Exercices de mathématiques pour la classe terminale - BDRP
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COURS DE MATHÉMATIQUES
Terminale S
Valère BONNET(
valere.bonnet@gmail.com)29 mai 2011
Lycée PONTUS DETYARD
13 rue des Gaillardons
71100 CHALON SUR SAÔNE
Tél. : (33) 03 85 46 85 40
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FRANCE
iiLYCÉEPONTUS DETYARDTerminale VI
Table des matières
Tabledes matièresiii
I Vocabulairede la logique1
I.1 Qu"est-ce qu"une proposition?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
I.2 Négation d"une proposition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
I.3 Le " et ». . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 1
I.4 Le " ou ». . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 2
I.5 Propositions et parties d"un ensemble. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
I.6 Lois de MORGAN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2
I.7 Opérations sur les parties d"un ensemble. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
I.8 Implications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 5
I.8.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
I.8.2 Réciproque d"une implication. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
I.8.3 Contraposée d"une implication. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
I.8.4 Implication contraire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
I.9 Double implication ou équivalence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
I.10 Formules récapitulatives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
I.11 Raisonnement par récurrence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
II Révisions9
II.1 Identités remarquables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
II.2 Éléments de symétries d"une courbe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
II.2.1 Symétries dans IR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
II.2.2 Axe de symétrie d"une courbe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
II.2.3 Centre de symétrie d"une courbe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
II.3 Trigonométrie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 12
II.3.1 Quelques valeurs remarquables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
II.3.2 Quelques formules. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
II.3.3 Équations trigonométriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
II.4 Géométrie du triangle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
II.4.1 Aire d"un triangle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
II.4.2 Théorème des sinus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
II.4.3 Théorème d"ALKASHI. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
II.4.4 Théorème de la médiane. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
II.5 Polynômes du second degré. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
II.5.1 Forme canonique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
II.5.2 Représentation graphique et sens de variation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
II.5.3 Factorisation et résolution d"équations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
II.5.4 Signe d"un trinôme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
II.5.5 Tableau récapitulatif. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
II.5.6 Compléments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
II.5.7 Travaux dirigés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
II.5.8 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 26
II.6 Exercices résolus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 26
iii ivTable des matièresIII Suites numériques31
III.1 Vocabulaire de l"ordre dans IR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
III.1.1 Majorants, minorants .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
III.1.2 Théorème de la borne supérieure (complément). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
III.2 Définitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 32
III.2.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
III.2.2 Composée d"une suite par une fonction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
III.2.3 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 32
III.3 Représentation graphique d"une suite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
III.3.1 Représentation graphique d"une suite définie explicitement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
III.3.2 Représentation graphique d"une suite définie par récurrence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
III.3.3 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 33
III.4 Suites bornées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 34
III.4.1 Généralités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34
III.4.2 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 34
III.5 Suites monotones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35
III.5.1 Définitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35
III.5.2 Méthodes d"étude du sens de variation d"une suite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
III.5.3 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 37
III.6 Suites arithmétiques - suites géométriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
III.6.1 Suites arithmétiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
III.6.2 Suites géométriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
III.6.3 Exercices résolus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
III.7 Limites de suites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 42
III.7.1 Limite finie, limite infinie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
III.7.2 Théorèmes de comparaisons. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
III.7.3 Calcul algébrique de limites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
III.7.4 Limites de suites géométriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
III.7.5 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 48
III.8 Suites monotones bornées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
III.8.1 Théorème de convergence d"une suite monotone. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
III.8.2 Suites adjacentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
III.8.3 Exercices résolus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
III.8.4 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 51
III.9 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 51
IV Limites de fonctions, continuité53
IV.1 Limite finie (ou réelle). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
IV.1.1 Limite d"une fonction en. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
IV.1.2 Limite d"une fonction en un réela. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
IV.2 Notion de continuité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
IV.3 Utilisation de la continuité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
IV.3.1 Continuité et bijection. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
V Exponentielleset équationsdifférentielles57V.1 La fonction exponentielle de base e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
V.1.1 Propriété fondamentale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
V.1.2 Sens de variation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
V.1.3 Autres propriétés algébriques de l"exponentielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
V.1.4 Quelques limites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
V.2 La fonction logarithme népérien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
V.2.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
V.2.2 Dérivabilité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61
V.2.3 Dérivée de lnu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
V.2.4 Logarithme népérien et calcul intégral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
V.3 Des exponentielles et des logarithmes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
V.3.1 Notationab, poura,bréels eta0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
V.3.2 Fonctions exponentielles de basea(aveca0). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
V.3.3 Fonctions logarithmes de basea(aveca0 eta?1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
V.4 Équations différentielles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
V.4.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
LYCÉEPONTUS DETYARDTerminale VI
Table des matièresv
V.4.2 Équations du typeyay0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
V.4.3 Équations du typeyayb. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
V.4.4 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 68
VI Dérivabilité69
VI.1 Fonctions dérivables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
VI.1.1 Nombre dérivé, fonction dérivée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
VI.1.2 Dérivabilité des fonctions usuelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
VI.1.3 Principaux résultats. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
VI.2 Dérivation d"une fonction composée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
VI.2.1 Théorème de dérivation d"une fonction composée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
VI.2.2 Dérivée de la fonctionu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
VI.2.3 Dérivée de la fonctionun(n?). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
VI.3 Dérivation et études de fonctions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
VI.3.1 Sens de variation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
VI.3.2 Extremum local. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
VI.4 Dérivées successives d"une fonction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
VI.5 Exercices résolus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 73
VII Nombres complexes77
VII.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 77
VII.1.1 Des équations et des ensembles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
VII.1.2 Activités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 77
VII.1.3 Définitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .78
VII.1.4 Calcul dans?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
VII.2 Interprétations géométriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
VII.2.1 Affixe, point image, vecteur image. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
VII.2.2uu,ku,MM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
VII.2.3 Écriture complexe de certaines symétries. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
VII.2.4 Coordonnées polaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
VII.2.5 Module et arguments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
VII.3 Propriétés algébriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
VII.3.1 Propriétés du conjugué. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
VII.3.2 Propriétés du module et des arguments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
VII.3.3 Formule de MOIVRE(complément). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
VII.4 Notation exponentielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
VII.4.1 Une équation différentielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
VII.4.2 Définitions et propriétés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
VII.4.3 Forme exponentielle et symétries usuelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
VII.4.4 Formules d"EULER. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
VII.4.5 Racines carrées d"un nombre complexe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
VII.5 Nombres complexes et polynômes (compléments). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
VII.5.1 Théorème fondamental de l"algèbre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
VII.5.2 Résolution des équations du second degré. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
VII.6 Utilisation des nombres complexes (compléments). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
VII.6.1 Racinesn-ièmes de l"unité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
VII.6.2 Racinesn-ièmes d"un nombre complexe non nul. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
VII.6.3 Polynômes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .90
VII.6.4 Forme algébrique des racines carrées d"un nombre complexe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
VII.6.5 Trigonométrie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
VII.7 Géométrie et nombres complexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
VII.7.1 Propriétés générales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
VII.7.2 Écriture complexe de quelques transformations usuelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
VII.7.3 Affixe du barycentre d"un système de points pondérés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
????-????série S viTable des matièresVIII Intégration97
VIII.1Primitives d"une fonction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
VIII.1.1Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
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