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De plus, une fonction équivalente `a une fonction qui tend vers 0 tend elle aussi Les compositions avec l'exponentielle sont le pi`ege le plus courant avec ce
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Savoir qu'une fonction f (x) tend vers ±∞ ou vers 0 lorsque x est voisin de x0 ne suffit est l'utilisation d'un développement limité qui fournit un équivalent de la Remarque 5 Dans les formes indéterminées, l'exponentielle l'emporte sur la
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Exponentielle en 0 ex − 1 ∼ x→0 x Logarithme népérien en 1 ln(1 + x) ∼ Arccosx ∼ x→1 √2(1 − x) Fonctions puissances en Si α = 0, (1 + x)α − 1 ∼
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Noter aussi que pour m>n, o(xn) = o(xm) (x → ∞), mais malgré cette « égalité », o(xm) = o(xn) 1 2 Fonctions équivalentes Définition 4 On dit que f est équivalent `
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Comparaison des fonctions usuelles Soient α, β et γ des réels strictement positifs • En +∞ : (lnx)α = o x→+∞(
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Cette fonction est bien définie au voisinage de 2 car ]1,3] est un intervalle Soient x0 ∈ R Si f est g sont deux fonctions équivalentes en x0, alors leur limite en x0 En particulier, ON NE PEUT PAS COMPOSER PAR L'EXPONENTIELLE
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équivalentes quand x tend vers a s'il existe une fonction h(x), définie sur un inter- On a x2 ~x→+∞ x + x2 et l'exponentielle est continue sur R et pourtant
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13 jan 2018 · dans la recherche d'un équivalent d'une somme, d'une exponentielle ou d'un logarithme 3 Dans le cas o`u α est une fonction de x, il faudra
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Ann´ee 2006-2007TermSTG2
Chap 5 :Les Exponentielles
I. La fonction exp
Dans cette partie on s"int´eresse `a une fonction un peu particuli`ere : la fonction exponentielle.
1) D´efinition
Remarque :On rappelle que la fonction ln n"est d´efinie que sur ]0;+∞[ mais n"importe quel nombre
r´eel est le logarithme d"un nombre positif. D´efinition 1 :On appellefonction exponentiellela fonctionfd´efinie surRparf(x) est l"unique ant´ec´edentydexpar la fonction ln c"est-`a-dire ln?y?=x. On la note exp et on note ´egalementf(x) = exp(x) = ex. Remarque :La notation exest en lien avec les puissance ainsi que le nombre??e??d´efini dans le cours sur la fonction logarithme. e xse lit??e puissancex??. Proposition 1 :Pour tout nombre strictement positifyet tout r´eelxon a : •y= ex´equivaut `a ln(y) =x; •ln?ex?=x; •eln(y)=y; •ex>0 .2) ´etude de la fonction
On va `a pr´esent ´etudier la fonction exp.
Proposition 2 :La fonction exp est d´erivable surRet exp?(x) = exp(x) ou encore (ex)?= ex.Puisque (e
x)?= exet que pour toutxr´eel exest strictement positif :Page 1/3
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Proposition 3 :La fonction exp est strictement croissante surR.On a le tableau de variation suivant :
x-∞+∞ f?(x)+ f(x) On peut alors tracer la courbe repr´esentativeCfdef.O-→i
-→j1234 -11 2 3-1-2-3-4-5 e CfII. Propri´et´es alg´ebriques
1) Comparaison
Proposition 4 :On a
e a= ebest ´equivalent `aa=b; e aPage 2/3
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De ce r´esultat d´ecoule plusieures formules :Proposition 5 :Pour tousaetbr´eels on a :
1 ea= e-a; e a eb= ea-b; e n×a= (ea)npour tout entiern; e 12×a=⎷ea.
Remarque :Il faut bien faire attention `a ne pas confondre ces formulesavec les formules correspon- dantes pour le logarithme.En fait ici ce sont les formules??inverses??.
III. Fonctions exponentielles de basea
Dans cette partie on consid`ere un nombreastrictement positif.D´efinition 2 :On appellefonction exponentielle de baseala fonction d´efinie pour tout r´eelxpar
x→axo`uax= ex×ln(a). Remarque :Ces fonctions sont des cas plus g´en´eraux de ex. Notamment la fonction exponentielle de base le nombre e est la fonction exponentielle du premier paragraphe.On a aussi 1
x= ex×ln(1)= ex×0= e0= 1 pour toutxr´eel.Proposition 6 :La fonctionf:x→axest d´erivable surRet pour tout r´eelx:f?(x) = ln(a)×ax.
Ainsi on peut connaitre le signe def?en fonction dea: