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Chapitre5

Loisdecompositioninternes-Relations

1.Loisdecompositioninternes

1.1.Denitionetexemples

applicationdeEEdansE.SionlanoteEE!E (a;b)7!ab,onparledelaloiet onditqueabestlecomposedeaetbpourlaloi.

Exemples-SurE=Z,l'additiondenieparZZ!Z

(a;b)7!a+b,lamultiplication ZZ!Z (a;b)7!abetlasoustractionZZ!Z (a;b)7!absontdesloisde pourtouslescouples(a;b)d'entiers. (A;B)7!A[Bestune symetrique.

XdansX.LacompositiondesapplicationsEE!E

(f;g)7!fgestuneloi internesurE.

SurE=R2,l'additionEE!E

((x;y);(x0;y0))7!(x+x0;y+y0)estuneloi (;(x;y))7!(x;y)n'estpas

1.2.Proprietesusuellesdesloisinternes

Loisdecompositioninterne

pourlamultiplication. neutre.

Etudiezlesautresexemples.

ilestunique. e (ab=ba=e). f 1. onax(y+z)=(xy)+(xz)et(x+y)z=(xz)+(yz)). lareunion.

1{Elleestassociative.

2{Elleadmetunelementneutre.

3{ChaqueelementdeEadmetunsymetriquepour.

dumathematicienAbel). commutatif. engeneralnoncommutatif. n

1{(E;+)estungroupecommutatif.

{60{

LOISDECOMPOSITIONINTERNES-RELATIONS

2{Laloiestassociative.

3{Laloiestdistributiveparrapportalaloi+.

laloi+et1celuidelaloilorsqu'ilexiste. estunanneaucommutatifetunitaire. despolyn^omesacoecientsreels. remplies:

1{(E;+;)estunanneaucommutatifetunitaire.

(R(X);+;)estuncorpscommutatif.

2.Relations

2.1.Denitionsetexemples

lescouples(x;y)d'elementsdeE. larelationR.

DansE=R,larelation:x=y2.

DansE=R,larelationd'inegalite:xy.

estparalleleaD0. AB. congruencemodulo2etnotee:xy(mod2): relationRdeniepar(xRy,f(x)=f(y)). {61{

Relations

2.2.Proprietesusuellesdesrelations

1{LarelationRestre

exivesipourtoutelementxdeE,onaxRx. ((xRyetyRx))x=y). ((xRyetyRz))xRz).

Denition5.12{SoitRunerelation.SiRestre

exive,symetriqueettransitive,ondit queRestunerelationd'equivalence.SiRestre exive,antisymetriqueettransitive,ondit queRestunerelationd'ordre. d'ordre.Quepensez-vousdel'exemple2? d'ordrepartielsinon.

P(X),onn'aniABniBA.

2.3.Etudedesrelationsd'equivalence

\xetysontequivalentspourR". qu'onnoteraici x: x=fy2EjxRyg:

OnlenoteE=R.

Exemples-Dansl'exemple1ci-dessus,ona

x=fxg

Dansl'exemple6,sixestpair,ona

x=2Zetsixestimpair,onax=2Z+1.

OnaZ=R=f

classesdistinctesformentunepartitiondeZ.

Cecisegeneraliseparletheoremesuivant:

Theoreme5.15{

1)SoitxunelementdeE,ona:x2

x. xRy, x=y:

Demonstration:

{62{

LOISDECOMPOSITIONINTERNES-RELATIONS

1)PuisqueRestre

exive,onaxRxpourtoutelementxdeE,doncx2 x.

2)SupposonsxRy.Montronsquel'ona

yx:Soitzunelementdey;onadoncyRz; x.Ona montreque lesr^olesdexety,onobtientdem^eme xy:Onamontrequel'onaxyetyx; onadonc x=y:

Supposons

onaaussixRy.

Onamontrel'equivalence(xRy,

x=y):

3)Laclasse

x\y6=;et montrons x=z=y;d'ouleresultat.

NotonsE0lareuniondesclasses:E0=S

x2E xetmontronsqueE=E0.Soitx unelementdeE.Onax2 E

0E,onobtientE=E0.

Detoutceci,ondeduitleresultat3.

l'applicationf:E!E=R x7! relationsd'equivalencesontobtenuesainsi.

2.4.Relationsd'ordre

appartientaA.

Remarqueetexemples

elementdeA. {63{

Relations

1)MestunmajorantdeA

2)SiM0estunautremajorantdeA,alorsMM0.

oudefaconequivalentesi:

1)MestunmajorantdeA.

Ondenitdem^emeuneborneinferieure.

inferieure.

Exemplesetremarques

inferieureet1commebornesuperieure. etdem^eme: 2: montrerquel'onaa2=2. {64{quotesdbs_dbs41.pdfusesText_41

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