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12 août 2011 · DL2(π/4) de x ↦→ (tan x)tan(2x) Exercice 4 : Déterminez le développement limité `a l'ordre n + 1 au voisinage de 0 de x ↦→ ln 

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courbe Allez à : Correction exercice 5 Calculer le développement limité à l' ordre 3 de la fonction dérivée ′ au voisinage de 0 2 En déduire le 

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Les développements limités sont l'outil principal d'approximation locale des fonc- tions L'objectif de ce chapitre 2 2 Exercices 2 5 Corrigé du devoir fonction f admet un développement limité d'ordre n en a, si et seulement si g admet

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3 Un développement limité de f en x0 à l'ordre n est la donnée d'un polynôme P de degré n tel que l'on 

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Exercice 2 : Comment s'écrit le développement limité d'ordre k ∈ N d'un poly- Exercice 4 (DL de tan(x) au voisinage de 0) : ہ partir du développement limité 

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Exercice de base, à maitriser parfaitement (* s'il s'agit d'un exercice classique), Exercice Ecrire le développement limité à l'ordre 3 de la fonction X->et Développements limités / Maths SUP - Filière MPSI 5 Exercices corrigés ☆

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11 fév 2013 · On a inclus dans ce texte nombreux exercices corrigés Ceux-ci, de Exercices Exercice 1 1 Somme et produit de développements limités

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MPSILyc´eeRabelaisSemainedu12 aoˆut2011

?D´eveloppementslimit´es d´eveloppementslimit´essuivants

1.DL3(0)dexln1+x

1x

2.DL4(0)dexlnsinxx

3.DL3(0)dexe⎷1+

4.DL3(0)dexln(2+sinx)5.DL5(0)dexArctan(

3cosx)

6.DL3(0)dexxln(1+x)

cosx

7.DL2(0)dex(1+x)1

8.DL2(0)dex?1+

1+x

1.DL3()dex?

1+sin(1/x)cos(1/x);

2.DL2()dex3?x2+x+1x2+1.

3.DL2()dex3?

x3+x23? x3x2.

4.DL4()dexln(x+?

x2+1)lnx.

1.DL3(π/4)dexsinx.

2.DL4(1)dexlnx

x2.

3.DL3(π/4)dex(tanx)cos2.

4.DL2(π/6)dexArcsin(⎷

32sinx)5.DL3(2)dexx.

6.DL3(π/6)dexln(2sinx).

7.DL3(1)dexx1

-1+ln(x).

8.DL2(π/4)dex(tanx)tan(2).

de xln?

1+x+x2

2!++x n!? bijectionr´eciproque.

2.Montrezquegadmetun d´eveloppementlimit´e`al"ordre5en0delaforme

g(u)=a1u+a3u3+a5u5+o(u5) ?Calculsdelimites

1.lim→01

sin2x1 x2

2.lim→01

x1 ln(1+x)

3.lim→0(1+x)1ex4.lim→0e

sine sinxtanx

5.lim→0cosxsinx1

x

6.lim→0?ln(e+x)?1.

1.lim →1

2(2x23x+1)tan(πx).

2.lim→2x

22sin(x2).

3.lim→1e

2+e2cos(

2x).4.lim→+∞?sin1

x+cos1 x?

5.lim→+∞?

ln(1+x) lnx? ln

6.lim→+∞x2?e1xe1

x+1?.

Exercice9:Calculezleslimitessuivantes

1.u=?cos

3+1+sin

6+1?

2.u=?e(1+1/n)?⎷

2+2-⎷

2+1. ?Calculsd"´equivalents suivantes:

1.xee-+2sin(x)+sin(2x)

4x.

2.xx(sinx)

3.x(e+x)e(+).4.xx(2+cosx)3sinx

5.xsin(Arctanx)Arctan(sinx).

6.xsin(ln(1+x))ln(1+sinx)

1 4

Arctan(x

x+1)

1.u=x(n

21).

2.u=?tan(π4+1

n)?.

3.u=n?e(1+1/n)?

4.u=nn+1

n(n1)n n-1. ?D´eveloppementsasymptotiques Exercice13:Auvoisinagede+,d´eterminezun d´eveloppementlimit´eg´en´eralis´e desfonctionssuivantes: 1.x? x3x+1,`alapr´ecision1 x2

2.x(x+1)e1,`alapr´ecision1

x2 3.xx2

1xe1,`alapr´ecision1

x

Exercice14:

1.D´eterminezleDL10(0)deF(x)=?

2 dt 1+t4.

G(x)=?

2 dt 1+t4. t.

Exercice15:Onconsid`erel"´equation

(1)(x2+1)sinx=1. etbdansl"intervalle[2nπ;(2n+1)π].

2.D´eterminezun d´eveloppementasymptotiquede(a)et(b)`alapr´ecision1

n4.

´Etudesdefonctions

Exercice16:Soitflafonctiond´efiniesurR 1parf(x)=x x2+1x11.Donnezun d´eveloppementlimit´e`al"ordre2defen0.End´eduirel"´equation

2.Montrezquef(x)=x+1+3

2x+o+∞?1

x? .End´eduirelanaturedelabranche infiniedeΓauvoisinagede+.

1.Donnezun d´eveloppementlimit´e`al"ordre2def(x)

xen+. tionsrelativesdeΓetdesonasymptote. e⎷

2.Γadmet-elleunetangenteen0?

2

Correctiondesexercices

Exercice1.-1.f(x)=2x+2

3x3+o(x3)

2.f(x)=1

6x21

180x4+o(x4)

3.f(x)=e+1

2ex+1

48ex3+o(x3)

4.f(x)=ln(2)+1

2x1 8x21

24x3+o(x3)

5.f(x)=π

3 38x27
3

192x4+o(x5)

6.f(x)=x21

2x3+o(x3)

7.f(x)=e12ex+11

24ex2+o(x2)

8.f(x)=

2+ 28x5
2

128x2+o(x2)

Exercice2.-1.f(x)=12x+3

8x21

48x3+o(1

x3)

2.f(x)=1+1

3x1

9x2+o(1

x2)

3.f(x)=2

3+10

81x2+o(1

x2)

4.f(x)=ln(2)+1

4x23

32x4+o(1

x5)

Exercice3.-1.f(x)=

22+

22(xπ

4) 24(x
4)2 212(x
4)3+ o((x 4)3)

2.f(x)=x15

2(x1)2+13

3(x1)377

12(x1)4+o((x1)4)

3.f(x)=14(xπ

4)2+o((xπ

4)3)

4.f(x)=arcsin(⎷

34)+3

1313(x

6)2 13 3

169(xπ

6)2+o((x

6)2) 2+

3ln(2)+2ln(2)2+2

3ln(2)3)(x2)3+o(x2)3

6.f(x)=

3(xπ

6)2(xπ

6)2+4

33(xπ

6)3+o((xπ

6)3)

7.f(x)=1(x1)+o((x1)3)

8.f(x)=e-1+2

3e-1(xπ

4)2+o((x

4)2)Exercice4.-

ln

1+x+x2

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