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SÉRIE ES

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ANNALES DES SUJETS DE MATHÉMATIQUES

SESSION 2016

OBLIGATOIRE ET SPÉCIALITÉ

Les sujets proposés sont établis à partir des énoncés mis en ligne par

D. Vergès sur le site de L" A.P.M.E.P

SOMMAIRE DES SUJETS DE LA SESSION2016

AMÉRIQUE DU NORD 20161

Exercice 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..1

Exercice 2 obligatoire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2

Exercice 2 spécialité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

Exercice 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..4

Exercice 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..5

AMÉRIQUE DU SUD 20167

Exercice 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..7

Exercice 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..8

Exercice 3 obligatoire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9

Exercice 3 spécialité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10

Exercice 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..12

ANTILLES GUYANE 201615

Exercice 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..15

Exercice 2 obligatoire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16

Exercice 2 spécialité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17

Exercice 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..18

Exercice 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..19

ANTILLES GUYANE SEPTEMBRE 201621

Exercice 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..21

Exercice 2 spécialité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22

Exercice 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..23

Exercice 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..24

ASIE 201626

Exercice 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..26

Exercice 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..28

Exercice 3 obligatoire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29

Exercice 3 spécialité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30

Exercice 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..32

CENTRES ÉTRANGERS 201634

Exercice 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..34

Exercice 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..35

Exercice 3 obligatoire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36

Exercice 3 spécialité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37

Exercice 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..39

FRANCE MÉTROPOLITAINE, LA RÉUNION 201642

Exercice 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..42

Exercice 2 obligatoire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43

Exercice 2 spécialité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44

Exercice 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..45

Exercice 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..46

FRANCE MÉTROPOLITAINE, LA RÉUNION SEPTEMBRE 201648

Exercice 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..48

Exercice 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..49

Exercice 3 obligatoire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50

Exercice 3 spécialité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51

Exercice 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..53

LIBAN 201655

Exercice 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..55

Exercice 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..57

Exercice 3 obligatoire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .58

Exercice 3 spécialité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .59

Exercice 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..61

NOUVELLE CALÉDONIE 201663

Exercice 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..63

Exercice 2 obligatoire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .64

Exercice 2 spécialité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .65

Exercice 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..66

Exercice 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..67

NOUVELLE CALÉDONIE MARS 201770

Exercice 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..70

Exercice 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..72

Exercice 3 spécialité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .73

Exercice 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..74

POLYNÉSIE 201677

Exercice 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..77

Exercice 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..78

Exercice 3 obligatoire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .79

Exercice 3 spécialité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .80

Exercice 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..81

PONDICHÉRY 201683

Exercice 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..83

Exercice 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..84

Exercice 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..86

Exercice 4 obligatoire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .88

Exercice 4 spécialité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .89

BACCALAURÉAT ES SESSION2016OBLIGATOIRE ET SPÉCIALITÉ

AMÉRIQUE DU NORD 2016

EXERCICE 1(5 points)commun à tous les candidats Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.

PARTIE A

À une sortie d"autoroute, la gare de péage comporte trois voies.

Une étude statistique a montré que :

28% des automobilistes empruntent la voie de gauche, réservée aux abonnés; un automobiliste empruntant

cette voie franchit toujours le péage en moins de 10 secondes;

52% des automobilistes empruntent la voie du centre, réservée au paiement par carte bancaire; parmi ces

derniers, 75% franchissent le péage en moins de 10 secondes;

les autres automobilistes empruntent la voie de droite en utilisant un autre moyen de paiement (pièces ou

billets). On choisit un automobiliste au hasard et on considère les évènements suivants : G: " l"automobiliste emprunte la voie de gauche »; C: "l"automobiliste emprunte la voie du centre »; D: " l"automobiliste emprunte la voie de droite »; T: "l"automobiliste franchit le péage en moins de 10 secondes».

On note

Tl"évènement contraire de l"évènementT.

1. Construire un arbre pondéré traduisant cette situation.

Cet arbre sera complété au fur et à mesure de l"exercice.

2. Calculer la probabilitép(C∩T).

3. L"étude a aussi montré que 70% des automobilistes passentle péage en moins de 10 secondes.

a) Justifier quep(D∩T) =0,03.

b) Calculer la probabilité qu"un automobiliste empruntantla voie de droite passe le péage en moins de 10

secondes.

PARTIE B

Quelques kilomètres avant lasortie de l"autoroute, un radar automatique enregistre lavitesse dechaque automobiliste.

On considère la variable aléatoireVqui, à chaque automobiliste, associe sa vitesse exprimée enkm.h-1.

On admet queVsuit la loi normale d"espérance

μ=120 et d"écart-typeσ=7,5.

1. Déterminer la probabilitép(120
2. Une contravention est envoyée à l"automobiliste lorsquesa vitesse est supérieure ou égale à 138km.h-1.

Déterminer la probabilité qu"un automobiliste soit sanctionné. On arrondira le résultat au millième.

AMÉRIQUE DU NORD 2016- 1 -A. YALLOUZ(

MATH@ES)
BACCALAURÉAT ES SESSION2016OBLIGATOIRE ET SPÉCIALITÉ EXERCICE 2(5 points)candidats n"ayant pas suivi l"enseignement de spécialité ES Une société propose un service d"abonnement pour jeux vidéosur téléphone mobile. Le 1 erjanvier 2016, on compte 4000 abonnés.
À partir de cette date, les dirigeants de la société ont constaté que d"un mois sur l"autre, 8% des anciens joueurs
se désabonnent mais que, par ailleurs, 8000 nouvelles personnes s"abonnent.
1. Calculer le nombre d"abonnés à la date du 1
erfévrier 2016.
Pour la suite de l"exercice, on modélise cette situation parune suite numérique(un)oùunreprésente le nombre
de milliers d"abonnés au bout denmois après le 1erjanvier 2016. La suite(un)est donc définie par :u0=4 et, pour tout entier natureln,un+1=0,92un+8.
2. On considère l"algorithme suivant :

VARIABLES

Nest un nombre entier naturel

Uest un nombre réel

TRAITEMENT

Uprend la valeur 4

Nprend la valeur 0

Tant queU<40

Uprend la valeur 0,92×U+8

Nprend la valeurN+1

Fin Tant que

SORTIE

AfficherN
a) Recopier le tableau suivant et le compléter en ajoutant autant de colonnes que nécessaire.
Les valeurs deUseront arrondies au dixième.

Valeur deU4......

Valeur deN0......

ConditionU<40vraie......

b) Donner la valeur affichée en sortie par cet algorithme et interpréter ce résultat dans le contexte de
l"exercice.
3. On considère la suite(vn)définie pour tout entier naturelnparvn=un-100.
a) Montrer que la suite(vn)est géométrique de raison 0,92 et calculer son premier termev0. b) Donner l"expression devnen fonction den. c) En déduire que, pour tout entier natureln, on aun=100-96×0,92n.
4. En résolvant une inéquation, déterminer la date (année etmois) à partir de laquelle le nombre d"abonnés
devient supérieur à 70000.
AMÉRIQUE DU NORD 2016- 2 -A. YALLOUZ(

MATH@ES)
BACCALAURÉAT ES SESSION2016OBLIGATOIRE ET SPÉCIALITÉ EXERCICE 2(5 points)candidats ES ayant suivi l"enseignement de spécialité Un groupe de presse édite un magazine qu"il propose en abonnement.
Jusqu"en 2010, cemagazine était proposé uniquement sous forme papier. Depuis 2011, lesabonnés dumagazine
ont le choix entre la version numérique et la version papier.
Une étude a montré que, chaque année, certains abonnés changent d"avis : 10% des abonnés à la version papier

passent à la version numérique et 6% des abonnés à la version numérique passent à la version papier.
On admet que le nombre global d"abonnés reste constant dans le temps.
Pour tout nombre entier natureln, on note :

anla probabilité qu"un abonné pris au hasard ait choisi la version papier l"année 2010+n;

bnla probabilité qu"un abonné pris au hasard ait choisi la version numérique l"année 2010+n;
Pn=?anbn?la matrice correspondant à l"état probabiliste de l"année 2010+n.
On a donca0=1,b0=0 etP0=?1 0?.

1. a) Représenter la situation par un graphe probabiliste desommets A et B où le sommet A représente l"état

" abonné à la version papier » et B l"état " abonné à la version numérique ».
b) Déterminer la matrice de transitionMde ce graphe en respectant l"ordre A, B des sommets. c) Montrer queP1=?0,9 0,1?.
2. On admet que, pour tout entier natureln, on aan+1=0,9an+0,06bnetbn+1=0,1an+0,94bn.

Le directeur du groupe de presse souhaite visualiser l"évolution des deux types d"abonnements. Pour cela,
on lui propose les deux algorithmes suivants :
ALGORITHME1ALGORITHME2

ENTRÉEENTRÉE

SaisirnSaisirn

TRAITEMENTTRAITEMENT
aprend la valeur 1aprend la valeur 1 bprend la valeur 0bprend la valeur 0
Pouriallant de 1 àn
aprend la valeur 0,9×a+0,06×b bprend la valeur 0,1×a+0,94×b
Afficheraetb

Fin PourPouriallant de 1 àn
cprend la valeura aprend la valeur 0,9×a+0,06×b bprend la valeur 0,1×c+0,94×b
Afficheraetb

Fin Pour

Sachant qu"un seul des algorithmes proposés permet de répondre au souhait du directeur, préciser lequel en
justifiant la réponse.
3. a) Justifier que, pour tout entier natureln, on aan+1=0,84an+0,06.
b) On considère la suite(un)définie pour tout entier naturelnparun=an-0,375. Montrer que la suite(un)est une suite géométrique de raison 0,84 et calculeru0. c) Donner l"expression deunen fonction den. En déduire que, pour tout entier natureln, on aan=0,375+0,625×0,84n.
4. En résolvant une inéquation, déterminer l"année à partirde laquelle la proportion d"abonnés à la version
papier du magazine devient inférieure à 50%.
AMÉRIQUE DU NORD 2016- 3 -A. YALLOUZ(

MATH@ES)
BACCALAURÉAT ES SESSION2016OBLIGATOIRE ET SPÉCIALITÉ EXERCICE 3(4 points)commun à tous les candidats
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions posées, une seule des quatre

réponses est exacte. Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse ou l"absence de réponse ne
rapporte ni n"enlève aucun point.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie. Aucune justification n"est
demandée.
1. On choisit au hasard un nombre réel dans l"intervalle[10;50]. La probabilité que ce nombre appartienne à
l"intervalle[15;20]est : a) 5
50b)18c)140d)15

2. Le prix d"un produit est passé de 200

C à 100C.
Cette évolution correspond à deux baisses successives et identiques d"environ : a) 50% b) 25% c) 29% d) 71%
3. On donne ci-dessous la courbe représentative d"une fonctionfdéfinie et continue sur l"intervalle[0;18].

2 4 6 8 10 12 14 16 18
-10 -20 -3010
203040
0 xy Cf
On peut affirmer que :

a) Toutes les primitives de la fonctionfsur l"intervalle[0;18]sont négatives sur l"intervalle[0;2].

b) Toutes les primitives de la fonctionfsur l"intervalle[0;18]sont négatives sur l"intervalle[8;12].

c) Toutes les primitives de la fonctionfsur l"intervalle[0;18]sont croissantes sur l"intervalle[0;2].

d) Toutes les primitives de la fonctionfsur l"intervalle[0;18]sont croissantes sur l"intervalle[8;12].

4. Lors d"un sondage, 53,5% des personnes interrogées ont déclaré qu"elles voteront pour le candidat A

aux prochaines élections. L"intervalle de confiance au seuil de 95% donné par l"institut de sondage est
[51%;56%]. Le nombre de personnes qui ont été interrogées est alors : a) 40 b) 400 c) 1600 d) 6400quotesdbs_dbs15.pdfusesText_21

[PDF] [PDF] ANNALES DES SUJETS DE MATHÉMATIQUES SESSION 2016

SÉRIE ES

ANNALES DES SUJETS DE MATHÉMATIQUES

SESSION 2016

OBLIGATOIRE ET SPÉCIALITÉ

D. Vergès sur le site de L" A.P.M.E.P

SOMMAIRE DES SUJETS DE LA SESSION2016

AMÉRIQUE DU NORD 20161

AMÉRIQUE DU SUD 20167

ANTILLES GUYANE 201615

ANTILLES GUYANE SEPTEMBRE 201621

ASIE 201626

CENTRES ÉTRANGERS 201634

FRANCE MÉTROPOLITAINE, LA RÉUNION 201642

LIBAN 201655

NOUVELLE CALÉDONIE 201663

NOUVELLE CALÉDONIE MARS 201770

POLYNÉSIE 201677

PONDICHÉRY 201683

AMÉRIQUE DU NORD 2016

PARTIE A

Une étude statistique a montré que :

On note

1. Construire un arbre pondéré traduisant cette situation.

2. Calculer la probabilitép(C∩T).

3. L"étude a aussi montré que 70% des automobilistes passentle péage en moins de 10 secondes.

PARTIE B

On admet queVsuit la loi normale d"espérance

μ=120 et d"écart-typeσ=7,5.

2. Une contravention est envoyée à l"automobiliste lorsquesa vitesse est supérieure ou égale à 138km.h-1.

AMÉRIQUE DU NORD 2016- 1 -A. YALLOUZ(

MATH@ES)

1. Calculer le nombre d"abonnés à la date du 1

2. On considère l"algorithme suivant :

VARIABLES

Nest un nombre entier naturel

Uest un nombre réel

TRAITEMENT

Uprend la valeur 4

Nprend la valeur 0

Tant queU<40

Uprend la valeur 0,92×U+8

Nprend la valeurN+1

Fin Tant que

SORTIE

AfficherN

Les valeurs deUseront arrondies au dixième.

Valeur deU4......

Valeur deN0......

ConditionU<40vraie......

3. On considère la suite(vn)définie pour tout entier naturelnparvn=un-100.

4. En résolvant une inéquation, déterminer la date (année etmois) à partir de laquelle le nombre d"abonnés

AMÉRIQUE DU NORD 2016- 2 -A. YALLOUZ(

MATH@ES)

Pour tout nombre entier natureln, on note :

On a donca0=1,b0=0 etP0=?1 0?.

1. a) Représenter la situation par un graphe probabiliste desommets A et B où le sommet A représente l"état

2. On admet que, pour tout entier natureln, on aan+1=0,9an+0,06bnetbn+1=0,1an+0,94bn.

ALGORITHME1ALGORITHME2

ENTRÉEENTRÉE

SaisirnSaisirn

TRAITEMENTTRAITEMENT

Pouriallant de 1 àn

Afficheraetb

Fin PourPouriallant de 1 àn

Afficheraetb

Fin Pour

3. a) Justifier que, pour tout entier natureln, on aan+1=0,84an+0,06.

4. En résolvant une inéquation, déterminer l"année à partirde laquelle la proportion d"abonnés à la version

AMÉRIQUE DU NORD 2016- 3 -A. YALLOUZ(

MATH@ES)

1. On choisit au hasard un nombre réel dans l"intervalle[10;50]. La probabilité que ce nombre appartienne à

50b)18c)140d)15

2. Le prix d"un produit est passé de 200

C à 100C.

3. On donne ci-dessous la courbe représentative d"une fonctionfdéfinie et continue sur l"intervalle[0;18].

2 4 6 8 10 12 14 16 18

203040

On peut affirmer que :

4. Lors d"un sondage, 53,5% des personnes interrogées ont déclaré qu"elles voteront pour le candidat A