroissement)

XWAEYW et YWAEZ alors XWAEZ (transitivité)

Exercice 2

En utilisant les axiomes dArmstrong, démontrer que si XAEYZ et ZAECW alors X AEYZC

ZAECW alors ZAECWZ (accroissement)

ZAECWZ alors YZAECWZY (accroissement)

XAEYZ et YZAECWZY donc XAECWZY(transitivité)

XAECWZY donc XAECZY (projectivité)

Exercice 3

Soit R(A,B,C,D,E,G,H) F = { ABAE C ; BAE D ; CDAE E ; CEAE GH ; GAE A }. En utilisant les axiomes d l :

1. ABAEE

BAED donc ABAED par augmentation

ABAEC et ABAE D donc ABAECD par union

ABAECD et CDAEE donc ABAEE par transitivité.

2. BGAEC

G AE A donc BG AE A par augmentation,

BG AE BG donc BG AE B par projection,

BG AE A et BG AE B donc BG AE AB par union,

BG AE AB et AB AE C donc BG AE C par transitivité.

3. ABAEG

AB AE E et AB AE C donc AB AE CE par additivité, AB AE CE et CE AE GH donc AB AE GH par transitivité,

AB AE GH donc AB AE G par projection.

Exercice 4

Soit R(A,B, E,G,H,I,J) et F = {ABAEE; AGAEJ; BEAEI; EAEG; GIAEH}

En utilisant les axiomes d l :

1. ABGAEEGJ

ABAEE donc ABGAEEG

AGAEJ donc ABGAEGJ

ABGAEEJG

2. ABAEGH

ABAE E et EAEG, par transitivité ABAE G

ABAEE, par augmentation ABAEBE

ABAEBE et BEAEI, par transitivité ABAEI

ABAEG et ABAEI, par union ABAEGI

ABAEGI et GIAEH, par transitivité ABAEH

ABAEG et ABAEH, par union ABAEGH

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3. BEAEH

EAEG donc BEAEG

BEAEG et BEAEI donc BEAEGI

BEAEGI et GIAEH donc BEAEH

Exercice 5

Soit R(A,B,C,D,E,G,H) et F = {ABAEC, BAED, CDAEE, CEAEGH, GAEA}.

En utilisant les axiomes d l :

1. ABCAEE

ABAEC et CDAEE donc ABCAEE

2. BGAEC

GAEA donc BGAEAB

BGAEAB et ABAEC donc BGAEC

3. BGAEGH

BAED donc BGAED

BGAEC et BG-D donc BGAECD

CDAEE donc CDAECE

BGAECD et CDAECE donc BGAECE

BGAECE et CEAEGH donc BGAEGH

4. GBCEAEGH

GAEA donc GBAEAB

GBAEAB et ABAEC donc GBAEC

GBAEC et CDAEE donc GBCAEE

GBCAEE donc GBCEAECE

GBCEAECE et CEAEGH donc GBCEAEGH

5. ABAEGH

BAED donc ABAED

ABAED et ABAEC donc ABAECD

CDAEE donc CDAECE

ABAECD et CDAECE donc ABAECE

ABAECE et CEAEGH donc ABAEGH

Propriétés des Dépendances Fonctionnelles

Exercice 1

Soit la relation R (A, B, C, D, E, F) avec les Dfs F= {AAEBC, EAECF, BAEE, CDAEEF}

0 : Calcul de la Fermeture de {AB}+

1 : Initialisation : {AB}+=AB

2 : Itération 0 : {AB}+={AB}

3 : Ajoute l'attribut C à AB+

4 : Le déterminant de A=>BC est inclus dans {AB}+. {AB}+={ABC}

5 : Le déterminant de E=>CF n'est pas inclus dans {AB}+. {AB}+={ABC}

6 : Ajoute l'attribut E à AB+

7 : Le déterminant de B=>E est inclus dans {AB}+. {AB}+={ABCE}

8 : Le déterminant de CD=>EF n'est pas inclus dans {AB}+. {AB}+={ABCE}

9 : Itération 1 : {AB}+={ABCE}

10 : Le déterminant de A=>BC est inclus dans {AB}+. {AB}+={ABCE}

11 : Ajoute l'attribut F à AB+

12 : Le déterminant de E=>CF est inclus dans {AB}+. {AB}+={ABCEF}

13 : Le déterminant de B=>E est inclus dans {AB}+. {AB}+={ABCEF}

14 : Le déterminant de CD=>EF n'est pas inclus dans {AB}+. {AB}+={ABCEF}

NFE113 : Dépendances Fonctionnelles Ȃ Exercices corrigés

Cnam Centre Ȃ G.Fonlupt Page 3

15 : Itération 2 : {AB}+={ABCEF}

16 : Le déterminant de A=>BC est inclus dans {AB}+. {AB}+={ABCEF}

17 : Le déterminant de E=>CF est inclus dans {AB}+. {AB}+={ABCEF}

18 : Le déterminant de B=>E est inclus dans {AB}+. {AB}+={ABCEF}

19 : Le déterminant de CD=>EF n'est pas inclus dans {AB}+. {AB}+={ABCEF}

20 : Résultat : {AB}+={A,B,C,E,F}

Exercice 2

Soit la relation R (A, B, C, D, E, F,G) avec les Dfs F= {ACAEB, BCAEDE, AEFAEG}

Calculer

0 : Calcul de la Fermeture de {AC}+

1 : Initialisation : {AC}+=AC

2 : Itération 0 : {AC}+={AC}

3 : Le déterminant de AC=>B est inclus dans {AC}+. {AC}+={AC}

4 : Ajoute l'attribut B à AC+

5 : Le déterminant de BC=>DE est inclus dans {AC}+. {AC}+={ABC}

6 : Ajoute l'attribut D à AC+

7 : Ajoute l'attribut E à AC+

8 : Le déterminant de AEF=>G n'est pas inclus dans {AC}+. {AC}+={ABCDE}

9 : Itération 1 : {AC}+={ABCDE}

10 : Le déterminant de AC=>B est inclus dans {AC}+. {AC}+={ABCDE}

11 : Le déterminant de BC=>DE est inclus dans {AC}+. {AC}+={ABCDE}

12 : Le déterminant de AEF=>G n'est pas inclus dans {AC}+. {AC}+={ABCDE}

13 : Résultat : {AC}+={A,B,C,D,E}

Exercice 4

Soit la relation R (A, B, C, D, E, F) avec les Dfs F= {ABAEC, CAEA, BCAED, ACDAEB, BEAEC,

CEAEFA, CFAEBD, DAEEF}

Trouvez un équivalent irréductible de cet ensemble de Df.

Ensemble irréductible de dépendance = Couverture non redondante réduite : Soit S un ensemble de Dfs. S est

Le membre droit de chaque Df de S contient un seul attribut (autrement dit, les Dfs sont sous formes canoniques et on

enlève les Dfs " doublons »). AE Réduction à droite

Le membre gauche de chaque Df est irréductible : aucun attribut ne peut être enlevé à gauche sans changer la fermeture

AE Réduction à gauche

Aucune Df ne peut être supprimée de S sans changer la fermeture S+

Pour chaque ensemble de Df, il existe au moins un ensemble équivalent irréductible (il peu y en avoir plusieurs, cela

Etape 1 : mettre les Dfs sous forme canonique, réduction à droite AE C, C AE A, BC AE D, ACD AE B, BE AE C, CE AE F, CE AE A, CF AE B, CF AE D, D AE E, D AE F}

Etape 2 : réduction à gauche

C AE A, par augmentation CE AE A Î On enlève CE AE A

Etape 3 : couverture non redondante

CF AE B, par augmentation, CF AE BC

CF AE BC et BC AE D, par transitivité CF AE D Î On enlève CF AE D

CF AE B, par augmentation ACF AE AB

D AE F, par augmentation ACD AE ACF

ACD AE ACF et ACF AE AB, par transitivité, ACD AE AB ACD AE AB, par décomposition ACD AE B Î On enlève ACD AE B

Une couverture non redondante réduite de F est : { AB AE C, C AE A, BC AE D, BE AE C, CE AE F, CF AE B, D AE E, D

AE F}

Une autre couverture non redondante de F est : { AB AE C, C AE A, BC AE D, BE AE C, CE AE F, CF AE D, D AE E, D AE

F} NFE113 : Dépendances Fonctionnelles Ȃ Exercices corrigés

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Exercice 5

Soit la relation R (A, B, C, D, E, F, G, H, I) avec les Dfs F= {ABDAEE, ABAEG, BAEF, CAEJ, CJAEI,

GAEH }. Cet ensemble est-il irréductible ?

0 : PREMIERE ETAPE : Ré-écriture des DF en DF simple

1 : *******RESULTAT PREMIERE ETAPE : F={ABD=>E,AB=>G,B=>F,C=>J,CJ=>I,G=>H}

2 : ********************************************************************************************

3 : SECONDE ETAPE : Elimination des DF redondates

4 : Cherche la redondance de ABD=>E dans l'ensemble {ABD=>E,AB=>G,B=>F,C=>J,CJ=>I,G=>H} par

l'algorithme d'appartenance

5 : Initialise l'ensemble G : {ABD=>E,AB=>G,B=>F,C=>J,CJ=>I,G=>H}

6 : Initialise T : T={A,B,D}

7 : Itération 1 : G={AB=>G,B=>F,C=>J,CJ=>I,G=>H}, T={A,B,D}

8 : Le déterminant de AB=>G est inclus dans T

9 : Ajoute la partie droite à T : T={A,B,D,G}

10 : Supprime AB=>G de G

11 : Itération 2 : G={B=>F,C=>J,CJ=>I,G=>H}, T={A,B,D,G}

12 : Le déterminant de B=>F est inclus dans T

13 : Ajoute la partie droite à T : T={A,B,D,G,F}

14 : Supprime B=>F de G

15 : Itération 3 : G={C=>J,CJ=>I,G=>H}, T={A,B,D,G,F}

16 : Le déterminant de C=>J n'est pas inclus dans T

17 : Le déterminant de CJ=>I n'est pas inclus dans T

18 : Le déterminant de G=>H est inclus dans T

19 : Ajoute la partie droite à T : T={A,B,D,G,F,H}

20 : Supprime G=>H de G

21 : Itération 4 : G={C=>J,CJ=>I}, T={A,B,D,G,F,H}

22 : Le déterminant de C=>J n'est pas inclus dans T

23 : Le déterminant de CJ=>I n'est pas inclus dans T

24 : Aucune partie droite des DF restantes de G n'est incluse dans T

25 : Cherche la redondance de AB=>G dans l'ensemble {ABD=>E,AB=>G,B=>F,C=>J,CJ=>I,G=>H} par

l'algorithme d'appartenance

26 : Initialise l'ensemble G : {ABD=>E,AB=>G,B=>F,C=>J,CJ=>I,G=>H}

27 : Initialise T : T={A,B}

28 : Itération 1 : G={ABD=>E,B=>F,C=>J,CJ=>I,G=>H}, T={A,B}

29 : Le déterminant de ABD=>E n'est pas inclus dans T

30 : Le déterminant de B=>F est inclus dans T

31 : Ajoute la partie droite à T : T={A,B,F}

32 : Supprime B=>F de G

33 : Itération 2 : G={ABD=>E,C=>J,CJ=>I,G=>H}, T={A,B,F}

34 : Le déterminant de ABD=>E n'est pas inclus dans T

35 : Le déterminant de C=>J n'est pas inclus dans T

36 : Le déterminant de CJ=>I n'est pas inclus dans T

37 : Le déterminant de G=>H n'est pas inclus dans T

38 : Aucune partie droite des DF restantes de G n'est incluse dans T

39 : Cherche la redondance de B=>F dans l'ensemble {ABD=>E,AB=>G,B=>F,C=>J,CJ=>I,G=>H} par l'algorithme

d'appartenance

40 : Initialise l'ensemble G : {ABD=>E,AB=>G,B=>F,C=>J,CJ=>I,G=>H}

41 : Initialise T : T={B}

42 : Itération 1 : G={ABD=>E,AB=>G,C=>J,CJ=>I,G=>H}, T={B}

43 : Le déterminant de ABD=>E n'est pas inclus dans T

44 : Le déterminant de AB=>G n'est pas inclus dans T

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