Démonstration : On admet l'existence et l'unicité du déterminant d'une matrice de Mn() On va simplement faire le calcul en dimension 2 Par linéarité par rapport à
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permutations) mais allons plutôt nous concentrer sur le calcul celui-ci 3- Calcul du déterminant pour une matrice Considérons la matrice de dimension 2 2 :
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Démonstration : On admet l'existence et l'unicité du déterminant d'une matrice de Mn() On va simplement faire le calcul en dimension 2 Par linéarité par rapport à
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Déterminants2-1Sommaire
1. Déterminant d"une matrice carrée1
1.1. Déterminant d"une matrice carréeA. .1
1.2. Interprétation en dimensions2et3. . .2
1.3. Propriétés élémentaires
. . . . . . . . . . 21.4. Déterminant de la transposée
. . . . . . 31.5. Manipulation de colonnes
. . . . . . . . . 31.6. Déterminant d"une matrice triangulaire
. 31.7. Déterminant d"un produit
. . . . . . . . . 41.8. Déterminant de 2 matrices semblables
. 42. Calcul de déterminants4
2.1. En dimension 2 et 3
. . . . . . . . . . . . 42.2. Dév. selon une ligne ou colonne
. . . . . 52.3. Exemples
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 53. Déterminant d"une famille de vecteurs63.1. Déterminant d"une famille de vecteurs
. 63.2. Interprétation géométrique
. . . . . . . . 73.3. Caractérisation des bases
. . . . . . . . 74. Déterminant d"un endomorphisme7
4.1. Déterminant d"un endomorphisme
dans une base . . . . . . . . . . . . . . . 74.2. Déterminant d"un endomorphisme
. . . . 74.3. Déterminant de la composée
. . . . . . . 74.4. Caractérisation des automorphismes
. . 84.5. Déterminant de l"endomorphisme réci-
proque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81. Déterminant d"une matrice carrée1.1. Déterminant d"une matrice carréeA
Théorème :On considère les applications deMn() dans, qui, de plus, vérifient les propriétés
suivantes : elles son tlinéaires par r apportà chaque col onne; qui son tm ultipliéespar 1 quand on inverse deux colonnes; et telles que la ma triceI na pour image 1. Il existe une et une seule application vérifiant ces trois conditions.Définition :Cette application est appelée le déterminant de la matrice, on note det(A) ce détermi-
nant.Quand on écrit le déterminant avec une matrice explicite, on le note comme une matrice, mais avec
des barres verticales au lieu de parenthèses, par exemple : 1 2 3 4 Démonstration :On admet l"existence et l"unicité du déterminant d"une matrice deMn().On va simplement faire le calcul en dimension 2.
Par linéarité par rapport à la première colonne, on a : a c b d =a 1c 0d +b 0c 1d Par linéarité par rapport à la deuxième colonne, on obtient maintenant : a c b d =a0BBBBB@c 1 1 0 0 +d 1 0 0 1 1CCCCCA+b0BBBBB@c
0 1 1 0 +d 0 0 1 1 1CCCCCA.
On remarque que :
1 1 0 0 1 1 0 0 , en inversant les deux colonnes, c"est donc nul!On a aussi :
0 0 1 1 0 0 1 1 , en inversant les deux colonnes, c"est donc aussi nul!Par définition :
1 0 0 1= 1.Cours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert - Lycée Colbert -59200Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr
2-2DéterminantsEnfin :
0 1 1 0 1 0 0 1 =1.Finalement :
a c b d =adbc.Cette démonstration n"est valable qu"en dimension 2, même si son principe est valable dans toutes les
dimensions...1.2. Interprétation en dimensions2et3On a bien vu en dimension 2 qu"on retrouvait, avec les propriétés demandées, le calcul classique du
déterminant.Le même calcul, trois fois plus long, nous donnerait le déterminant connu en dimension 3 également.
On rappelle l"interprétation géométrique de ces déterminants lorsque les colonnes sont les coordon-
nées de 2, ou 3, vecteurs dans une base orthonormale directe. On appelle ces vecteurs!u ;!ven dimension 2, et,!u ;!v ;!wen dimension 3. En dimension 2, le déterminan test l" aireal gébriqued upar allélogrammeconstruit sur !uet!v. Cette aire est positive si!u ;!vest direct, négative si c"est indirect.En dimension 3, le déterminan test le v olumeal gébriqued upar allélépipèdeconstruit sur
!u,!vet!w. Ce volume est positif si!u ;!v ;!west direct, négatif si c"est indirect.1.3. Propriétés élémentaires
Théorème :Le déterminant d"une matrice qui a une colonne nulle est nul.Démonstration :cette colonne est égale à 0 fois cette colonne, par linéarité le déterminant est donc
nul.Théorème :Le déterminant d"une matrice qui a deux colonnes égales est nul. Démonstration :En échangeant les deux colonnes égales de A : on ne chang epas le déterminan t,puisque c" estdeux f oisle même ; mais on le m ultipliepar 1, en appliquant une des propriétés caractéristiques. On a donc : det(A) =det(A))det(A) = 0.Théorème :8A2Mn();82;det(A) =ndet(A)Démonstration :On fait simplement jouernfois la linéarité, successivement par rapport à chaque
colonne.Théorème :Soit D une matrice diagonale, alors, le déterminant de D est le produit des éléments de
la diagonale.Démonstration :On fait encore simplement jouernfois la linéarité, successivement par rapport à
chaque colonne. On obtient le produit des éléments de la diagonale et du déterminant de I n.Ce dernier valant 1 par propriété élémentaire, le déterminant a bien la valeur annoncée.Cours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert - Lycée Colbert -59200Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr
Déterminants2-31.4. Déterminant de la transposéeThéorème :Soit A2Mn();detAT= det(A)
Cette propriété, délicate à démontrer est admise. En pratique, cela signifie que toute propriété sur les colonnes est applicable sur les lignes. Par exemple, si A a deux lignes identiques, son déterminant est nul : ATayant deux colonnes égales a
un déterminant nul!1.5. Manipulation de colonnes
Théorème :On ne change pas la valeur d"un déterminant si, à une colonne, ou une ligne, on ajoute
une combinaison linéaire desautrescolonnes, ou lignes.Démonstration :On fait jouer la linéarité par rapport à la colonne, ou la ligne, modifiée.
On se retrouve avec le déterminant de départ et une somme de déterminants nuls puisqu"ils ont deux
colonnes, ou lignes, égales.Remarque :On utilise souvent ceci pour " faire apparaitre des 0 » dans une ligne ou une colonne.
1.6. Déterminant d"une matrice triangulaire.Théorème :=
a 1x y0a2::::::
::::::an1z 0 0an =a1a2:::an1anAutrement dit, le déterminant d"une matrice triangulaire est le produit des éléments de la diago-
nale.Démonstration :On factorise para1, et, en enlevant le bon nombre de fois le premier vecteur aux
autres, on amène des 0 sur la première ligne et on obtient : a 1x y0a2s t
::::::an1u 0 0an =a1 1x y0a2s t
::::::an1u 0 0an =a11 0 0 0 0
0a2s t
::::::an1u 0 0an On recommence ensuite aveca2. On obtient ainsi de suite par une récurrence admise : =a1a2:::an1an 1 0 0 0 1 ::::::1 0 0 0 1=a1a2:::an1anCours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert - Lycée Colbert -59200Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr
2-4Déterminants1.7. Déterminant d"un produit de 2 matrices, de la matrice inverse d"une matrice inversible
Théorème :A;B2Mn()
det (AB)= det(A)det(B)Théorème :A2GLn()
detA1=1det
(A)Démonstration :AA1= In, det(In)= 1,
d"où : det (A)detA1= 1On en conclut que det
(A),0, l"égalité annocée en découle immédiatement.Théorème :A2Mn, on a alors : A inversible,det(A),0
Démonstration :On a déjà montré que A inversible)det(A),0.Montrons maintenant la réciproque.
On sait que A est inversible si et seulement si elle transforme une base en une autre base, c"est à dire
si et seulement si, les vecteurs colonne de A forment une base.Supposons que A ne soit pas inversible, cela revient à ce que les vecteurs colonne de A forment une
famille liée, c"est à dire qu"une des colonne est combinaison linéaire des autres.On enlève à cette colonne cette combinaison linéaire des autres colonnes, on obtient un déterminant
d"une matrice avec une colonne nulle, qui est donc nul. La réciproque est démontrée.1.8. Déterminant de 2 matrices semblables On rappelle que deux matrices sont semblables si et seulement si : elles son tles ma tricesd"un même endomorphisme dans deux bases di fférentes, ou bien,il existe P 2GLn()telle que B = P1APThéorème :A et B, 2 matrices semblables deMn(), alors : det(A)= det(B)Démonstration :On a P2GLn()telle que B = P1AP, d"où :
det (B)= detP1det(A)det(P) = detP1det(P)det(A) = detP1Pdet(A) = det (A)2. Calcul de déterminants2.1. En dimension 2 et 3
On va d"abord rappeler un résultat bien connu : a c b d=adbcCours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert - Lycée Colbert -59200Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr
Déterminants2-5En dimension 3, on peut utiliser la règle de Sarrus, qui se montre de la même façon, en n"oubliant pas
qu"elle n"estabsolument pas généralisableà un ordre autre que 3... a d g b e h c f i =aei+dhc+gbfcegf haibd2.2. Développement suivant une ligne ou une colonne
La règle des signes est :
++ (1)n+1 ++ (1)i+j (1)n+1+ On remarque qu"on a (1)i+jeni`emeligne etj`emecolonne.On développe suivant une ligne ou une colonne en tenant compte de la règle de signes (1)i+jaijij
oùaijest le coefficient de la matrice etijest le déterminant obtenu en enlevant la ligneiet la colonne
jcorrespondante. On admet ce résultat.Théorème :On peut développer selon lajèmecolonne :
=Pni=1(1)i+jaijij ou développer selon laièmeligne :=Pnj=1(1)i+jaijijIl est important de noter qu"on peutchoisirsa ligne ou sa colonne.Un déterminant est donc unpolynômedes coefficients de la matrice...
2.3. Exemples
On notera les déterminants avec un indice qui correspond à leur rang, qui est toujours plus grand que
1. a/ Utilisation d"une formule de récurrenceSoit le déterminantn=
2 1 00
1 2 0 :::::::::0 :::::::::2 100 1 2
nqu"on développe selon la 1èrecolonne,Cours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert - Lycée Colbert -59200Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr
2-6Déterminants
n= 2n111 0 00
1 2 1 0 :::::::::0 :::::::::2 100 1 2
n1= 2n1n2 en développant ce déterminant selon la 1èreligne.
On obtient ainsi la relation de récurrencen= 2n1n2qu"on résout en calculant1et2: b/ Manipulation de lignes ou colonnesSoit le déterminantn=jabs(ij)jn=
0 1 2n1
1 2 :::::::::2 ::::::::::::1 n12 1 0 navecn>3:A chaque ligne, de la dernière à la seconde, on enlève la précédente. Ces opérations sont faites succes-
sivement... Il faut bien vérifier qu"on peut les faire successivement et qu"on n"utilise pas une ligne ou
une colonne qui a été modifiée... et qui donc n"existe plus!On obtient donc :n=
0 1 2n1
111 11 1 ::::::::::::1 11 11 n
A chaque ligne, de la dernière à la troisième, on enlève la précédente. Ces opérations sont faites suc-
cessivement...quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50