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Jean-Pierre Dedieu, Jean-Pierre Raymond
ANALYSE : FONCTIONS D"UNE
VARIABLE R´EELLE
Institut de Math´ematiques
Universit´e Paul Sabatier
31062 Toulouse cedex 09
jean-pierre.dedieu@math.univ-toulouse.fr 2 Table des Mati`eres1 Rappels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .91.1 Nombres r´eels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.1 Corps commutatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.2 Totalement ordonn´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.3 Borne inf´erieure, sup´erieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10
1.1.4Rest archim´edien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.5Qest dense dansR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.1 D´efinition de la limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.2 Stabilit´e des limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.3 Convergence monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.4 Suites de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.5 Limites classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3 Limites de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.1 Intervalles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.2 D´efinition des limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.3 Limites de fonctions et limites de suites . . . . . . . . . . . .. 16
1.3.4 Stabilit´e des limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.5 Limite et supremum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 Fonctions continues. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19
2.1 D´efinitions et propri´et´es ´el´ementaires . . . . . . . . .. . . . . . . . . 19
2.2 Propri´et´es alg´ebriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 20
2.3 Propri´et´es des fonctions continues sur un intervalle compact . . . . . 21
2.3.1 Le th´eor`eme de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3.2 Le th´eor`eme des valeurs interm´ediaires . . . . . . . . .. . . . 22
2.3.3 Continuit´e uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3.4 Le th´eor`eme de Heine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.5 Fonctions en escalier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3 D´erivation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27
3.1 D´efinition de la d´eriv´ee en un point. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 27
3.1.1 D´eriv´ee en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.1.2 D´eriv´ees `a gauche, `a droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 29
4Table des Mati`eres
3.1.3 Graphe et tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2 R`egles de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.3 D´eriv´ees des fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 31
3.4 D´eriv´ee d"une fonction compos´ee . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 31
4 Th´eor`emes des accroissements finis, formules de Taylor. . . . . .33
4.1 Extrema d"une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.2 Th´eor`eme de Rolle, th´eor`eme des accroissements finis .. . . . . . . . 35
4.2.1 Th´eor`eme de Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.2.2 Th´eor`eme des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.2.3 Fonctions r´eciproques des fonctions strictement monotones . . 36
4.2.4 R`egle de l"Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.3 D´eriv´ees successives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.4 Formules de Taylor-Lagrange et de Taylor-Young . . . . . . .. . . . 40
4.4.1 Exemples et remarques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.4.2 La formule de Taylor-Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5 D´eveloppements limit´es. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43
5.1 D´efinition d"un d´eveloppement limit´e . . . . . . . . . . . . .. . . . . 43
5.2 D´eveloppements limit´es usuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 45
5.2.1 Fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.2.2 Sinus et cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.2.3 Fonctions cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique .. . . . 47
5.2.4 La fonction (1 +x)α. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.2.5 La fonction logarithme n´ep´erien . . . . . . . . . . . . . . . .. 48
5.2.6 Exemples de d.l. au voisinage dea?= 0 . . . . . . . . . . . . . 48
5.2.7 D´eveloppement limit´e au voisinage de l"infini . . . . . .. . . . 48
5.3 Op´erations sur les d´eveloppements limit´es . . . . . . . . .. . . . . . 49
5.3.1 D´eveloppement limit´e d"une combinaison lin´eaire defetg. . 49
5.3.2 D´eveloppement limit´e du produit defetg. . . . . . . . . . . 49
5.3.3 D´eveloppement limit´e de la compos´ee defetg. . . . . . . . 50
5.3.4 D´eveloppement limit´e du quotient defparg. . . . . . . . . 50
5.3.5 Division d"un polynˆome par un autre suivant les puissances
croissantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505.4 Exemples d"utilisation des d´eveloppements limit´es . .. . . . . . . . . 51
6 Fonctions convexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53
6.1 Fonctions convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6.2 Caract´erisations des fonctions convexes . . . . . . . . . . . .. . . . . 54
7 Int´egration. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57
7.1 Int´egrale des fonctions en escalier . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 57
7.2 Int´egrale des fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 58
7.3 Int´egrale des fonctions continues par morceaux . . . . . .. . . . . . . 61
7.4 Le th´eor`eme fondamental du calcul int´egral . . . . . . . .. . . . . . . 61
7.5 Primitives et int´egrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 62
Table des Mati`eres5
7.5.1 Primitives d"une fonction continue . . . . . . . . . . . . . . .. 62
7.5.2 Primitives usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
7.5.3 Primitives d"un d´eveloppement limit´e . . . . . . . . . . .. . . 64
7.6 Int´egration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .64
7.7 Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
7.7.1 R´esultats g´en´eraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
7.7.2 Trinˆomes du second degr´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
7.8 Int´egration des fractions rationnelles . . . . . . . . . . . .. . . . . . 67
7.8.1 Factorisation complexe d"un polynˆome . . . . . . . . . . . . .67
7.8.2 Factorisation r´eelle d"un polynˆome . . . . . . . . . . . . . .. 68
7.8.3 Fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
7.8.4 D´ecomposition en ´el´ements simples de premi`ere esp`ece . . . . 70
7.8.5 D´ecomposition en ´el´ements simples de deuxi`eme esp`ece . . . . 70
7.8.6 Int´egration des fractions rationnelles . . . . . . . . . .. . . . 71
7.9 Quelques changements de variable classiques . . . . . . . . . . .. . . 71
7.9.1 Fonctions de la formeF(cosx,sinx) . . . . . . . . . . . . . . . 72
7.9.2 Fonctions de la formeF(coshx,sinhx) . . . . . . . . . . . . . 72
7.9.3 Fonctions de la formeF?
x,?ax+b cx+d? 1/n? . . . . . . . . . . . . . 727.9.4 Fonctions de la formeF?x,⎷
ax2+bx+c?. . . . . . . . . . . 728 Equations diff´erentielles lin´eaires du premier ordre. . . . . . . . .73
8.1´Equations diff´erentielles lin´eaires homog`enes d"ordre1 . . . . . . . . . 73
8.2 Probl`eme de Cauchy pour les ´equations diff´erentielles homog`enes . . . 75
8.3´Equations diff´erentielles lin´eaires non homog`enes d"ordre 1 . . . . . . 75
8.4 M´ethode de la variation de la constante . . . . . . . . . . . . . . .. . 77
8.5 Raccord de deux solutions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
8.5.1 Un exemple ´el´ementaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
8.5.2 Un deuxi`eme exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
8.6 Applications des ´equations diff´erentielles. . . . . . . . . .. . . . . . . 80
9 Courbes planes param´etr´ees. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81
9.1 Arcs de courbes param´etr´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
9.2 D´eriv´ees, d´eveloppements limit´es . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 82
9.3 Tangente `a un arc de courbe param´etr´e . . . . . . . . . . . . . .. . . 83
9.3.1 Droites du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
9.3.2 Tangente en un point d"un arc de courbe param´etr´e . . .. . . 83
9.3.3 Tangente en un point stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . 84
9.4 Position de la courbe par rapport `a sa tangente . . . . . . . . . .. . 85
9.5 Branches infinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
9.6 Exemple d"´etude d"un arc param´etr´e . . . . . . . . . . . . . . .. . . 89
Index. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .956Table des Mati`eres
Avant-Propos
La r´edaction de ce polycopi´e a b´en´efici´e de versions pr´eliminaires, d"une part le
polycopi´e "Suites Num´eriques" de Jean-Pierre Dedieu et Jean-Claude Yakoubsohn qui a servi de base pour la r´edaction du chapitre 1 et d"autre part un cours po- lycopi´e de Solenn Autret correspondant `a cet enseignement. Nous remercions tout particuli`erement Solenn Autret qui nous a fourni les fichiers des figures utilis´ees ici.8Table des Mati`eres
1. Rappels1.1 Nombres r´eelsD´efinition 1.1Le corps des nombres r´eels, que l"on noteR, est d´efini axiomatique-
ment de la fa¸con suivante : c"est un corps commutatif, totalement ordonn´e, qui v´erifie l"axiome de la borne sup´erieure. Dans les lignes qui suivent nous allons pr´eciser ces termes.1.1.1 Corps commutatif
D´efinition 1.2Un corps commutatifKest un ensemble ´equip´e de deux op´erations not´ees+et×qui v´erifient : (K,+)groupe commutatif a+b=b+a a+ (b+c) = (a+b) +c a+ 0 = 0 +a=a a+ (-a) = (-a) +a= 0(K?,×)groupe commutatif ab=ba a(bc) = (ab)c a×1 = 1×a=a a×a-1=a-1a= 1,(a?= 0) a(b+c) =ab+ac1.1.2 Totalement ordonn´e
et lorsqu"elle est compatible avec l"addition et la multiplication :10Rappels
1.1.3 Borne inf´erieure, sup´erieure
D´efinition 1.4SoitAune partie deRet soita?R. On dit queAestmajor´es"il a un majorant,
Aestminor´es"il a un minorant,
Aestborn´es"il est major´e et minor´e. Exemple 1.1L"intervalle ]0,1] est born´e :-2 est un minorant, 2 est un majorant. Proposition 1.1LorsqueAest major´e et non-vide, l"ensemble des majorants deA majorant deA. Axiome de la borne sup´erieure.SoitA?Rmajor´e et non-vide. L"ensemble des majorants deAest du type [M,+∞[. On appelleMlaborne sup´erieuredeA. On la noteM= supA. Proposition 1.2LorsqueAest minor´e et non-vide, l"ensemble des minorants deA est du type]-∞,m]. On appellemlaborne inf´erieuredeA. On la notem= infA. D´efinition 1.5Si la borne sup´erieureM(resp. inf´erieurem) deAest un ´el´ement de Aon l"appelle lemaximum1ou leplus grand ´el´ementdeA(resp. leminimum ou leplus petit ´el´ementdeA). On note alorsM= maxA(resp.m= minA). Exemple 1.2L"ensemble des majorants de ]0,1[ est l"intervalle [1,+∞[. Ainsi, sup ]0,1[=1 et max ]0,1[ n"existe pas. L"ensemble des majorants de ]0,1] est l"intervalle [1,+∞[
mais cette fois-ci max ]0,1] = 1. Une caract´erisation de la borne sup´erieure est donn´ee par la proposition suivante : Proposition 1.3SoitAune partie major´ee et non vide deR. Il y a ´equivalence entre1.M= supA,
2.Mest le plus petit des majorants deA,
3.Mest un majorant deAet, pour tout? >0, il existex?Atel queM-? < x.
On a une proposition similaire pour la borne inf´erieure :1Au f´eminin de l"adjectif le dictionnaire de l"Acad´emie donne maxima et la languetechnique
utilise tantˆot maximum (vitesse maximum), tantˆot maxima (temp´erature maxima). Pluriel courant
des maximums, comme des albums ou des pensums, le pluriel latin maxima ´etant r´eserv´e `a la langue
scientifique. Les math´ematiciens disent au pluriel des maxima, mais les grammairiens demandent qu"on traite le mot comme fran¸cais et qu"on dise des maximums.1.2Suites11
Proposition 1.4SoitAune partie minor´ee et non vide deR. Il y a ´equivalence entre1.m= infA
2.mest le plus grand des minorants deA,
3.mest un minorant deAet, pour tout? >0, il existex?Atel quex < m+?.
D´efinition 1.6Soitf:E→Ro`uEest un ensemble quelconque. On note inf x?Ef(x) = inf{f(x)x?E} et idem pourmin,supetmax.1.1.4Rest archim´edien
Th´eor`eme 1.1Rest archim´edien, c"est `a dire que, pour toutx?R, il existe un entiern?N?tel quex < n. sa borne sup´erieureM= supA. Prenons?= 1/2. D"apr`es la proposition 1.3 il existe (sans quoiMne serait pas le supremum deA). Ainsi,k+1> xet on prendn=k+1.1.1.5Qest dense dansR
Proposition 1.5Entre deux r´eels il y a toujours un rationnel : pour toutxety?R avecx < y, il existe un rationnelp/qtel quex < p/q < y. On dit queQest dense dansR. D´emonstration.Par le th´eor`eme 1.1, il existe un entierq >0 tel que 1/(y-x)< q ainsi qu"un entiern >0 tel queqx < n. L"ensembleA={n?N?:qx < n}est minor´e par 1 et non vide. Admettons que tout ensemble non vide d"entiers, iciA?N,1.2 Suites
D´efinition 1.7Une suite num´erique est une applicationu:N→R. On dit quev est une sous-suite d"une suiteulorsquev=u◦ko`uk:N→Nest une application strictement croissante. Une suiteuse note traditionnellementu= (un)n≥0(ou, plus simplement, (un)) et une sous-suitev=u◦k= (ukn)n≥0.12Rappels
1.2.1 D´efinition de la limite
D´efinition 1.8On dit que la suiteu= (un)n≥0admet une limitelquandntend vers l"infini si pour tout? >0, il existe un entiern0≥0tel que pour toutn≥n0on a On dit aussi que la suiteuconverge verslou encore que la suiteuest convergente et on note limn→+∞un=l D´efinition 1.9On dit que la suiteu= (un)n≥0a pour limite∞(resp.-∞) quand ntend vers l"infini si pour toutM >0, il existe un entiern0≥0tel que pour tout lim Th´eor`eme 1.2La limite d"une suite est unique.1.2.2 Stabilit´e des limites
Proposition 1.6Soientu= (un)n≥0etv= (vn)n≥0deux suites ayant pour limites respectivesletm(finies ou infinies). Alors, pour autant que les op´erations envisag´ees soient d´efinies,1. La suiteu+va pour limitel+m,
2. La suiteuva pour limitelm,
3. Sous la conditionun?= 0pour toutnetl?= 0, la suite1/ua pour limite1/l,
4. La suiteλua pour limiteλl,
5. La suite|u|a pour limite|l|.
Noter que les formes suivantes sont ind´etermin´ees :∞+(-∞), 0×∞, 1/0,∞/∞.
Proposition 1.7Soientu= (un)n≥0etv= (vn)n≥0deux suites ayant pour limites Attention!un< vnpour toutn≥0 n"implique pasl < m!1.2.3 Convergence monotone
d´ecroissante siun≥un+1pour toutn≥0. Une suite est major´ee (resp. minor´ee) lorsqu"elle est major´ee et minor´ee.1.2Suites13
Th´eor`eme 1.3Lorsqu"une suiteuest croissante (resp. d´ecroissante) et major´ee (resp. minor´ee) elle converge versl= sup{un:n≥0}(resp.l= inf{un:n≥0}). Lorsqu"une suiteuest croissante (resp. d´ecroissante) et n"est pas major´ee (resp. mi- nor´ee) sa limite est∞(resp.-∞). D´efinition 1.11Deux suitesuetvsont adjacentes lorsqueuest croissante etvest d´ecroissante,
limn→∞vn-un= 0
Proposition 1.8Deux suites adjacentes convergent vers la mˆeme limitel?R. De plus u pour toutn≥0. Th´eor`eme 1.4(Bolzano - Weierstrass) Toute suite born´ee poss`ede une sous-suite convergente.1.2.4 Suites de Cauchy
D´efinition 1.12Une suiteuest de Cauchy si
Remarque 1.1Il revient au mˆeme de dire que
Cela revient `a supposer quem≥net `a prendrem=n+pdans la d´efinition pr´ec´edente. Th´eor`eme 1.5Une suite est convergente si et seulement si elle est de Cauchy. D´emonstration.Soituune suite de Cauchy. NotonsN(?) un entier tel queCette suite est born´ee. En effet,
pour toutnetm≥N(1). On en d´eduit que14Rappels
pour toutn≥N(1). Ainsi, pour toutn?N, on a toujours En vertu du th´eor`eme de Bolzano-Weirstrass, il existe une sous-suite deuqui est convergente : il existe une suite strictement croissante d"entiersk= (kn) telle que lim n→∞ukn=lautrement dit, pour tout? >0, il existe un entierM(?) tel que, pour Montrons queua pour limitel. Donnons nous? >0 ainsi qu"un terme de la sous- suiteukpaveckp≥M(?/2) etkp≥N(?/2). Un tel entier existe puisque limkn=∞.Pour toutn≥N(?/2) on a
2+?2=?
et le th´eor`eme est prouv´e. Exemple 1.3Soitbun entierb≥2. Pour toutn≥1 on se donne un entierxn? {1-b,...,-1,0,1,...,b-1}.La suite s n=n? k=1x k bk est convergente.1.2.5 Limites classiques
1. limn→+∞na,a?Z (a) Sia= 0 alors la suite est constante :n0= 1. (b) Sia≥1 alorsna≥net limna= +∞. 2. limn→+∞P(n)Q(n),PetQsont des polynˆomesSupposons que
P(x) =a0+a1x+...adxd
avecad?= 0 et queQ(x) =b0+b1x+...bexe
avecbe?= 0. (a) Sid < ealors limn→+∞P(n)Q(n)= 0,
(b) Sie < dalors limn→+∞P(n)Q(n)=±∞,le signe ´etant celui dead/be,
1.3Limites de fonctions15
(c) Sid=ealors limn→+∞P(n)Q(n)=adbd.
3. limn→+∞rn,r?R (b) Sir >1 alors limrn= +∞. (c) Si-1< r <1 alors limrn= 0. 4. limn→+∞a1/n= 1,a >05.limn→+∞a
nnp= +∞,a >1et p?N?6.limn→+∞a-nnp= 0,a >1et p?N?
7.limn→+∞a
nn!= 0.1.3 Limites de fonctions
1.3.1 Intervalles
On appelle intervalle un ensemble du type ]a,b[, ]a,b], [a,b[, [a,b] avec-∞< ∅=]a,a[ etR=]- ∞,∞[ sont des intervalles. Un intervalle est ouvert s"il est du type ]a,b[, ]- ∞,b[, ]a,∞[ ou ]- ∞,∞[,Un intervalle est ferm´e s"il est du type∅, [a,b], ]- ∞,b], [a,∞[ ou ]- ∞,∞[,
Un intervalle est born´e s"il est du type ]a,b[, ]a,b], [a,b[, [a,b], Un intervalle est compact s"il est ferm´e et born´e donc du type [a,b].