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cours du mardi 31/1/17
1 Comment résoudre un système linéaire?
Un système deméquations linéaires àninconnuesx1;:::;xnest de la forme suivante :
8>>>>><
>>>>:a
11x1+:::+a1nxn=b1
a m1+:::+amnxn=bm On appelleraA:= (aij)2Mmn(K)la matrice du système eteA:= (Ajbi) sa matrice étendue. Pour résoudre un tel système on peut utiliser la méthode de l"élimination de Gauss. Définition 1Une transformation élémentaire du système est une transfor- mation d"un des types suivants : (i) a jouterà une é quationun multiple d"une autr eé quation; (ii)
é changerdeux é quations;
(iii) multiplier un eé quationp arun nombr enon nul. Remarque :une transformation élémentaire du premier type ne modifie qu"une équation (celle à qui un multiple d"une autre est ajoué). Clairement, une solution du système est aussi une solution du système obtenu après une opération élémentaire. Or Ces opérations élémentaires sont réversibles, le système de départ peut être retrouver à partir de celui d"arrivée par une opération élémentaire du même type. Par exemple, si on applique L i Li+cLj,i6=j,c6= 0, on obtient une nouvelle ligneL0iet les autres lignes ne changent pas. Si on appliqueL0i L0icLjon retrouve le système dont on est parti. Donc le système obtenu après une ou plusieurs opérations
élémentaires est équivalent.
Exemple :
8 >>>>>>>:x
1+ 2x2+x3= 2
x
1+ 3x2+2x3x4= 4
2x1+x2x3+ 3x4=2
2x12x3+x4= 1L
2 L2L1
L
3 L32L1
L
4 L42L1()8
>>>>>>>:x
1+ 2x2+x3= 2
x
2+2x3x4= 2
3x23x3+ 3x4=6
4x24x3+x4=3
1 L
3 L3+ 3L2
L
4 L4+ 4L2()8
>>>>>>>:x
1+ 2x2+x3= 2
x
2+x3x4= 2
0 = 0
3x4= 5
L
3$L4()8
>>>>:x
1+ 2x2+x3= 2
x
2+x3x4= 2
x 4=5=3 On arrive à unsystème échelonné i.e.sa matrice étendue l"est.
Qu"est-ce qu"une matrice échelonnée? ...
2 Matrices échelonnées
Le premier coefficient non nul d"une ligne(a1;:::;an)2Knnon nulle est appelé sonpivot. L"indice du premier coefficient non nul est l"indicedu pivot. Définition 2 (Matrice échelonnée)On dit qu"une matriceAest échelon- née si : i) les indic esdes pivots des lignes non nul lesforment une suite strictement croissante; ii) les lignes nul lessi el lesexistent sont " en b as». Une matrice échelonnée est donc de la forme : 0 B
BBBBBBBBBBB@a
1j1::: :::::: :::
a
2j2:::::: :::
a rjr:::1 C
CCCCCCCCCCCA
où les coefficientsa1j1;:::;arjrsont non nuls et les coefficients à gaucheakj;j < j ket en dessousai;jk;i > ksont tous nuls. Comme pour les systèmes d"équations linéaires, on définit les opérations élé- mentaires sur les lignes d"une matrice. 2 Définition 3 (opération élémentaire)Une opération élémentaire sur les lignes d"une matrice est une transformation d"un des trois types suivants : (i) ajouter à une ligne une autr eligne multiplié ep arun c oefficient2K L i Li+Lj,i6=j,2K; (ii)
é changer2lignesLi$Lj;
(iii) multiplier une li gnep arun c oefficientnon nul Li Li,6= 0. Exercice 1Les opérations élémentaires sont le résultat de la multiplication
à gauche par
(i)Tij() :=0 B BBB@j
1 0:::0
i0 10............
0 0:::11
C
CCCA2Mm(K)(1sur la diagonale,en
position(i;j)des0ailleurs) (une matrice de transvection); (ii)Pij:=0 B
BBBBBBBBBBBBBBB@i j
1... i0 1 1... 1 j1 0 1...1 C
CCCCCCCCCCCCCCCA2Mm(K)la ma-
trice dont les coefficients sont tous nuls sauf les coefficients(i;j),(j;i), (k;k)k6=i;jqui valent1; (iii)D= diag(1;:::;;:::1). De plus chacune de ces matrices est inversible et : T ij()1=Tij(); P1ij=Pij; D1= diag(1;:::;1;:::1): Théorème 2.1SoitA2Mn(K). On peut transformerAen une matrice échelonnée en un nombre fini d"opérations élémentaires. Le résultat est une matrice échelonnée àrpivots pour un certainrm. Remarques :le nombrerde pivots est indépendant des opérations effec- tuées. Nous verrons que ce nombre est le rang de la matrice. 3 Démonstration :On raisonne par récurrence surmle nombre de lignes deA. Sim= 1, il n"y a rien à démontrer. Sim >1, soitj1la première colonne non nulle deA. Quitte à échanger la1ère ligne avec une ligneioù le coefficient a ij16= 0, on peut supposer quea1;j16= 0. Après les opérations : L i Liaij1a 1j1L 1 pour1< im, on obtient une matrice : 0 B @0::: a1j1:::
0:::0A01
C A oùA0est une matrice de taillem1nj1. On peut donc lui appliquer l"hypothèse de récurrence ...q.e.d.3 Comment résoudre un système échelonné? Corollaire 3.0.1Un système est équivalent à un système échelonné. SoitSun système échelonné. On noteAsa matrice eteAsa matrice étendue. Bien entendu,Aest aussi échelonnée. Notonsrle nombre de lignes non nulles deAetercelui deeA.
Il est clair que
er=rour+ 1. Proposition 3.1a)Si er=r+ 1, alors le système n"a pas de solutions. b) Si er=r=n, alors le système a une unique solution. c) Si er=r < n, appelonsj1;:::;jrles indices des pivots. On appellera x j1;:::;xjrles variables principales et les autres variables seront appelées variables libres. Il existe des coefficientsd1;:::;dr, des coefficientsci;k, ir,1kn,k62 fj1;:::;jrgtels que les solutions du système sont les(x1;:::;xn)vérifiant : 8 i; xji=X k2Lc ikxk oùL:=f1;:::;ng n fj1;:::;jrg. En particulier il y a strictement plus d"une solution et même un nombre infini siKl"est. 4 Démonstration :Sier=r+1, alors la ligner+1est de la forme :0x1+::::+
0xn=br+1pour unbr+16= 0. Un tel système n"a pas de solution.
Si er=r < n... Voici un exemple : 8 >>>>:x
1+ 2x2+x3= 2
x
2+x3x4= 2
x4= 5 x
1;x2;x4sont les variables principales etx3la variable libre. Le système est
équivalent à :8>>>>><
>>>>:x
1=x3+ 8
x 2=x33 x 4=5 q.e.d.Théorème 3.2SiA2Mm;n(K)avecm < n(il y a plus d"inconnues que d"équations), alors il existex1;:::;xnnon tous nuls tels que 8 >>>>:A
11x1+:::+A1nxn= 0
...= 0 A m1x1+:::+Amnxn= 0 Démonstration :(exo)q.e.d.CHAPITRE II : ESPACES VECTORIELS
1 Corps
SoitKun corps.
5
2 Sous-espaces vectoriels
Additions et multiplication par un scalaire dansKn Six= (x1;:::;xn);y= (y1;:::;yn)2Kn, alors on posex+y= (x1+ y
1;:::;xn+yn).
Si2K, on posex:= (x1;:::;xn).
On notera0le vecteur(0;:::;0).
Propriétés :pour tousx;y2Kn,;2K, on a :
a)(x) = ()x; b)1x=x. c)(x+y) =x+y; d)(+)x=x+x; e)0x= 0.
3 Sous-espaces vectoriels deKn
Définition 4 (sous-espace)On dit queEKnest un sous-espace deKnquotesdbs_dbs41.pdfusesText_41
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