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?Baccalauréat ES Polynésie 13 juin 2014?

EXERCICE15 points

Commun à tous lescandidats

PartieA

Selon l"INSEE, la proportion de filles parmi les jeunes est de49,2%, donc on prendrap=0,492.

Dans un échantillon de taillen=81135 étudiants en CPGE, on peut trouver 34632 filles, ce qui fait une

fréquence def=34632

81135≈0,427.

On an=81135?30,np=39918,42?5 etn(1-p)=41216,58?5 donc on peut construire l"inter-

valle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% qui va permettre de dire si la fréquence observée est

"normale» ou non : I=? p-1,96? p(1-p)?n;p+1,96? p(1-p)?n?

0,492-1,96?

0,492×0,508?81135; 0,492+1,96?

0,492×0,508?81135?

I≈[0,488; 0,496]

Orf=0,427??[0,488; 0,496]etf<0,488 donc on peut considérer que les filles inscrites sont sous- représentées en CPGE.

PartieB

1.La filière scientifique (S) accueille 61,5% des étudiants doncP(S)=0,615.

La filière économique et commerciale (C) accueille 24% des étudiants doncP(C)=0,24.

Comme en classes littéraires, il y a trois filles sur quatre inscrits, on peut dire quePL(F)=0,75.

Dans les prépas scientifiques les filles sont 30% doncPS(F)=0,3. La proportion de filles parmi les inscrits de CPGE est 42,7% doncP(F)=0,427. On traduit ces données par un arbre pondéré : S 0,615 F0,3 F C 0,24F F L F0,75 F

2. a.L"événement "l"étudiant interrogé est une fille inscrite enL» estF∩L.

c.D"après la formule des probabilités totalesP(F)=P(F∩L)+P(F∩S)+P(F∩L) donc : ??P(F∩C)=0,13375

3.Sachant que l"étudiant interrogé suit la filière économiqueet commerciale, la probabilité qu"il

soit une fille estPC(F) :PC(F)=P(F∩C)

P(C)=0,133750,24≈0,557

Le document 2 dit qu"on est proche de la parité dans les classes économiques et sociales; en fait,

le pourcentage de filles dans ces filières est de 55,7%.

Baccalauréat ESA. P. M. E. P.

PC(F)≈0,557 doncPC(F)≈1-0,557≈0,443 On peut alors compléter l"arbre pondéré : S 0,615 F0,3 F0,7 C

0,24F0,557

F0,443

L

0,145F0,75

F0,25

4.Sachant que l"étudiant interrogé est une fille, la probabilité qu"elle soit inscrite dans la filière lit-

téraire L estPF(L) :PF(L)=P(F∩L)

P(F)=0,108750,427≈0,255

EXERCICE25 points

CandidatsES n"ayantpas suivi l"enseignementde spécialitéet candidats L

PartieA

Pour cette partie, voir la figure 1 page 7.

1.Le nombre de 450 objets correspond àx=4,5; on cherche donc l"image par la fonctionCde 4,5.

On trouve à peu près 250 centaines d"euros, soit 25000?.

2.La somme de 60000 euros correspond à 600 centaines d"euros; on cherche donc la valeur dex

telle queC(x)=600 et on trouve à peu près 6,5 ce qui correspond à 650 objets.

3.On considère que le coût marginal est donné par la fonctionC?dérivée de la fonctionC.

a.Le coût marginal pour une production de 450 objets, est égal au nombre dérivé de la fonction

Cenx=4,5, donc au coefficient directeur de la tangente à la courbe au pointA.

Ce coefficient directeur est à peu près égal à0, doncle coût marginal pour 450 objets est à peu

près nul. Pour 600 objets, on trace la tangente au point de la courbe d"abscisse 6 c"est-à-direB; son coefficient directeur est à peu près de 300

1=300.

Donc le coût marginal correspondant à 600 objets est à peu près de 300?. b.Enx=0, le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentantCest positif, donc le coût marginal est positif. Enx=4,5, on a vu que le coût marginal était nul. Donc le coût marginal n"est pas croissant sur[0; 7].

PartieB

Pour cette partie, voir la figure 2 page 8.

Le prix de vente de chacun de ces objets est de 75 euros.

1.On noterla fonction "recette » :r(x) est le prix de vente, en centaines d"euros, dexcentaines

d"objets. Lavente dexcentaines d"objets rapporte 75×x×100 euros,donc75xcentaines d"euros:

doncr(x)=75x. La fonctionrest une fonction linéaire, donc elle est représentée par unedroite

passant par l"origine. r(4)=300 etr(8)=600 donc la fonction recette est représentée par la droiteDpassant par les points de coordonnées (0; 0), (4 ; 300) et (8; 600).

Polynésie - Corrigé213 juin 2014

Baccalauréat ESA. P. M. E. P.

2. a.Pour que l"entreprise fasse des bénéfices, il faut que la recette soit supérieure au coût, donc

quer(x)>C(x). Graphiquement, il s"agit de chercher les valeurs dexpour lesquelles la droiteDest au des-

sus de la courbe. On trouve à peu près l"intervalle]2,8; 6,3[, ce qui correspond à un nombre

d"objets compris entre et 280 et 630. Il faut donc produire entre 280 et 630 objets pour réaliser des bénéfices. b.Le nombre de 500 objets correspond àx=5, et le nombre de 600 objets correspond àx=6. On place les deux points d"abscisse 5 sur la droiteD(pointM) et sur la courbe (pointN). Le

bénéfice réalisé pour 500 objets est donné alors parr(5)-C(5) soityM-yNqui est aussi la

longueur du segment[MN]. On place de même les deux points d"abscisse 6 sur la droiteD(pointP)et sur la courbe (point

R). Le bénéfice réalisé pour 600 objets est donné alors parr(6)-C(6)soityP-yRqui est aussi

la longueur du segment[PR]. Sur le graphique, on voit que le segment[MN]est plus grand que le segment[PR]donc le

bénéfice réalisé pour 500 objets est supérieur au bénéfice réalisé pour 600 objets.

L"affirmation proposée dans le texte est donc vraie.

EXERCICE25 points

Candidatsayantsuivi l"enseignementde spécialité

PartieA

La graphe donné dans le texte représente, dans un aéroport donné, toutes les voies empruntées par les

avions au roulage.

1.Le nombre total de voies de circulation est 13.

2.Vouloir parcourir le graphe en passant une fois et une seul par chaque arête, c"est déterminer un

cycleeulérien (onpartd"un sommet etonarriveaumême sommet) ouunechaîne eulérienne (on part d"un sommet et on arrive à un autre).

D"après le théorème d"Euler, un graphe admet un cycle eulérien si et seulement si tous ses som-

mets sont de degrés pairs, et un graphe admet une chaîne eulérienne si et seulement si tous ses

sommets sont de degrés pairs, sauf deux; la chaîne eulérienne part alors d"un des deux sommets

de degré impair pour aboutir à l"autre. Déterminons les degrés de tous les sommets :

SommetABCDEFT

Degré3444443

Ce graphe possède donc une chaîne eulérienne partant de A pour arriver à T (ou le contraire).

Exemple d"un tel parcours : A - B - C - A - T - F - C - D - B - E - D - F - E - T

PartieB

On oriente et on pondère le graphe précédent.

1. a.La matriceMassociée au graphe orienté proposé dans le texte est une matrice carrée d"ordre

7 (le nombre de sommets). On mettra à la ligneiet la colonnej, le nombre d"arcs allant du

sommetivers le sommetj, en rangeant les sommets dans l"ordre alphabétique :

M=(((((((((((0 1 1 0 0 0 00 0 0 1 1 0 00 1 0 1 0 1 00 0 0 0 1 1 00 0 0 0 0 1 10 0 0 0 0 0 11 0 0 0 0 0 0)))))))))))

Polynésie - Corrigé313 juin 2014

Baccalauréat ESA. P. M. E. P.

b.Le sommet A est le sommet numéro 1 et le sommet T est le sommet numéro 7. Le nombre de

trajets de longueur 3 reliant A à T est le nombre situé dans la matriceM3à la ligne 1 (sommet

A) et la colonne 7 (sommet T). À la calculatrice, on trouve quece nombre est 2; il y a donc deux trajets de longueur 3 reliant A à T : A - B - E - T et A - C - F - T.

2.L"avion se trouve en A et doit se rendre le plus rapidement possible au point T.

On va utiliser l"algorithme de Dijkstra pour déterminer l"itinéraire le plus rapide. Cet algorithme va donner tous les itinéraires les plus rapides partant de A.

ABCDEFTOn garde

0∞∞∞∞∞∞A

4 (A)3 (B)∞∞∞∞C (A)

4 (A)5 (C)∞6 (C)∞B (A)

5(C)6 (C)∞

4,5 (B)5 (B)D (B)

5 (B)6(C)∞

5 (D)5 (D)E (D)

5 (D)∞

5,5(E)F (D)

5,5 (F)T (F)

L"itinéraire le plus rapide pour aller de A à T est : A4-→B0,5-→D0,5-→F0,5-→T

Il a une durée de 4+0,5+0,5+0,5=5,5 minutes.

EXERCICE35 points

Commun à tous lescandidats

La suite

(un)est définie par :???u 0=5 u n+1=1

2un+1 pour tout entier natureln

PartieA

1.On donne trois algorithmes qui doivent afficher, pour un entier naturelnnon nul donné, tous les

termes de la suite, du rang 0 au rangn.

• Dans l"algorithme 1, il n"y a qu"une instruction d"affichage à la fin, ce qui ne convient pas.

• Dans l"algorithme 2, on donne la valeur 5 àUdans la boucle donc il ne s"affiche que des 5, ce

qui ne convient pas non plus. • C"est l"algorithme 3 qui convient.

2.On saisit la valeur 9 pourN, l"affichage est le suivant :

D"après les valeurs affichées dans le tableau, la suite (un) semble décroissante.

PartieB

On définit la suite

(vn), pour tout entier natureln, parvn=un-2; doncun=vn+2.

1.vn+1=un+1-2=1

2un+1-2=12(vn+2)-1=12vn+1-1=12vn

v

0=u0-2=5-2=3

Donc la suite (vn) est géométrique de premier termev0=3 et de raisonq=1 2.

Polynésie - Corrigé413 juin 2014

Baccalauréat ESA. P. M. E. P.

2.D"après les propriétés des suites géométriques, on peut dire que, pour tout entier natureln:

v n=v0×qn=3×?1 2? n

Orun=vn+2 donc, pour toutn,un=2+3?1

2? n

3.Pour toutn:

u n+1-un=? 2+3?1 2? n+1?

2+3?12?

n? =3?12? n+1 -3?12? n =3?12? n?12-1? =3?12? n? -12? <0

Donc la suite (un) est décroissante.

4.La suite (vn) est géométrique de raison1

2; or 0?1

2<1 donc la suite (vn) est convergente et a pour limite 0.

Orun=vn+2 pour toutn, donc la suite (un) est convergente et a pour limite 2.

5.On résout l"inéquationun-2?10-6:

u n-2?10-6??3?1 2? n ?10-6 ?1 2? n ?10-63 ??ln?1 2? n ?ln?10-63? croissance de la fonction ln sur]0;+∞[ ??n×ln1

2?ln?10-63?

propriété de la fonction ln ??n?ln?10-6 3? ln12car ln 1 2<0 ln ?10-6 3? ln12≈21,5 donc on aun-2?10-6à partir den=22.

À la calculatrice, on trouve u

21-2≈1,43×10-6>10-6et u22-2≈7,15×10-7<10-6.

EXERCICE45 points

Commun à tous lescandidats

Soitgla fonction définie sur[0; 10]parg(t)=4t

t2+1. Cette fonction modélise la concentration en antibiotique en fonction du temps.

1.D"après le graphique donné dans le texte :

a.la fonctiongest strictement croissante sur[0; 1], puis strictement décroissante sur[1; 10]; b.la concentration maximale d"antibiotique lors des 10 premières heures est de2 mg/l et elle est atteinte au bout d"une heure; c.l"intervalle de temps pendant lequel la concentration de l"antibiotique dans le sang est supé- rieure à 1,2 mg/l est à peu près]0,3; 3[.

2. a.La fonctiongest dérivable sur l"intervalle[0 ; 10]et sa dérivée estg?.

D"après la formule de dérivation d"un quotient : g ?(t)=4(t2+1)-4t×2t (t2+1)2=4t2+4-8t2(t2+1)2=4(1-t2)(t2+1)2 b.Pour tout réelt, (t2+1)2>0 doncg?(t) est du signe de 1-t2. Le polynôme 1-t2admet deux

racines-1 et 1, et il est du signe du coefficient det2donc négatif à l"extérieur de ces racines.

Donc sur[0; 10]:

Polynésie - Corrigé513 juin 2014

Baccalauréat ESA. P. M. E. P.

0,51,01,52,0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0t+ •g?(t)>0 sur[0; 1[doncgest strictement croissante sur[0; 1]; •g?(t)<0 sur]1; 10]doncgest strictement décroissante sur[1; 10]; • la fonctiongadmet un maximum pourt=1; ce maximum vautg(1)=2. Donc la concentration maximale de 2 mg/l est atteinte 1 heureaprès l"injection.

3.OnadmetqueGdéfiniesur[0; 10]parG(t)=2ln?t2+1?estuneprimitivedegsur cetintervalle.

La concentration moyenne d"une fonctionfsur[a;b]est1 b-a? b a f(x)dxdonc la concentra- tion moyenne de l"antibiotique pendant les 10 premières heures est1 10-0? 10 0 g(t)dt. On sait que la fonctionGest une primitive degsur[0; 10], donc?10 0 g(t)dt=G(10)-G(0)=2ln101-2ln1=2ln101.

La concentration moyenne est donc

1

10×2ln101=ln1015≈0,923 mg/l.

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