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Cours sur les nombres complexes 1/4

N

NOOMMBBRREESS CCOOMMPPLLEEXXEESS

Un peu d'histoire

Au XVIe siècle, l'italien Cardan lève une

interdiction célèbre entre toutes : il imagine qu'un nombre négatif peut admettre une racine carrée. Ainsi était créé l'ensemble des nombres complexes. Deux siècles plus tard, le suisse Euler utilise la lettre " i » en lieu et place de la notation pour le moins ambiguë "

1 ».

Le nombre i est un nombre imaginaire, dans le

sens où il ne peut être un nombre réel ! Depuis, la théorie sur les nombres complexes n'a cessé de progresser et de trouver des applications dans divers domaines tels que l'électricité, l'électronique, ... Leonhard Euler, mathématicien suisse (1707-1783)

Remarque : La lettre j est souvent préférée à i afin d'éviter, lors d'applications en électricité,

toute confusion avec l'intensité du courant.

I) Présentation des nombres complexes

1) Définition

Il existe un ensemble noté

dont les éléments, appelés nombres complexes, sont de la forme : zajb où a et b sont des nombres réels et j² = -1. a est la partie réelle et b est la partie imaginaire.

Remarque

: a + jb est la forme algébrique de z.

2) Représentation graphique

Dans le plan muni d'un repère, le nombre complexe z = a + jb est représenté par le point M de coordonnées (a, b) ou le vecteur: aOMb

On dit que

M est l'image de z ou que z est l'affixe de M.

M(z) a b u v O

Axe imaginaire

Axe réel

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Cours sur les nombres complexes 2/4

3) Egalité

Deux nombres complexes

11 1 zajb et 22 2
zajbsont égaux s'ils ont même partie réelle et même partie imaginaire : 12 zz alors 12 aa et 12 bb

En particulier : si

0zajb , alors 0ab

4) Conjugué

Si zajb, le nombre ajbest appelé conjugué dezet est noté z. z a jb z a jb

On remarque que

zz.

II) Opérations

On admet que les règles de calcul pour l'addition et la multiplication sont les mêmes dans que dans (en utilisant ² -1j).

1) Somme

Si et ' ' ', alors ' ( ') ( ').zajbz ajb zz aa jbb

2) Produit

Si et ' ' ', alors ' ( ' ') ( ' ').

z a jb z a jb zz aa bb j ab ba

3) Inverse et quotient

L'inverse d'un nombre complexe

z, noté 1 z , peut être mis sous la forme a+ jb en utilisant le conjugué : 1z z zz Il en est de même pour le quotient de deux nombres complexes z et z' (z' non nul) : ''zzz z zz

III) Forme trigonométrique

1) Module

Dans un plan de repère

, ,Ouv , soit un point M et son affixe zajb. La norme du vecteur

OMest : ²²OM OM a b

M(z) a b u v O

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Cours sur les nombres complexes 3/4

On appelle module de z le nombre réel positif : ²²zab Le module peut aussi être désigné par les lettresou r. On remarque que :

²²zz a jb a jb a b d'où

2 zz z

2) Argument

On appelle

argument de z, pour0z, et on note argz, une mesure à 2près de l'angle. arg , avec cos et sin abz UU

Remarques

- Le nombre z = 0 n'a pas d'argument car n'est pas défini. - Le tableau ci-dessous donne les valeurs trigonométriques exactes des angles remarquables. 0 6 4 3 2 sin 0 1 2 2 2 3 2 1 cos 1 3 2 2 2 1 2 0

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Cours sur les nombres complexes 4/4

3) Forme trigonométrique d'un nombre complexe

La forme trigonométrique d'un nombre complexe est : cos sinzj. j est le nombre complexe de module 1 et d'argument 2 : 1, 2j

4) Opération et forme trigonométrique (0 et '0)zz

a) Produit ''cos 'sin 'zz j quotesdbs_dbs41.pdfusesText_41