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1. Perspective cavalière1.1 vocabulaire de base Pour dessiner un solide à l'aide de la perspective cavalière il faut distinguer:le point de vue :

C'est l'endroit où se trouve l'observateur. Pour que l'objet soit représenté avec un certain effet de volume il fautque l'observateur soit placé un peu à droite ou à gauche sur une droite horizontale (parallèle à la droited'horizon) et un peu au dessus ou au dessous sur une droite verticale (perpendiculaire à la droite d'horizon). les plans frontaux:Ce sont les plans situés dans un plan perpendiculaire à notre regard , vu de faceles fuyantes ou lignes de fuite :

On appelle fuyante ou ligne de fuite toute droite perpendiculaire aux plans frontaux . 1.2 Propriétés géométriques conservées sur des faces frontales Les dimensions (longueurs, largeurs, hauteurs, rayons,...) sont conservées. Les angles ont leur mesure réelle. En résumé , ces faces sont dessinées dans leurs formes réelles, à l'échelle.Remarque : le parallélisme est conservé: des faces qui contiennent des droites parallèles, sont dessinées avec des droites parallèles1.3 Propriétés géométriques conservées sur des faces fuyantes Les segments verticaux sont représentés par des segments verticaux dont les longueurs sont les vraieslongueurs.Le parallélisme est conservé : des faces qui contiennent des droites parallèles, sont dessinées avec des droitesparallèles.Le partage en segment égaux, sur les segments fuyants, est conservé et notamment le milieu.Attention : les mesures des angles ne sont pas conservées . En particulier , deux segments perpendiculaires situés sur une face fuyante ne pas perpendiculaires sur le dessin .ABCDEFGH est un cube .AB

CD EF GH

1.4 Eléments caractéristiques d'une perspective cavalièreAngle de fuite: c'est l'angle a que font toutes les droites fuyantes d'une face fuyante, avec l'horizon dudessinateur.Coefficient de fuite: c'est le nombre r par lequel nous multiplions les dimensions réelles des segmentsfuyants (sur les droites fuyantes) pour obtenir leurs dimensions sur le dessin.

Le couple (r ; a) caractérise donc la perspective cavalière employée .Remarques : usuellement , l'angle de fuite est 30° et le coefficient de fuite est 1

2 . L'AFNOR recommande d'utiliser la perspective 1

2 ;45° , mais elle a pour inconvénient de faire seconfondre les fuyantes et les diagonales de la face avant d'un cube .Exemple :Tracer un cube d'arête 6 cm en perspective cavalière caractérisée par

1

2 ;30°.

Tracer un cube dont les sommets de la face inférieure sont situés sur les milieux desarêtes de la face supérieure du premier cube .

2.4 Droite parallèle à un plan Une droite (D) est parallèle à un plan (P) si elle est contenue dans (P) ou si elle n'a aucun point d'intersectionavec (P) .Exemple : dans l'exemple précédent , les droites ....... et ....... sont parallèles au plan (ACD) .2.5 Position relative d'une droite et d'un planSoit (P) un plan de l'espace et (D) une droite .Si (D) n'est pas incluse dans le plan (P) , alors (D) et (P) sont :l soit sécants et l'intersection de (P) et de (D) est un point ;l soit strictement parallèles .Exemple : ABCDEFGH est un cube .On note I le centre de EFGH .1. Tracer le point d'intersection de la droite (AI) et du plan(CDH) . 2. Tracer la droite d'intersection des plans (ABI) et (CDH) .A

B C D E F G H

I3. Propriétés

3.1 Plans parallèles l Si deux droites sécantes d'un plan (P1) sont parallèles à deux droites sécantes d'un plan (P2) , alors les plans (P1) et (P2) sont parallèles .l Si deux plans sont parallèles , alors toute droite contenue dans l'un des deux plans est parallèle à l'autreplan .Exemple : On considère un tétraèdre ABCD .On note I , J et K les milieux respectifs de [AB] , [BC] et [BD] .On note L et M les points situés sur [AC] et [AD] respectivementet tels que : AL=1

4AC et

AM=1 4AD.

1. Montrer que les plans (IJK) et (ACD) sont parallèles .2. Montrer que la droite (CM) est parallèle à (IJK) .

B D C A I J K LM

3.2 Droite parallèle à un planSi deux droites (D) et (D') sont parallèles , alors la droite (D) est parallèle à tout plan contenant (D') .Exemple : en reprenant la figure et les données précédentes , on peut dire que la droite (JK) est parallèle auxplans ............. et ............. .3.3 Théorème d'incidence On considère deux plans plans parallèles (P1) et (P2) .Si (P3) est un plan sécant à (P1) , alors :l il est également sécant à (P2) ;l la droite d'intersection de (P1) et de (P3) est parallèle à la droite d'intersection de (P2) avec (P3) .Exemple : On considère un tétraèdre ABCD .On note I , J et K les milieux respectifs de [AB] ,[BC] et [BD] .Les plans (IJK) et (ACD) sont parallèles .Le plan (BCD) est sécant avec (IJK) et la droited'intersection de ces deux plans est .......... On en déduit qu'il est également sécant avec (ACD) etla droite d'intersection de ces deux plans est .......... .B

D C A I J K

LM3.4 Théorème du toit Soient deux droites (D1) et (D2) parallèles .On considère deux plans sécants (P1) et (P2) de telle sorte que : l (P1) contient (D1) l (P2) contient (D2) .Dans ces conditions , la droite d'intersection de (P1) et de (P2) est parallèle aux droites (D1) et (D2) .Exemple : ABCDEFGH est un cube .On note I et J les milieux respectifs des segments[AD] et [BC] .

La droite d'intersection du plan (ABF) et du plan(EIJ) est la droite ........ .Tracer la droite d'intersection des plans (ACF) et(EBG) .

A B C D E F G H I J

4. Conséquences pour les tracés en perspective cavalière 4.1 Intersection d'une droite et d'un planPrincipe général : Pour déterminer l'intersection d'une droite (D) et d'un plan (P) , il suffit de trouver un plancontenant à la fois (D) et une droite (D ') (non parallèle à (D)) contenue dans (P) .Le point d'intersection de (D) et du plan (P) est obtenu en considérant le point d'intersection de (D) et de (D ') .Exemple : ABCD est un tétraèdre .M est le milieu du segment [AD] et N le point du segment [CD] tel que : DN=3

4DC. Tracer P, le point d'intersection de la droite (MN) et du plan(ABC) . B D C A M

N4.2 Intersection de deux plansMéthode 1 : on suppose que (P1) et (P2) sont deux plans sécants et que l'on connaît :l deux points A et B communs aux deux plans Dans ce cas , la droite d'intersection de (P1) et de (P2) est la droite passant par A et B .

Méthode 2 : on suppose que (P1) et (P2) sont deux plans sécants et que l'on connaît :l deux droites parallèles (D1) et (D2) contenues respectivement dans (P1) et (P2) ;l un point A commun à (P1) et (P2) .Dans ce cas , la droite d'intersection de (P1) et de (P2) est la parallèle à (D1) (ou (D2)) passant par A .

Exemple 1 : ABCDEFGH est un cube .

A B C D E F G

HTracer la droite d'intersection des plans (AEC) et(ADF) .Exemple 2 : SABCD est une pyramide à baserectangulaire .

AB CD STracer la droite d'intersection des plans (SAB) et(SCD) .quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50