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MPSILyc´eeRabelaisSemainedu12 aoˆut2011

?D´eveloppementslimit´es d´eveloppementslimit´essuivants

1.DL3(0)dexln1+x

2.DL4(0)dexlnsinxx

3.DL3(0)dexe⎷1+

4.DL3(0)dexln(2+sinx)5.DL5(0)dexArctan(

3cosx)

6.DL3(0)dexxln(1+x)

cosx

7.DL2(0)dex(1+x)1

8.DL2(0)dex?1+

1+x

1.DL3()dex?

1+sin(1/x)cos(1/x);

2.DL2()dex3?x2+x+1x2+1.

3.DL2()dex3?

x3+x23? x3x2.

4.DL4()dexln(x+?

x2+1)lnx.

1.DL3(π/4)dexsinx.

2.DL4(1)dexlnx

x2.

3.DL3(π/4)dex(tanx)cos2.

4.DL2(π/6)dexArcsin(⎷

32sinx)5.DL3(2)dexx.

6.DL3(π/6)dexln(2sinx).

7.DL3(1)dexx1

-1+ln(x).

8.DL2(π/4)dex(tanx)tan(2).

de xln?

1+x+x2

2!++x n!? bijectionr´eciproque.

2.Montrezquegadmetun d´eveloppementlimit´e`al"ordre5en0delaforme

g(u)=a1u+a3u3+a5u5+o(u5) ?Calculsdelimites

1.lim→01

sin2x1 x2

2.lim→01

x1 ln(1+x)

3.lim→0(1+x)1ex4.lim→0e

sine sinxtanx

5.lim→0cosxsinx1

6.lim→0?ln(e+x)?1.

1.lim →1

2(2x23x+1)tan(πx).

2.lim→2x

22sin(x2).

3.lim→1e

2+e2cos(

2x).4.lim→+∞?sin1

x+cos1 x?

5.lim→+∞?

ln(1+x) lnx? ln

6.lim→+∞x2?e1xe1

x+1?.

Exercice9:Calculezleslimitessuivantes

1.u=?cos

3+1+sin

6+1?

2.u=?e(1+1/n)?⎷

2+2-⎷

2+1. ?Calculsd"´equivalents suivantes:

1.xee-+2sin(x)+sin(2x)

4x.

2.xx(sinx)

3.x(e+x)e(+).4.xx(2+cosx)3sinx

5.xsin(Arctanx)Arctan(sinx).

6.xsin(ln(1+x))ln(1+sinx)

1 4

Arctan(x

x+1)

1.u=x(n

21).

2.u=?tan(π4+1

n)?.

3.u=n?e(1+1/n)?

4.u=nn+1

n(n1)n n-1. ?D´eveloppementsasymptotiques Exercice13:Auvoisinagede+,d´eterminezun d´eveloppementlimit´eg´en´eralis´e desfonctionssuivantes: 1.x? x3x+1,`alapr´ecision1 x2

2.x(x+1)e1,`alapr´ecision1

x2 3.xx2

1xe1,`alapr´ecision1

Exercice14:

1.D´eterminezleDL10(0)deF(x)=?

2 dt 1+t4.

G(x)=?

2 dt 1+t4. t.

Exercice15:Onconsid`erel"´equation

(1)(x2+1)sinx=1. etbdansl"intervalle[2nπ;(2n+1)π].

2.D´eterminezun d´eveloppementasymptotiquede(a)et(b)`alapr´ecision1

n4.

´Etudesdefonctions

Exercice16:Soitflafonctiond´efiniesurR 1parf(x)=x x2+1x11.Donnezun d´eveloppementlimit´e`al"ordre2defen0.End´eduirel"´equation

2.Montrezquef(x)=x+1+3

2x+o+∞?1

x? .End´eduirelanaturedelabranche infiniedeΓauvoisinagede+.

1.Donnezun d´eveloppementlimit´e`al"ordre2def(x)

xen+. tionsrelativesdeΓetdesonasymptote. e⎷

2.Γadmet-elleunetangenteen0?

Correctiondesexercices

Exercice1.-1.f(x)=2x+2

3x3+o(x3)

2.f(x)=1

6x21

180x4+o(x4)

3.f(x)=e+1

2ex+1

48ex3+o(x3)

4.f(x)=ln(2)+1

2x1 8x21

24x3+o(x3)

5.f(x)=π

3 38x27
3

192x4+o(x5)

6.f(x)=x21

2x3+o(x3)

7.f(x)=e12ex+11

24ex2+o(x2)

8.f(x)=

2+ 28x5
2

128x2+o(x2)

Exercice2.-1.f(x)=12x+3

8x21

48x3+o(1

x3)

2.f(x)=1+1

3x1

9x2+o(1

x2)

3.f(x)=2

3+10

81x2+o(1

x2)

4.f(x)=ln(2)+1

4x23

32x4+o(1

x5)

Exercice3.-1.f(x)=

22+

22(xπ

4) 24(x
4)2 212(x
4)3+ o((x 4)3)

2.f(x)=x15

2(x1)2+13

3(x1)377

12(x1)4+o((x1)4)

3.f(x)=14(xπ

4)2+o((xπ

4)3)

4.f(x)=arcsin(⎷

34)+3

1313(x

6)2 13 3

169(xπ

6)2+o((x

6)2) 2+

3ln(2)+2ln(2)2+2

3ln(2)3)(x2)3+o(x2)3

6.f(x)=

3(xπ

6)2(xπ

6)2+4

33(xπ

6)3+o((xπ

6)3)

7.f(x)=1(x1)+o((x1)3)

8.f(x)=e-1+2

3e-1(xπ

4)2+o((x

4)2)Exercice4.-

1+x+x2

2!++x n!? =xx+1 (n+1)!+o(x+1)

Exercice5.-

Arctan(x)=xx3

3+x7

7+(1)x2+1

2n+1+o(x2+1)

Exercice6.-1.usethebijectionthm

2.f(x)=x+x3

2+x5

24+o(x5).

3.g(x)=xx3

2+17x5

24+o(x5).

Exercice7.-1.lim→0f(x)=1

2.lim→0f(x)=1

3.lim→0f(x)=e2

4.lim→0f(x)=13

5.lim→0f(x)=0

6.lim→0f(x)=e1

Exercice8.-1.lim→12f(x)=1

2.lim→2f(x)=4ln(2)+4

3.lim→1f(x)=2e2

4.lim→+∞f(x)=e

5.lim→+∞f(x)=e

6.lim→+∞f(x)=13

3 24)

2.lim→+∞u=1

Exercice10.-1.f(x)2x

2.f(x)1

6x3

3.f(x) 12e(-1+)x2

4.f(x)1

60x5

5.f(x)130x7

6.f(x)112x4

Exercice11.-

f(x)1 2x

Exercice12.-1.uln(2)

2.ue2

3.u(1+e)n

4.u1

Exercice13.-1.f(x)=x1

2+3 85

162+o(1

2.f(x)=x+2+3

2+2

32+o(1

3.f(x)=x25

2+o(1

Exercice14.-1.F(x)=x+x2+1

10x51 24x91

10x10+o(x10)

2.G(x)=x31

10x5+o(x5)

4quotesdbs_dbs12.pdfusesText_18

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MPSILyc´eeRabelaisSemainedu12 aoˆut2011

1.DL3(0)dexln1+x

2.DL4(0)dexlnsinxx

3.DL3(0)dexe⎷1+

4.DL3(0)dexln(2+sinx)5.DL5(0)dexArctan(

3cosx)

6.DL3(0)dexxln(1+x)

7.DL2(0)dex(1+x)1

8.DL2(0)dex?1+

1.DL3()dex?

1+sin(1/x)cos(1/x);

2.DL2()dex3?x2+x+1x2+1.

3.DL2()dex3?

4.DL4()dexln(x+?

1.DL3(π/4)dexsinx.

2.DL4(1)dexlnx

3.DL3(π/4)dex(tanx)cos2.

4.DL2(π/6)dexArcsin(⎷

32sinx)5.DL3(2)dexx.

6.DL3(π/6)dexln(2sinx).

7.DL3(1)dexx1

8.DL2(π/4)dex(tanx)tan(2).

1+x+x2

2.Montrezquegadmetun d´eveloppementlimit´e`al"ordre5en0delaforme

1.lim→01

2.lim→01

3.lim→0(1+x)1ex4.lim→0e

5.lim→0cosxsinx1

6.lim→0?ln(e+x)?1.

2(2x23x+1)tan(πx).

2.lim→2x

22sin(x2).

3.lim→1e

2+e2cos(

2x).4.lim→+∞?sin1

5.lim→+∞?

6.lim→+∞x2?e1xe1

Exercice9:Calculezleslimitessuivantes

1.u=?cos

3+1+sin

2.u=?e(1+1/n)?⎷

2+2-⎷

1.xee-+2sin(x)+sin(2x)

2.xx(sinx)

3.x(e+x)e(+).4.xx(2+cosx)3sinx

5.xsin(Arctanx)Arctan(sinx).

6.xsin(ln(1+x))ln(1+sinx)

Arctan(x

1.u=x(n

2.u=?tan(π4+1

3.u=n?e(1+1/n)?

4.u=nn+1

2.x(x+1)e1,`alapr´ecision1

1xe1,`alapr´ecision1

Exercice14:

1.D´eterminezleDL10(0)deF(x)=?

G(x)=?

Exercice15:Onconsid`erel"´equation

2.D´eterminezun d´eveloppementasymptotiquede(a)et(b)`alapr´ecision1

´Etudesdefonctions

2.Montrezquef(x)=x+1+3

2x+o+∞?1

1.Donnezun d´eveloppementlimit´e`al"ordre2def(x)

2.Γadmet-elleunetangenteen0?

Correctiondesexercices

Exercice1.-1.f(x)=2x+2

3x3+o(x3)

2.f(x)=1

180x4+o(x4)

3.f(x)=e+1

48ex3+o(x3)

4.f(x)=ln(2)+1

24x3+o(x3)

5.f(x)=π

192x4+o(x5)

6.f(x)=x21

2x3+o(x3)

7.f(x)=e12ex+11

24ex2+o(x2)