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1 tan2 x = e 1 2 = √e Exercice type 3 Donner le développement limité à l'ordre 2 de la fonction cosx 1 + ln (1 + x) ++++++++ Solution +: On a cosx = 1 − x2

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Feuille d"exercices n

15 : Analyse asymptotique

PTSI B Lycée Eiffel

22 mars 2016

Exercice 1 (*)

Déterminer un équivalent simple de chacune des suites suivantes :

1.un=n2+e2n+pn

5ln(2n) + 2n3

2.un= (n+ 3ln(n))e(n+1)

3.un=ln(n2+ 1)n

2+ 1

4.un= lnn2+ 1n

2+ 2

5.un=pn

2+n+ 1pn

2n+ 1

6.un=k=nX

k=0k!

7.un=npn+1(n+ 1)pn

Exercice 2 (**)

Soit(un)une suite décroissante vérifiantun+un+11n . Montrer que la suite converge néces-

sairement vers0et en donner un équivalent simple. Le résultat reste-t-il vrai si la suite n"est pas

supposée décroissante?

Exercice 3 (***)

On considère la suite(un)définie pourn>1parun=sn+rn1 +qn2 ++p2 + p1.

1. Montrer que(un)diverge vers+1.

2. Déterminer une relation simple entreun+1etun.

3. Prouver par récurrence queun6npuis queun=o(n).

4. Déterminer un équivalent simple deun.

5. Déterminerlimn!+1unpn.

Exercice 4 ( à *)

Déterminer des équivalents des fonctions suivantes : 1. ln(1 + tan(x))psin(x)en0 2. px 3+ 13 px

21en+1

3.ln(cos(x))en0

4.(x+ 1)xxxen0

5.pln(x+ 1)ln(x)en+1

1cos(x)tan(x)en2

7.xx1x

xen+1et en0 8. ln(x2+ 1)ln(2x2+ 1)ln(x3+ 1)ln(x31)partout où c"est intéressant

Exercice 5 (**)

On considère, pour tout entier natureln, la fonctionfn:x7!x3+nx+n.

1. Montrer que l"équationfn(x) = 0possède toujours une unique solutionunsurR.

2. Montrer que16un60.

3. Déterminer la monotonie de la suite(un).

4. Prouver quelimn!+1un=1.

5. Montrer queun+ 11n

, puis queun=1 +1n 3n 2+o1n 2

6. Comme vous avez du temps à perdre, continuez les calculs jusqu"à avoir un développement

asymptotique à l"ordre1n 5.

Exercice 6 (* à **)

Calculer les développements limités suivants (on utilisera la notationDLn(a)pour indiquer le développement limité à l"ordrenau pointa) : DL4(0);f(x) =1p1xDL6(0);f(x) =1cos(x)DL4(1);f(x) =ex DL2(0);f(x) =p3 + cos(x)DL4(0);f(x) =pcos(x)DL5(0);f(x) =1(x1)2 DL3(0);f(x) =px+ 2DL4(0);f(x) = ln(1 +ex)DL6(0);f(x) =sin(x)x DL3(0);f(x) =pcos(x)cos(px)DL5(0);f(x) =esin(x)DL3(2);f(x) =x4 DL4(0);f(x) = (1 + sin(x))xDL2(1);f(x) = arctan(x)DL3(1);f(x) = ln(px)

DL3(0);f(x) =p1 +

p1 +xDL3(0);f(x) = ln(cos(3x))DL33 ;f(x) = cos(x)

DL3(0);f(x) =1sin(x)1sh(x)DL2(0);f(x) =ln(1 +x)e

x1DL3(0);f(x) = ln(2ex+ex) DL2(0);f(x) =xex2x+ 1DL2(2);f(x) =xxDL2(0);f(x) = arcsinx+ 1x+ 2 2

Exercice 7 (***)

À l"aide de l"inégalité de Taylor-Lagrange, déterminer un réelAtel que

8x2[0;1],8n2N,(1 +x2)1n

11n ln(1 +x2)6An

2. En déduire deux réelsaetbtels que

Z 1 0 (1 +x2)1n dx=n!+1a+bn +o1n

Exercice 8 (* à **)

Calculer à l"aide de développements limités les limites suivantes. limx!+1xx2ln 1 +1x limx!0 tan(x)x 1x 2 limx!0e xxcos(x)x

2limx!+1px

2+ 3x+ 2x

limx!01x 31sin

3(x)limx!+1

ch1x x2

Exercice 9 ( à *)

Étudier le comportement des fonctions suivantes (existence d"asymptote ou de tangente et posi- tion relative) à l"endroit indiqué :

1.f(x) = ln(1 +x+x2)au voisinage de0.

2.f(x) =xe

x1au voisinage de0.

3.f(x) = 2pxpx+ 1px1en+1.

4.f(x) =x1 +e1x

en+1.

5.f(x) =x2arctan11 +x

en+1.

6.f(x) =arctan(x)sin

3(x)1x

2au voisinage de0.

7.f(x) =Z

x2 x1p1 +t4dten+1(on donnera un développement asymptotique avec trois termes).

8.f(x) =xln(x)x

21surR.

9.f(x) =x11x

2surR.

Exercice 10 (***)

Montrer que les suites(un)et(vn)définies parun=nnX k=1cos1k etvn=un+sin1n sont adjacentes (au moins à partir d"un certain rang). 3

Problème (***)

On s"intéresse dans tout cet exercice à la fonctiong:x7!e1x p1 +x+x2.

1. Étude de la fonctiong.

(a) Déterminer le domaine de définition deg. (b) Calculer la dérivée deget prouver queg0(x) =e1x

2x2p1 +x+x2(2x3x22x2).

fois surR, en une valeurvérifiant1< <2(on pourra redériver un morceau deg0). (d) Déterminer les limites degaux bornes de son ensemble de définition. (e) La fonctiongprolongée à gauche en0admet-elle une demi-tangente à gauche en0(si oui, déterminer sa pente)? (f) Donner un équivalent simple deg(x)lorsquextend vers+1. (g) Effectuer un développement asymptotique degà l"ordre1x

2quandxtend vers+1(on

commencera par sortir un facteurxde la racine carrée). En déduire la présence d"une asymptote oblique dont on donnera l"équation, ainsi que la position relative de la courbe deget de cette asymptote au voisinage de+1. (h) La même droite est-elle asymptote quandxtend vers1? Sinon, que se passe-t-il de ce côté-là? (i) Tracer une allure soignée de la courbe représentative deg. On donne'1;55etg()' 4;2.

2. Un peu de suites implicites.

(a) Justifier que,8n>5, l"équationg(x) =nadmet deux solutions distinctesunetvnsur R +vérifiantun< etvn> . (b) Montrer que les deux suites(un)et(vn)sont monotones et prouver rigoureusement que limn!+1un= 0etlimn!+1vn= +1. (c) En partant de l"équationg(un) =n, montrer queln(n)un= 1 +un2 ln(1 +un+u2n). En déduire un équivalent simple deun. (d) Montrer queun=1ln(n)+12ln

3(n)+o1ln

3(n) (attention à la rédaction!). (e) Utiliser l"expression précédente pour obtenir le terme suivant du développement asymp- totique de la suite(un). (f) Donner un équivalent simple devnquandntend vers+1(on oubliera pas que(vn)tend elle-même vers+1, contrairement à(un)). (g) Montrer quevn=ne1v n 1 +1v n+1v 2n 12 , et en déduire la limite devnnquandn tend vers+1. (h) Calculer un développement asymptotique devnsous la formevn=n+a+bn +cn 2+o1n 2 4quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50

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Feuille d"exercices n

15 : Analyse asymptotique

PTSI B Lycée Eiffel

22 mars 2016

Exercice 1 (*)

1.un=n2+e2n+pn

5ln(2n) + 2n3

2.un= (n+ 3ln(n))e(n+1)

3.un=ln(n2+ 1)n

4.un= lnn2+ 1n

5.un=pn

2+n+ 1pn

6.un=k=nX

7.un=npn+1(n+ 1)pn

Exercice 2 (**)

Exercice 3 (***)

1. Montrer que(un)diverge vers+1.

2. Déterminer une relation simple entreun+1etun.

3. Prouver par récurrence queun6npuis queun=o(n).

4. Déterminer un équivalent simple deun.

5. Déterminerlimn!+1unpn.

Exercice 4 (** à ***)

21en+1

3.ln(cos(x))en0

4.(x+ 1)xxxen0

5.pln(x+ 1)ln(x)en+1

1cos(x)tan(x)en2

7.xx1x

Exercice 5 (**)

1. Montrer que l"équationfn(x) = 0possède toujours une unique solutionunsurR.

2. Montrer que16un60.

3. Déterminer la monotonie de la suite(un).

4. Prouver quelimn!+1un=1.

5. Montrer queun+ 11n

6. Comme vous avez du temps à perdre, continuez les calculs jusqu"à avoir un développement

Exercice 6 (* à **)

DL3(0);f(x) =p1 +

DL3(0);f(x) =1sin(x)1sh(x)DL2(0);f(x) =ln(1 +x)e

Exercice 7 (***)

8x2[0;1],8n2N,(1 +x2)1n

2. En déduire deux réelsaetbtels que

Exercice 8 (* à **)

2limx!+1px

2+ 3x+ 2x

3(x)limx!+1

Exercice 9 (** à ***)

1.f(x) = ln(1 +x+x2)au voisinage de0.

2.f(x) =xe

3.f(x) = 2pxpx+ 1px1en+1.

4.f(x) =x1 +e1x

5.f(x) =x2arctan11 +x

6.f(x) =arctan(x)sin

3(x)1x

2au voisinage de0.

7.f(x) =Z

8.f(x) =xln(x)x

21surR.

9.f(x) =x11x

2surR.

Exercice 10 (***)

Problème (***)

1. Étude de la fonctiong.

2x2p1 +x+x2(2x3x22x2).

2quandxtend vers+1(on

2. Un peu de suites implicites.

3(n)+o1ln

Exercice 4 ( à *)

Exercice 9 ( à *)