Cours de mathématiques – Terminale STMG - Jocelyn De Brito
e mathématiques – Terminale STMG Chapitre 1 – Information chiffrée
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Cours de mathématiques - Terminale
STMGChapitre 1 - Information chiffrée.........................................................................................................3
I - Proportions.................................................................................................................................3
II - Taux d'évolution........................................................................................................................3
a) Détermination d'un taux d'évolution.......................................................................................3
b) Appliquer un taux d'évolution.................................................................................................4
III - Taux réciproque.......................................................................................................................4
IV - Indices......................................................................................................................................5
V - Évolutions successives..............................................................................................................5
VI - Taux d'évolution moyen...........................................................................................................6
a) Racine n-ième d'un réel positif...............................................................................................6
b) Taux d'évolution moyen..........................................................................................................6
Chapitre 2 - Statistiques.......................................................................................................................7
I - Rappels sur les statistiques à une variable..................................................................................7
a) Indicateurs de tendance centrale.............................................................................................7
b) Indicateurs de position et de dispersion..................................................................................7
c) Diagrammes en boîte..............................................................................................................8
II - Statistiques à deux variables.....................................................................................................8
a) Nuage de points.......................................................................................................................8
b) Point moyen............................................................................................................................9
c) Droite de régression par la méthode des moindres carrés.....................................................10
d) Utilisation de la droite de régression....................................................................................11
Chapitre 3 - Suites numériques..........................................................................................................12
I - Généralités sur les suites..........................................................................................................12
II - Suites arithmétiques................................................................................................................12
a) Définition..............................................................................................................................12
b) Terme général........................................................................................................................13
c) Sens de variation...................................................................................................................13
III - Suites géométriques...............................................................................................................14
a) Définition..............................................................................................................................14
b) Terme général........................................................................................................................14
IV - Exemple de comparaison de suites........................................................................................15
a) Placement de Madeleine.......................................................................................................15
b) Placement d'Élise..................................................................................................................15
c) Comparaison des suites.........................................................................................................15
d) Utilisation du tableur............................................................................................................16
Chapitre 4 - Probabilités conditionnelles...........................................................................................17
I - Évènements et probabilités.......................................................................................................17
a) Définitions.............................................................................................................................17
b) Probabilité d'un évènement...................................................................................................17
c) Opérations sur les évènements..............................................................................................18
d) Formules...............................................................................................................................18
II - Probabilité conditionnelle.......................................................................................................18
a) Définition d'une probabilité conditionnelle..........................................................................19
Cours de mathématiques - Terminale STMG : 1/32
b) Utilisation d'un arbre.............................................................................................................19
c) Probabilité totale dans une partition.....................................................................................20
Chapitre 5 - Fonctions dérivées.........................................................................................................21
I - Fonction dérivée et tangente.....................................................................................................21
II - Calcul des dérivées des fonctions polynômes.........................................................................22
a) Dérivées des fonctions puissances........................................................................................22
b) Opérations sur les dérivées...................................................................................................22
III - Calcul des dérivées des fonctions rationnelles......................................................................23
a) Dérivée de la fonction inverse..............................................................................................23
b) Quotient de deux fonctions dérivables.................................................................................23
IV - Dérivée et variations..............................................................................................................24
Chapitre 6 - Loi normale....................................................................................................................25
I - Rappels sur la loi binomiale.....................................................................................................25
a) Situation................................................................................................................................25
b) Loi binomiale........................................................................................................................25
c) Utilisation de la calculatrice..................................................................................................26
II - Loi normale.............................................................................................................................27
a) Approximation de la loi binomiale par une loi normale.......................................................27
b) Courbe de la loi normale.......................................................................................................27
c) Calcul de probabilités avec la loi normale............................................................................29
d) Utilisation de la calculatrice.................................................................................................30
e) Intervalle de fluctuation........................................................................................................30
Chapitre 7 - Échantillonnage et estimation........................................................................................31
I - Principe de l'échantillonnage et de l'estimation........................................................................31
II - Intervalles de fluctuation et de confiance................................................................................31
a) Calcul des intervalles de fluctuation et de confiance............................................................31
b) Signification des intervalles..................................................................................................32
c) Prise de décision à partir d'un échantillon.............................................................................32
Cours de mathématiques - Terminale STMG : 2/32
Chapitre 1 - Information chiffrée
I - Proportions
Illustration : On sait que dans un lycée, il y a 368 filles et 450 garçons. On voudrait connaître le
pourcentage d'élèves dans ce lycée qui sont des filles.Définition : Une proportion (ou part) est le rapport du nombre d'éléments de la partie qui
nous intéresse par le nombre total d'éléments.Exemple : Dans ce lycée, il y a donc 368+450=818 élèves. La proportion de filles parmi les
élèves est donc
368818≈0,45. On peut donc dire que dans le lycée il y a environ 45 % de filles - et
donc 55 % de garçons. Remarques : Une proportion est toujours comprise en 0 (0 %) et 1 (100 %). Calculer p % d'une quantité, c'est la multiplier par p 100.II - Taux d'évolution
a) Détermination d'un taux d'évolutionIllustration : On sait qu'un article, qui coutait 28 €, coute maintenant 35 €. On cherche à savoir
quel est son taux d'évolution, c'est-à-dire à quelle proportion (par rapport au prix de départ)
correspond l'augmentation. Dans ce cas, l'article a augmenté de 35-28=7 €. On calcule la proportion : 728=0,25=25 %.
Le prix a augmenté de 25 %.
Définition : Une quantité évolue d'une valeur initiale y1 à une valeur finale y2. Le taux d'évolution t de y1 à y2 est t=y2-y1 y1.Chapitre 1 - Information chiffrée : 3/32
Exemple : Le nombre de naissances dans un pays est passé de 45 000 à 33 000. Le taux d'évolution
est donc t=33000-4500045000≈-0,27, soit une baisse de 27 % environ.
Remarques :
•Si t>0, il s'agit d'une augmentation, si t<0, il s'agit d'une diminution. •Un taux d'évolution peut dépasser 100 %. b) Appliquer un taux d'évolutionIllustration : La température d'une pièce est de 28 °C. Elle augmente de 25 %, c'est-à-dire de
28×25
100=7 °C.
Elle est donc maintenant de 28+7=33 °C.
On a finalement calculé 28+28×25
100=28×1+28×25
100=28×1+28×25
100=28×
(1+25 100).Propriété : Faire subir une évolution de taux t, c'est multiplier une quantité par le coefficient multiplicateur 1+t.
Exemple : Faire subir une évolution de taux
t=-20%, c'est donc multiplier par 1-20100=0,8.
III - Taux réciproque
Illustration : Pour les soldes, un prix a baissé de 30 %. On cherche quelle évolution lui faire subir
pour revenir au prix initial.Si t≠-1 est l'évolution subie, le coefficient multiplicateur est 1+t, on cherche donc l'évolution
réciproque t' telle que les évolutions successives de taux t et t' équivalent à une évolution de
taux 0, c'est-à-dire (1+t)(1+t')=1⇔1+t'=1 1+t.Propriété : Si une quantité subit une évolution de taux t≠-1, l'évolution réciproque de taux
t' vérifie t'=11+t-1.
Exemple : Si une quantité subit une augmentation de 25 %, le taux t' de l'évolution réciproque est t'=11+0,25-1=1
1,25-1=-0,2=-20%.
Une diminution de 20 % compense une augmentation de 25 %.Chapitre 1 - Information chiffrée : 4/32
IV - Indices
Illustration : En France, une nouvelle méthode de recensement a été mise en place en 2004.
Si on veut rapidement savoir dans quelle proportion évolue la population, on peut choisir 2004comme année de référence, et lui attribuer " l'indice 100 » - c'est-à-dire faire comme si il y avait
100 habitants seulement en France en 2004. Par proportionnalité, l'indice en 2005 était de 100,8. On
peut donc en conclure que la population française a augmenté de 0,8 %. Définition : y1 et y2 sont deux valeurs d'une même grandeur. Définir l'indice base 100 de cette grandeur correspondant à y1, c'est associer à y1 la valeur I1=100. Par proportionnalité, on calcule l'indice I2 associe à y2.Propriété : On a donc I2
I1=y2 y1 donc I2=100×y2 y1.Exemple : Le taux de natalité en France pour 1 000 habitants était de 18,70 en 1960 et de 12,83 en
2010. On choisit comme indice de base 100 le taux de natalité pour 1 000 habitants en 1960.
L'indice en 2010 est donc
100×12,83
18,70≈68,6.
V - Évolutions successives
Illustration : Une quantité peut subir plusieurs évolutions successives - par exemple une diminution
de 50 %, puis une augmentation de 30 %, puis une diminution de 10 %. À chaque étape, la nouvelle
quantité est égale à la quantité précédente multipliée par un coefficient multiplicatif de la forme
1+t où t est le taux d'évolution. On cherche le taux d'évolution global.
Si une quantité subit n évolutions de taux respectifs t1, t2, ..., tn, la quantité a été multipliée par (1+t1)(1+t2)...(1+tn). Si T est le taux qui correspond à l'évolution globale, on a alors1+T=(1+t1)(1+t2)...(1+tn).
Propriété : Si une quantité subit
n évolutions de taux respectifs t1, t2, ..., tn, alors le taux global T vérifieT=(1+t1)(1+t2)...(1+tn)-1.
Exemple : Une quantité subit une augmentation de 10 %, une diminution de 20 %, une augmentation de 50 %.Le taux global T est donc
T=(1+10
100)(1-20
100)(1+50
100)-1=1,1×0,8×1,5-1=0,32=32%.
L'évolution globale est une augmentation de 32 %. Une augmentation de 10 %, suivie d'une diminution de 20 %, suivie d'une augmentation de 50 % équivalent à une seule augmentation de 32 %.Chapitre 1 - Information chiffrée : 5/32
VI - Taux d'évolution moyen
Illustration : Une quantité a subi 9 évolutions successives. Le taux global d'évolution est de 15 %.
On cherche le taux d'évolution moyen, c'est-à-dire le taux tM tel que 9 évolutions successives
chacune de taux TM correspond à une seule évolution de taux 15 %.Remarque : Si T est le taux d'évolution global pour une quantité ayant subi n évolutions
successives, et si tM est son taux d'évolution moyen, on a alors (1+tM)n=1+T. a) Racine n -ième d'un réel positif Définition : Soit n un entier supérieur ou égal à 2, et a un réel positif. La racine n -ième du réel a est le réel positifquotesdbs_dbs21.pdfusesText_27