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?Baccalauréat S 2016?

L"intégrale d"avril à novembre 2016

Pour un accès direct cliquez sur les liens

bleus

Pondichéry 22 avril 2016

Liban 31 mai 2016

Amérique du Nord 1

erjuin 2016 ...................................17

Centres étrangers 8 juin 2016

......................................22

Polynésie 10 juin 2016

Métropole 20 juin 2016

Antilles-Guyane20 juin 2016

......................................40

Asie 23 juin 2016

Métropole 12 septembre 2016

.....................................51

Antilles-Guyaneseptembre 2016

..................................58

Nouvelle-Calédonie 19 novembre 2016

...........................62

Amérique du Sud 24 novembre 2016

..............................67

Nouvelle-Calédonie mars 2017

....................................73

À la fin index des notions abordées

À la fin de chaque exercice cliquez sur * pour aller à l"index Baccalauréat S : l"intégrale 2016A. P. M. E. P. 2 ?Baccalauréat S Pondichéry 22 avril 2016?

EXERCICE14points

Commun à tous les candidats

Les deux parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante

PartieA

Des études statistiques ont permis de modéliser le temps hebdomadaire, en heures, de connexion à

internet des jeunes enFrance âgésde 16 à24 ans par une variablealéatoireTsuivant une loi normale

de moyenneμ=13,9 et d"écart typeσ. La fonction densité de probabilité deTest représentée ci-dessous :

0 1 10 13,9

1.On sait quep(T?22)=0,023.

En exploitant cette information :

a.hachurer sur le graphique donné en annexe, deux domaines distincts dont l"aire est égale

à 0,023;

b.déterminerP(5,8?T?22). Justifier le résultat. Montrer qu"une valeur approchéedeσ au dixième est 4,1.

2.On choisit un jeune en France au hasard.Déterminer la probabilité qu"il soit connecté à internet plus de 18 heures par semaine.

Arrondir au centième.

PartieB

Dans cette partie, les valeurs seront arrondies au millième.

La Hadopi (Haute Autorité pour la diffusion des OEuvres et la Protection des droits sur Internet) sou-

haite connaître la proportion en France de jeunes âgés de 16 à24 ans pratiquant au moins une fois

par semaine le téléchargement illégal sur internet. Pour cela, elle envisage de réaliser un sondage.

Mais la Hadopi craint que les jeunes interrogés ne répondentpas tous de façon sincère. Aussi, elle

propose le protocole (P) suivant : On choisit aléatoirement un échantillon de jeunes âgés de 16à 24 ans.

Pour chaque jeune de cet échantillon :

•le jeune lance un dé équilibré à 6 faces; l"enquêteur ne connaît pas le résultat du lancer;

•l"enquêteur pose la question : "Effectuez-vous un téléchargement illégal au moins une fois

par semaine?»; ?si le résultat du lancer est pair alors le jeune doit répondreà la question par "Oui» ou "Non» de façon sincère; ?si le résultat du lancer est "1» alors le jeune doit répondre "Oui»; ?si le résultat du lancer est "3 ou 5» alors le jeune doit répondre "Non».

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

Grâce à ce protocole, l"enquêteur ne sait jamais si la réponse donnée porte sur la question posée ou

résulte du lancer de dé, ce qui encourage les réponses sincères.

On notepla proportion inconnue de jeunes âgés de 16 à 24 ans qui pratiquent au moins une fois par

semaine le téléchargement illégal sur internet.

1.Calculs de probabilitésOn choisit aléatoirement un jeune faisant parti du protocole (P).

On note :Rl"évènement "le résultat du lancer est pair», Ol"évènement "le jeune a répondu Oui». Reproduire et compléter l"arbre pondéré ci-dessous : R O O R O O En déduire que la probabilitéqde l"évènement "le jeune a répondu Oui» est : q=1

2p+16.

2.Intervalle de confiance

a.À la demande de l"Hadopi, un institut de sondage réalise une enquête selon le protocole (P). Sur un échantillon de taille 1500, il dénombre 625 réponses "Oui». Donner un intervalle de confiance, au niveau de confiance de 95%, de la proportionq de jeunes qui répondent "Oui» à un tel sondage, parmi la population des jeunes français

âgés de 16 à 24 ans.

b.Que peut-on en conclure sur la proportionpde jeunes qui pratiquent au moins une fois par semaine le téléchargement illégal sur internet?

EXERCICE23points

Commun à tous les candidats

gone régulier. Dans le plan complexe muni d"un repère orthonormé direct?

O ;-→u,-→v?

, on considère le pentagone régulier A

0A1A2A3A4, de centreOtel que---→OA0=-→u.

Onrappelle quedanslepentagone régulierA0A1A2A3A4,ci- contre : •les cinq côtés sont de même longueur; •les pointsA0,A1,A2,A3etA4appartiennent au cercle trigonométrique; •pour tout entierkappartenant à {0 ; 1 ; 2 ; 3} on a?---→OAk;-----→OAk+1? =2π 5. -1 -1-→u-→ v O A 0A 1 A 2 A 3 A 4

Pondichéry422 avril 2016

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

1.On considère les pointsBd"affixe-1 etJd"affixei2.

Le cercleCde centreJet de rayon1

2coupe le segment [BJ] en un pointK.

CalculerBJ, puis en déduireBK.

2. a.Donner sous forme exponentielle l"affixe du pointA2. Justifier brièvement.

b.Démontrer queBA22=2+2cos?4π 5? c.Un logiciel de calcul formel affiche les résultats ci-dessous, que l"on pourra utiliser sans justification : ?Calcul formel

1cos (4*pi/5)

→14?-?5-1?

2sqrt((3 - sqrt(5))/2)

→12??5-1? "sqrt»signifie "racine carrée» En déduire, grâce à ces résultats, queBA2=BK.

3.Dans le repère?

O ;-→u,-→v?

donné en annexe, construire à la règle et au compas un pentagone

régulier. N"utiliser ni le rapporteur ni les graduations delarègle et laisser apparents les traits de

construction.

EXERCICE35points

Candidatsn"ayantpas suivi l"enseignementde spécialité

ABCDEFGH désigne un cube de côté 1.

Le point I est le milieu du segment [BF].

Le point J est le milieu du segment [BC].

Le point K est le milieu du segment [CD].

A B CDE F GH I J K?

PartieA

Danscette partie,onne demande aucune justification On admet que les droites (IJ) et (CG) sont sécantes en un pointL. Construire, sur la figure fournie en annexe et en laissant apparents les traits de construction :

•le point L;

•l"intersectionDdes plans (IJK) et (CDH);

•la section du cube par le plan (IJK).

Pondichéry522 avril 2016

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

PartieB

L"espace est rapporté au repère?

A ;--→AB,--→AD,-→AE?

1.Donner les coordonnées de A, G, I, J et K dans ce repère.

2. a.Montrer que le vecteur--→AG est normal au plan (IJK).

b.En déduire une équation cartésienne du plan (IJK).

3.On désigne parMun point du segment [AG] ettle réel de l"intervalle [0; 1] tel que--→AM=t--→AG.

a.Démontrer queMI2=3t2-3t+5 4. b.Démontrer que la distanceMI est minimale pour le point N?1

2;12;12?

4.Démontrer que pour ce point N?1

2;12;12?

a.N appartient au plan (IJK). b.La droite (IN) est perpendiculaire aux droites (AG) et (BF).

EXERCICE35points

Candidatsayantsuivi l"enseignementde spécialité

PartieA

On considère les matricesMde la formeM=?a b

5 3? oùaetbsont des nombres entiers. Le nombre 3a-5best appelé le déterminant deM. On le note det(M).

Ainsi det(M)=3a-5b.

1.Dans cette question on suppose que det(M)?=0 et on poseN=1

det(M)? 3-b -5a?

Justifier queNest l"inverse deM.

2.On considère l"équation (E): det(M)=3.

On souhaite déterminer tous les couples d"entiers (a;b) solutions de l"équation (E). a.Vérifier que le couple (6 ; 3) est une solution de (E). b.Montrer que le couple d"entiers (a;b) est solution de (E) si et seulement si

3(a-6)=5(b-3).

En déduire l"ensemble des solutions de l"équation (E).

PartieB

1.On poseQ=?6 35 3?

En utilisant la partie A, déterminer la matrice inverse deQ.

2.Codage avec la matrice QPour coder un mot de deux lettres à l"aide de la matriceQ=?6 35 3?

on utilise la procédure ci-après :

Étape 1 :On associe au mot la matriceX=?x1

x 2? oùx1est l"entier correspondant à la première lettre du mot etx2l"entier correspondant à la deuxième lettre du mot selon le tableau de cor- respondance ci-dessous :

Pondichéry622 avril 2016

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

ABCDEFGHIJKLM

0123456789101112

NOPQRSTUVWXYZ

13141516171819202122232425

Étape 2 :La matriceXest transformée en la matriceY=?y1 y 2? telle que Y=QX. Étape 3 :La matriceYest transformée en la matriceR=?r1 r 2? telle quer1est le reste de la division euclidienne dey1par 26 etr2est le reste de la division euclidienne dey2par 26.

Étape 4 :À la matriceR=?r1

r 2? on associe un mot de deux lettres selon le tableau de correspon- dance de l"étape 1.

Exemple : JE→X=?94?

→Y=?6657? →R=?14 5? →OF.

Le mot JE est codé en le mot OF.

Coder le mot DO.

3.Procédure de décodageOn conserve les mêmes notations que pour le codage.Lors du codage, la matriceXa été transformée en la matriceYtelle que

Y=QX. a.Démontrer que 3X=3Q-1Ypuis que?3x1≡3r1-3r2[26]

3x2≡ -5r1+6r2[26]

b.En remarquant que 9×3≡1 [26], montrer que?x1≡r1-r2[26] x

2≡7r1+2r2[26]

c.Décoder le mot SG.

EXERCICE43points

Commun à tous les candidats

Soitfla fonction définie sur ]0; 14] par

f(x)=2-ln?x 2?

La courbe représentativeCfde la fonctionfest donnée dans le repère orthogonal d"origine O ci-

dessous :

2 4 6 8 10 12 142

46
Cf PM Q O

Pondichéry722 avril 2016

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

et le pointQprojeté orthogonal deMsur l"axe des ordonnées. •L"aire du rectangle OPMQest-elle constante quelle que soit la position du pointMsurCf? •L"aire du rectangle OPMQpeut-elle être maximale? Si oui, préciser les coordonnées du pointMcorrespondant.

Justifier les réponses.

EXERCICE55points

Commun à tous les candidats

On souhaite stériliser une boîte de conserve.

Pour cela, on la prend à la température ambianteT0=25°C et on la place dans un four à température

constanteTF=100°C.

La stérilisation débute dès lors que la température de la boîte est supérieure à 85°C.

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes

PartieA : Modélisationdiscrète

Pournentier naturel, on noteTnla température en degré Celsius de la boîte au bout denminutes.

On a doncT0=25.

Pournnon nul, la valeurTnest calculée puis affichée par l"algorithme suivant :

Initialisation :Tprend la valeur 25

Traitement :Demander la valeur den

Pouriallant de 1 ànfaire

Tprend la valeur 0,85×T+15

Fin Pour

Sortie :AfficherT

1.Déterminer la température de la boîte de conserve au bout de 3minutes.

Arrondir à l"unité.

2.Démontrer que, pour tout entier natureln, on aTn=100-75×0,85n.

3.Au bout de combien de minutes la stérilisation débute-elle?

PartieB : Modélisationcontinue

Dans cette partie,tdésigne un réel positif.

On suppose désormais qu"à l"instantt(exprimé en minutes), la température de la boîte est donnée

parf(t) (exprimée en degré Celsius) avec : f(t)=100-75e-ln5 10t.

1. a.Étudier le sens de variations defsur [0 ;+∞[.

b.Justifier que sit?10 alorsf(t)?85.

2.Soitθun réel supérieur ou égal à 10.

On noteA(θ) le domaine délimité par les droites d"équationt=10,t=θ, y=85 et la courbe représentativeCfdef.

On considère que la stérilisation est finie au bout d"un tempsθ, si l"aire, exprimée en unité

d"aire du domaineA(θ) est supérieure à 80.

Pondichéry822 avril 2016

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

5 10 15 20 25 3010

20304050607080901000 5 10 15 20 25 300102030405060708090100110

temps (en minutes) température (en degré Celsius) Cf y=85 a.Justifier, à l"aide du graphique donné en annexe, que l"on aA(25)>80. b.Justifier que, pourθ?10, on aA(θ)=15(θ-10)-75? 10 e-ln5

10tdt.

c.La stérilisation est-elle finie au bout de 20 minutes?

Pondichéry922 avril 2016

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

ANNEXE 1 à compléter età remettre avecla copie

EXERCICE 1

0 1 10 13,9

EXERCICE 2

1-1 -11-→u-→ v O

Pondichéry1022 avril 2016

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

ANNEXE 2 à compléter età remettre avecla copie

EXERCICE 3

A B CDE F GH I J K?

EXERCICE 5

5 10 15 20 25 3010

2030405060708090100

temps (en minutes) température (en degré Celsius) Cf y=85 O

Pondichéry1122 avril 2016

?Baccalauréat S Liban31 mai 2016?

EXERCICE14points

Commun à tous les candidats

On considère un solide ADECBF constitué de deux pyramides identiques ayant pour base commune

le carré ABCD de centre I. Une représentation en perspectivede ce solide est donnéeen annexe (à

rendreavecla copie). Toutes les arêtes sont de longueur 1. L"espace est rapporté au repère orthonormé?

A ;--→AB,--→AD,--→AK?

1. a.Montrer que IE=?

2

2. En déduire les coordonnées des points I, E et F.

b.Montrer que le vecteur-→n((0 -2? 2)) est normal au plan (ABE). c.Déterminer une équation cartésienne du plan (ABE).

2.On nomme M le milieu du segment [DF] et N celui du segment [AB].

a.Démontrer que les plans (FDC) et (ABE) sont parallèles. b.Déterminer l"intersection des plans (EMN) et (FDC). c.Construire sur l"annexe (à rendre avec la copie)la section du solide ADECBF par le plan (EMN).

EXERCICE24points

Commun à tous les candidats

Sur un court de tennis, un lance-balle permet à un joueur de s"entraîner seul. Cet appareil envoie des

ballesunepar uneàune cadencerégulière.Lejoueur frappe alorslaballepuislaballesuivante arrive.

Suivant le manuel du constructeur, le lance-balle envoie auhasard la balle à droite ou à gauche avec

la même probabilité. Dans tout l"exercice, on arrondira les résultats à10-3près.

PartieA

Le joueur s"apprête à recevoir une série de 20 balles.

1.Quelle est la probabilité que le lance-balle envoie 10 balles à droite?

2.Quelle est la probabilité que le lance-balle envoie entre 5 et 10 balles à droite?

PartieB

42 balles ont été lancées à droite.

Le joueur doute alors du bon fonctionnement de l"appareil. Ses doutes sont-ils justifiés?

PartieC

Pour augmenter la difficulté le joueur paramètre le lance-balle de façon à donner un effet aux balles

lancées. Elles peuvent être soit "liftées» soit "coupées».La probabilité que le lance-balle envoie une

balle à droite est toujours égale à la probabilité que le lance-balle envoie une balle à gauche.

Les réglages de l"appareil permettent d"affirmer que : •la probabilité que le lance-balle envoie une balle liftée à droite est 0,24;

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

•la probabilité que le lance-balle envoie une balle coupée à gauche est 0,235.

Si le lance-balle envoie une balle coupée, quelle est la probabilité qu"elle soit envoyée à droite?

EXERCICE34points

Commun à tous les candidats

On considère la fonctionfdéfinie sur l"intervalle [0; 1] par : f(x)=1

1+e1-x.

PartieA

1.Étudier le sens de variation de la fonctionfsur l"intervalle [0; 1].

2.Démontrer que pour tout réelxde l"intervalle [0; 1],f(x)=ex

ex+e(on rappelle que e=e1).

3.Montrer alors que?

1 0 f(x)dx=ln(2)+1-ln(1+e).

PartieB

Soitnun entier naturel. On considère les fonctionsfndéfinies sur [0; 1] par : f n(x)=1

1+ne1-x.

On noteCnla courbe représentative de la fonctionfndans le plan muni d"un repère orthonormé.

On considère la suite de terme général

u n=? 1 0 fn(x)dx.

1.On atracé en annexe les courbes représentatives des fonctionsfnpournvariantde 1 à5. Com-

pléter le graphique en traçant la courbeC0représentative de la fonctionf0.

2.Soitnun entier naturel, interpréter graphiquementunet préciser la valeur deu0.

3.Quelle conjecture peut-on émettre quant au sens de variation de la suite(un)?

Démontrer cette conjecture.

4.La suite(un)admet-elle une limite?

EXERCICE45points

Candidatsn"ayantpas suivi l"enseignementde spécialité

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.

Un point estattribué par réponse exacte justifiée. Une réponse non justifiée ne serapas prise en compte

et l"absence de réponse n"est pas pénalisée.

•Sur le schéma ci-dessous on a représenté la courbe de densitéd"une variable aléatoireXqui

suit uneloinormaled"espéranceμ=20.LaprobabilitéquelavariablealéatoireXsoitcomprise entre 20 et 21,6 est égale à 0,34.

Liban1331 mai 2016

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

14 16 18 20 22 24 26

0,34

Affirmation 1 :La probabilité que la variable aléatoireXappartienne à l"intervalle [23,2 ;+∞[

vaut environ 0,046. •Soitzun nombre complexe différent de 2. On pose : Z=iz z-2. Affirmation2:L"ensemble despoints duplan complexe d"affixeztels que|Z|=1est une droite passant par le point A(1; 0). Affirmation3 :Zest un imaginaire pur si et seulement sizest réel.

•Soitfla fonction définie surRpar :

f(x)=3

4+6e-2x.

Affirmation4 :L"équationf(x)=0,5 admet une unique solution surR. Affirmation5 :L" algorithme suivant affiche en sortie la valeur 0,54.

Variables:XetYsont des réels

Initialisation:Xprend la valeur 0

Yprend la valeur310Traitement:Tant queY<0,5

Xprend la valeurX+0,01

Yprend la valeur34+6e-2XFin Tant que

Sortie :AfficherX

EXERCICE45points

Candidatsayantsuivi l"enseignementde spécialité

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Un

point est attribué par réponse exacte justifiée. Une réponsenon justifiée ne sera pas prise en compte et

l"absence de réponse n"est pas pénalisée.

•On considère le système?n≡1 [5]

n≡3 [4]d"inconnuenentier relatif. Affirmation1 :Sinest solution de ce système alorsn-11 est divisible par 4 et par 5. Affirmation2 :Pour tout entier relatifk, l"entier 11+20kest solution du système. Affirmation 3 :Si un entier relatifnest solution du système alors il existe un entier relatifktel quen=11+20k.

Liban1431 mai 2016

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

•Un automate peut se trouver dans deux états A ou B. À chaque seconde il peut soit rester dans

l"état où il se trouve, soit en changer, avec des probabilités données par le graphe probabiliste

ci-dessous. Pour tout entier natureln, on noteanla probabilité que l"automate se trouve dans l"état A aprèsnsecondes etbnla probabilité que l"automate se trouve dans l"état B aprèsnsecondes.

Au départ, l"automate est dans l"état B.

AB0,30,2

0,7 0,8

On considère l"algorithme suivant :

Variables:aetbsont des réels

Initialisation:aprend la valeur 0

bprend la valeur 1

Traitement:Pourkallant de 1 à 10

aprend la valeur 0,8a+0,3b bprend la valeur 1-a

Fin Pour

Sortie :Affichera

Afficherb

Affirmation4 :En sortie, cet algorithme affiche les valeurs dea10etb10.quotesdbs_dbs27.pdfusesText_33