Exercice 6 – un calcul de déterminant pas récurrence Calculer le Soit (x1, ,xn ) ∈ Cn On appelle déterminant de Vandermonde le déterminant d'ordre n
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Vandermonde l'élément de K défini par : 1 1 Relation de récurrence On rappelle qu'on ne change pas la valeur d'un déterminant en ajoutant `a une ligne
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Démonstration Sans perte de généralité, on suppose les (xi) distincts On procède par récurrence sur n; c'est vrai pour n = 1, et si c'est vrai au rang n − 1,
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Matrice de Vandermonde : Mi,j = a j−1 Idem pour un déterminant de taille n × n mais avec n termes signés Formule Calcul de kn : récurrence sur n ⩾ 1
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Exercice 6 – un calcul de déterminant pas récurrence Calculer le Soit (x1, ,xn ) ∈ Cn On appelle déterminant de Vandermonde le déterminant d'ordre n
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La démonstration s'effectue par récurrence sur le nombre de blocs est le déterminant de Vandermonde de la proposition précédente : les θi étant tous
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récurrence (correspondant aux développements par rapport à une ligne ou une colonne), propriété Notons que l'appellation du déterminant de Vandermonde
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Dans ce dernier déterminant, le terme d'indice (i, j) est pour i
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des relations de récurrence linéaires entre déterminants de même type mais en le faisant apparaître comme mineur d'un déterminant de Vandermonde
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1 1 Déterminant : définition, propriétés, méthodes de calcul On définit son déterminant det(A) ∈ K par récurrence sur n (Déterminant de Vandermonde )
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Exercice 1 Calcul du déterminant de Vandermonde par l'interpolation Ck(r) sont linéairement indépendantes (hypoth`ese de récurrence) cela montre que les
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Université de Lille - Licence de mathématiques 2année 2019-2020
Fiche n
2: déterminants
(environ 2 séances) Dans tout ce qui suit,K=RouCetn2Nn f0;1g.Généralités sur le déterminantExercice 1 - vrai ou faux.
Les assertions suivantes sont-elles vraies ou fausses? Justifier l"assertion ou citer le cours si la réponse est "vraie», et donner un contre-exemple simple sinon. (a) P ourtout (A;B)2Mn(K)2, on a :det(A+B) = det(A) + det(B). (b) P ourtout (A;B)2Mn(K)2, on a :det(A+B) = det(A)det(B). (c)P ourtous A2Mn(K)et2K, on a :det(A) =det(A)
(d) P ourtout (A;B)2Mn(K)2tel queAetBsoientsemblables(voir la fiche n0), on a :det(A) = det(B). Exercice 2 - déterminant de matrices particulières.1.Que peut-on dire du déterminant d"une matricenilpotenteA2Mn(K)(c"est-à-
dire qu"il existeN2Ntel queAN= 0)?2.Que peut-on dire du déterminant d"une matriceA2Mn(K)telle queA2=In?
3.Que peut-on dire du déterminant d"une matriceantisymétriqueA2Mn(K)
(c"est-à-dire que tA=A) lorsquenest impair?Calculs de déterminants Exercice 3 - calcul d"un déterminant à l"aide d"opérations élémentaires. Pour(a;b)2K2, calculer le déterminant d"ordrensuivant : a bb b a .........b bb a (Indication : commencer par effectuer l"opération élémentaireC1 C1+nP j=2C j.)Exercice 4 - utilisation du déterminant pour savoir si une matrice est inversible.1.Calculer, pourt2C, le déterminant de la matrice suivante sous forme factorisée :
A t=0 @1 1t 1t1 t1 11 A2.En déduire les valeurs detpour lesquelles la matriceAtest inversible.
3.LorsqueAtn"est pas inversible, déterminer une base deKerAt.
Exercice 5 - déterminant d"une matrice circulante.On posej= exp2i3
. On rappelle les relations :j3= 1et1 +j+j2= 0.1.Montrer que les vecteurs suivants forment une base deC3:
u 1=0 @1 1 11 A ; u2=0 @1 j j 21A ; u3=0 @1 j 2 j 31
A
2.Soient(a;b;c)2C3etfl"endomorphisme deC3canoniquement associé à la
matricecirculantesuivante : A=0 @a b c b c a c a b1 A Calculerf(u1),f(u2),f(u3)et écrire la matrice defdans la base(u1;u2;u3).3.En calculant de déterminant defde deux manières différentes, obtenir une fac-
torisation de3abca3b3c3. Exercice 6 - un calcul de déterminant pas récurrence.Calculer le déterminant d"ordrensuivant :
n= +a11 00 a 21...a
30...0
.........1 a n00 où;a1;:::;an2K. (Indication : on pourra établir une relation de récurrence entre netn1et raisonner par récurrence.)1Chapitre 2: déterminants
Université de Lille - Licence de mathématiques 2année 2019-2020Exercice 7 - déterminant de Vandermonde.
Alexandre-Théophile Vandermonde, né à Paris le 28 février 1735 et mort à Paris le 1er janvier 1796, est un mathématicien français. Il fut aussi économiste, musicien et chimiste, travaillant notamment avec Étienne Bézout et Antoine Lavoisier. Son nom est maintenant surtout associé à une matrice et son déterminant. Soit(x1;:::;xn)2Cn. On appelledéterminant de Vandermondele déterminant d"ordrensuivant :