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21 nov 2003 · OM ; il faut pour cela définir une base vectorielle notée (¡e1 ; ¡e2 ;¡e3 ) 1 2 2 2 Les coordonnées cylindriques (ou cylindro-polaires) Remarque 1 8 Attention le rayon r des coordonnées sphériques est différent du r des coordonnées donc considérés comme constants lors du calcul de la dérivée

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La dérivée en x0 d'une fonction f(x) quelconque peut être estimée (a) Déterminer, à l'aide du schéma, les relations de passage des coordonnées sphériques aux coordonnées 1- Rappelez l'expression du produit vectoriel de deux vecteurs u et v 1- Exprimez le vecteur vitesse d'un point en coordonnées cylindriques

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Dérivation vectorielle - Bases de projection (33-103) Page 1 sur 5 JN Beury

DÉRIVATION VECTORIELLE

COORDONNÉES CYLINDRIQUES ET SPHÉRIQUES

I. DÉRIVATION VECTORIELLE

I.1Définition

Soit 123
,,eee une base orthonormée directe. Soit 123
,,,Oe e e un référentiel. On considère un vecteur quelconque qui dépend du temps t. On projette ce vecteur dans la base 123
,,eee :

112 233

At x te x te x te

GGG

Par définition, la dérivée de

At par rapport au temps t et relativement au référentiel est : 11 22 33 d dA xexexet

Rappels : les vecteurs

123
,,eee sont fixes dans le référentiel .

I.2 Propriétés

ddd dddAB AB ttt G dd ddA A tt si est un réel constant.

I.3 Dérivée d'un produit scalaire

ddd ddduv vuuvttt

I.4 Dérivée d'un produit vectoriel

d^dd^^dd duv uvvutt t Attention : l'ordre des vecteurs est impératif.

I.5 Conclusion

La dérivée d'un vecteur

At par rapport au temps dépend du référentiel.

On verra plus tard la relation entre d

dA t et d dA t S'il n'y a aucune ambiguïté dans l'exercice, on peut oublier la notation et écrire d dA t

En mécanique, tous les vecteurs peuvent varier a priori. On utilisera les mêmes règles de dérivation qu'avec des fonctions. Dans les chapitres qui suivront, on travaillera dans un seul référentiel par contre, on projettera le résultat (par

exemple le vecteur vitesse) dans telle ou telle base de projection (base des coordonnées cartésiennes, cylindriques et

sphériques). ddd dddtu tv uvuvttt GGGG Si 123
,,,Oe e e et

112233

At x te x te x te

, on retrouve facilement

11 22 33

d dA xexexet puisque 123
,,eee est fixe dans . Dérivation vectorielle - Bases de projection (33-103) Page 2 sur 5 JN Beury m H

II. COORDONNÉES CARTÉSIENNES

On considère un point M et le référentiel xyz

Ou u u

. Toutes les vitesses et déplacements sont calculés dans le référentiel Le point M est repéré par les coordonnées cartésiennes ,,xyz. ,,xyz xyz

OM xu yu zu

dd ddd dd d d d xyz x y z

OM l x y zvxuyuzuuuutt t t t

Le déplacement élémentaire vaut : d'ddd

xyz lMM xu yu zu G GGG Il sert pour calculer les surfaces et volumes élémentaires.

On en déduit :

ddddxyz. x = cte : ddd x Syz y = cte : ddd y Sxz z = cte : ddd z Sxy

III. COORDONNÉES CYLINDRIQUES OU SEMI-POLAIRES

III.1 Définition

On considère un point M et le référentiel xyz

Ou u u

. Toutes les vitesses et déplacements sont calculés dans le référentiel . Le point M est repéré par les coordonnées cylindriques ,,rz.

On utilisera les coordonnées cylindriques dès que la distance à l'axe Oz joue un rôle important dans l'exercice.

On définit le point H projeté orthogonal de M sur l'axe Oz et le point m projeté orthogonal de M dans le plan Oxy.

On définit le

vecteur radial r u dirigé de O vers m.

On définit le

vecteur orthoradial u tel que la base ,, rz uuu soit orthonormée directe.

On a alors

rz

OM Om mM ru zu

Pour recouvrir l'espace une seule, on astreint ces coordonnées à rester dans les intervalles :

0,02,rz

En physique, on a toujours r 0.

Dérivation vectorielle - Bases de projection (33-103) Page 3 sur 5 JN Beury On peut passer facilement des coordonnées cylindriques aux coordonnées cartésiennes : cos sinxr yr zz Si z = 0, le mouvement est plan. On dit que l'on a des coordonnées polaires.

On retient par coeur :

Le point M est repéré par les coordonnées cylindriques ,,rz. On a : rz

OM ru zu

GG

Remarque : ne pas rajouter une coordonnée suivant le vecteur orthoradial !!! On retrouve cette formule avec le schéma et la

relation de Chasles.

III.2 Base des coordonnées cylindriques

À chaque instant t, on a donc une base orthonormée directe ,, rz uuu . On verra que cette base de projection sera très pratique à utiliser dans les exercices où la distance à un axe joue un rôle important. Soit A un vecteur quelconque. Ce vecteur quelconque peut être projeté dans : la base des coordonnées cartésiennes. A a pour coordonnées xyz

AAA. On a alors :

xx yy zz

AAu Au Au

la base des coordonnées cylindriques. A a pour coordonnées ,, rz AAA . A r est appelée coordonnée radiale, A est appelé coordonnée orthoradiale. On a alors : rr zz

AAu Au Au

III.3 Dérivation des vecteurs unitaires

Comment dériver

r u et u

par rapport au temps dans le référentiel ? La méthode est de projeter dans ce référentiel et

de calculer la dérivée des différentes composantes.

On a donc :

cos sin sin cos rxy xy uuu uuu TT ddsin cosdd rr xy uuuuutt ddcos sindd xyr uuuuutt

TTTT T

d d r uut d d r uut T

Il faut connaître par coeur le résultat et surtout la méthode consistant à projeter dans une base de projection fixe

dans le référentiel . III.4 Vitesse du point M et déplacement élémentaire dddd ddd ddd d d d d r rz r z r z uOM l r zvM v ruzu rur zu ur u uttt t t t t G

GG GGG GGGG

Comme dd d d dd d d rz lr zur u utt t t , on a : dd d d rz lruruzu

Interprétation graphique :

Si et z sont fixés. On fait varier r de dr. Le point M se déplace parallèlement à r u de dr. On retrouve donc : dd r lru Si r et z sont fixés. On fait varier de d. Le point M se déplace parallèlement à u sur le cercle de centre H et de rayon r. Comme la variation d'angle vaut d, le déplacement est donc dr, d'où ddlru Si r et sont fixés. On fait varier z de dz. Le point M se déplace parallèlement à z u de dz. On retrouve donc : dd z lzu Dérivation vectorielle - Bases de projection (33-103) Page 4 sur 5 JN Beury m

La vitesse du point M vaut :

ddd ddd rz rzvuru uttt

Le déplacement élémentaire vaut : d'ddd

rz lMM ruru zu G GGG Il sert pour calculer les surfaces et volumes élémentaires. Ces résultats sont à connaître par coeur et peuvent s'en déduire graphiquement. r u est dans le sens des r croissants. De même pour u et z u dans le sens des et z croissants.

On en déduit :

ddddrr z. r = cte : ddd r Sr z = cte : dddSrz z = cte : ddd z Srr

On a souvent besoin du volume élémentaire compris entre les cylindres de rayon r et de rayon r + dr.

2

222 22 2

d2dd1 12drrrrHrHr HrHr HrH rrHrr

Le volume élémentaire compris entre les cylindres de rayon r et de rayon r + dr est la surface du cylindre de

rayon r et de hauteur H multipliée par dr : d2drrH

IV. COORDONNÉES SPHÉRIQUES

IV.1 Définition

On considère un point M et le référentiel xyz

Ou u u

. Toutes les vitesses et déplacements sont calculés dans le référentiel . Le point M est repéré par les coordonnées cylindriques ,,r.

On utilisera les coordonnées sphériques dès que la distance au centre joue un rôle important dans l'exercice.

On appelle r la distance OM. Soit

r u le vecteur unitaire dirigé de O vers M. On a alors : r OM ru Soit m le projeté orthogonal de M dans le plan Oxy. On définit x uOm G et z uOM G

On définit donc 3 vecteurs unitaires

r uuu r u est dans le sens des r croissants. De même pour u et u dans le sens des et croissants.

Géographie terrestre :

r u est dirigé selon la verticale ascendante du lieu. u est dirigé vers le sud. u est dirigé vers l'est. est appelé la colatitude. est la longitude. Dérivation vectorielle - Bases de projection (33-103) Page 5 sur 5 JN Beury

0,0,02r

r OM ru sin cos sin sin cosxr yr zr TM T

IV.2 Dérivation des vecteurs unitaires

Soit u

le vecteur unitaire dirigé de O vers m.

On a :

cos sin r uku avec cos sin xy uuu. D'où cos sin cos sin sin rxy uk u u

Si on remplace par

2 , remplace r u par u

On a donc :

cos sin cos sin sin22 2 xy uk u u TTMTM , d'où sin cos cos cos sin xy uk u u

TTM TM

On a : cos sin sin cos22

xyxy uuuuu MM MM dsin cos cos sin sin cos sin sin cosd r xyy uku u ut

On a donc :

dsind r uuut IV.3 Vitesse du point M et déplacement élémentaire dddd dd dsin sindd d d d d d rr rr r ru uOM l rvrurrururuururutt t t t t t

TMTTM T

Interprétation graphique :

Si et sont fixés. On fait varier r de dr. Le point M se déplace parallèlement à r u de dr. On retrouve donc : dd r lru Si r et sont fixés. On fait varier de d. Le point M se déplace parallèlement à u sur le cercle de centre O et de rayon r. Comme la variation d'angle vaut d , le déplacement est donc dr, d'où ddlru Si r et sont fixés. On fait varier de d. Le point m se déplace parallèlement à u sur le cercle de centre O et de rayon sinOm r. Comme la variation d'angle vaut d, le déplacement est donc sin dr, d'où dsindlr u Le déplacement élémentaire vaut : d'ddsind r lMM rurur u

TTM

G GGG Il sert pour calculer les surfaces et volumes élémentaires. Ces résultats sont à connaître par coeur et peuvent s'en déduire graphiquement.quotesdbs_dbs31.pdfusesText_37