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Fonctions de plusieurs variables II V Borrelli Limite, continuité Dérivées partielles Dérivées directionnelles Gradient d'une fonction réelle Différentielle

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Le but de ce chapitre est de généraliser la notion de dérivée pour une fonction f de plusieurs variables L'objectif est évidemment de donner une définition qui 

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Différentielle 4 Différentiabilité 5 Dérivation en chaˆıne 6 Dérivée directionnelle 7 Développement de Taylor pour les fonctions de plusieurs variables

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5. D´eriv´ees de fonctions de plusieurs

variables

MTH1101

C. Audet, G. Jomphe, S. Le Digabel

Polytechnique Montr´eal

A2022 v7

MTH1101: Calcul I1/49

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Plan

1. D´eriv´ees partielles

2. Approximations lin´eaires

3. Difff´erentielle

4. Difff´erentiabilit´e

5. D´erivation en chaˆıne

6. D´eriv´ee directionnelle

7. D´eveloppement de Taylor pour les fonctions de plusieurs

variables

MTH1101: Calcul I2/49

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1. D´eriv´ees partielles

2. Approximations lin´eaires

3. Difff´erentielle

4. Difff´erentiabilit´e

5. D´erivation en chaˆıne

6. D´eriv´ee directionnelle

7. D´eveloppement de Taylor pour les fonctions de plusieurs

variables

MTH1101: Calcul I3/49

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Fonction de une variable

Soitfune fonction de une variable d´eifinie deRdansR La d ´eriv´eede fau pointx∈Rest f ′(x) =dfdx (x) = limh→0f(x+h)-f(x)h (si cette limite existe) f′(x)est aussi appel´e letaux de va riation(instantann ´e)ou la pente de la tangente au graphe en x On peut approcherf′(x)par l'expression suivante o`uhest petit (d´eriv´ee amont) : f ′(x)≃f(x+h)-f(x)h

MTH1101: Calcul I4/49

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Fonction de deux variables

Soitfune fonction de deux variables d´eifinie deR2dansR Les d ´eriv´eepa rtiellesde fau point(x,y) =x∈R2sont ∂f∂x (x) =∂∂x f(x) =fx(x) = limh→0f(x+h,y)-f(x)h ∂f∂y (x) =∂∂y f(x) =fy(x) = limh→0f(x,y+h)-f(x)h

MTH1101: Calcul I5/49

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Fonction de deux variables : D´eriv´ees secondes D´eriv´ees secondes :

2f∂x

2(x) =∂∂x

∂f∂x (x) =∂∂x (fx(x)) =fxx(x)

2f∂x∂y

(x) =∂∂x ∂f∂y (x) =∂∂x (fy(x)) =fyx(x)

Mˆeme logique pourfyyetfxy

Si lesd´eriv´ees mixtesfxyetfyxexistent et sont continues, alors elles sont ´egales :fxy(x) =fyx(x)

Matrice hessienne

de fen(x):

H(x) =∇2f(x) =fxx(x)fyx(x)

f xy(x)fyy(x) ∈R2×2 (sym´etrique quandfxy(x) =fyx(x))MTH1101: Calcul I6/49

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Fonction denvariables

Soitfune fonction denvariables d´eifinie deRndansR

Soitx= (x1,x2,...,xn)

Lesnd´eriv´ees partielles defenxsont, pouri= 1,2,...,n: ∂f∂x i(x) = limh→0f(x1,x2,...,xi-1,xi+h,xi+1,...,xn)-f(x)h Le gradient est le vecteur des d ´eriv´eespa rtielles: ∇f(x) =∂f∂x

1(x),∂f∂x

2(x),...,∂f∂x

n(x)

MTH1101: Calcul I7/49

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Exemples 1 et 2

1.Donner le gradient def(x,y) = cos5x3y2-xy3, puis

∇f(1,0)

2.Donner le gradient et la matrice hessienne de

f(x,y) =x2-y2, puis exprimer-les en0MTH1101: Calcul I8/49

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Approximation des d´eriv´ees partielles

M´ethode des difff´erences ifinies illustr´ee sur une fonction de deux variables, selon unpetitd´eplacement enxnot´e∆x:

D´eriv´ee amont :

f x(x)≃f(x+ ∆x,y)-f(x)∆x

D´eriv´ee aval :

f x(x)≃f(x)-f(x-∆x,y)∆x

D´eriv´ee centr´ee :

f x(x)≃f(x+ ∆x,y)-f(x-∆x,y)2∆xMTH1101: Calcul I9/49

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Approximation des d´eriv´ees : Avec une table

On dispose des 4 valeurs suivante def(x,y):x

1x2y 1v 1v2 y 2v 3v4

Les d´eriv´ees amont donnent :

∂f∂x

2-x1=v2-v1x

2-x1 ∂2f∂y∂x (x1,y1) =∂fx∂y f x(x1,y2)-hv2-v1x

2-x1iy

2-y1≃h

v4-v3x 2-x1i -hv2-v1x

2-x1iy

2-y1

De mˆeme :∂2f∂x∂y

(x1,y1)≃h v4-v2y 2-y1i -hv3-v1y

2-y1ix

2-x1 Ces approximations ne respectent pas forc´ement f xy(x) =fyx(x)MTH1101: Calcul I10/49

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Approximation des d´eriv´ees : Avec des courbes de niveau Exemple 3 :Exercice 4.1.10 page 157MTH1101: Calcul I11/49

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1. D´eriv´ees partielles

2. Approximations lin´eaires

3. Difff´erentielle

4. Difff´erentiabilit´e

5. D´erivation en chaˆıne

6. D´eriv´ee directionnelle

7. D´eveloppement de Taylor pour les fonctions de plusieurs

variables

MTH1101: Calcul I12/49

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Approximation lin´eaire

Motivation :Approximer, en un point, une fonction quelconque par une autre plus simple telle une droite ou un plan (la possibilit´e de faire ceci sera discut´ee lors de la d´eifinition de la difff ´erentiabilit´e Une approximation lin´eaire (aiÌifiÌine) est une fonction de la forme

L(x,y) =ax+by+c

G´eom´etriquement cela signiifie que :

f(x)sera approxim´ee par une droite :f(x)≃ax+b Pour trouver cette approximation, il est n´ecessaire de faire appel augradientMTH1101: Calcul I13/49

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Gradient

Legradientest le vecteur des d´eriv´ees partielles : ∇f(x) =∂f∂x

1(x),∂f∂x

2(x),...,∂f∂x

n(x) Pour une fonctionf(x,y,z), en un pointx0= (x0,y0,z0), on note ∇f(x0) =∂f∂x (x0)⃗i+∂f∂y (x0)⃗j+∂f∂z (x0)⃗k Le gradient est un vecteur qui est perpendiculaire `a une courbe de niveauf(x,y) =cou `a une surface de niveau f(x,y,z) =cMTH1101: Calcul I14/49

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Vecteur normal `a une surface

Pour obtenir un vecteur normal-→N`a une courbe ou une surface de niveau, en un pointx0, il suiÌifiÌit de prendre -→N(x0) =±∇f(x0)

Exemple 4 :Donner un vecteur normal `a la surface

z=g(x,y) =x2+y2(cˆone parabolique) au pointx0= (0,0,0)MTH1101: Calcul I15/49

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Plan tangent `a une surface (1/3)

On cherche l'´equation du plan tangent `a une surfacez=f(x,y) au point de contactp0= (x0,y0,z0) = (x0,z0)∈R3entre le plan et la surface. Soitp= (x,y,z)∈R3un point appartenant au plan tangent

PosonsF(x,y,z) =z-f(x,y). La surface de niveau

F(x,y,z) = 0correspond `a la surfacez=f(x,y)

Comme∇F(x0,z0)est orthogonal au vecteur--→p0p, alors le produit scalaire entre ces vecteurs est nul :

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Plan tangent `a une surface (2/3)

Le produit scalaire

devient ∂F(x0,z0)∂x ∂F(x0,z0)∂y ∂F(x0,z0)∂z x-x0 y-y0 z-z0 = 0 qui donne l'´equation du plan tangent `a la surface : ∂F(x0,z0)∂x (x-x0)+∂F(x0,z0)∂y (y-y0)+∂F(x0,z0)∂z (z-z0) = 0MTH1101: Calcul I17/49

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Plan tangent `a une surface (3/3)

∂F(x0,z0)∂x (x-x0) +∂F(x0,z0)∂y (y-y0) +∂F(x0,z0)∂z (z-z0) = 0

CommeF(x,y,z) =z-f(x,y), on a :

∂F(x0,z0)∂x =-∂f(x0)∂x ,∂F(x0,z0)∂y =-∂f(x0)∂y , et∂F(x0,z0)∂z = 1 z0=f(x0)compl`ete l'´equation du plan tangent : z=f(x0) +∂f(x0)∂x (x-x0) +∂f(x0)∂y (y-y0) |{z}quotesdbs_dbs31.pdfusesText_37