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CORRECTION Proposition 1 VRAIE Justification Dans le plan complexe, on considère les points A(3i) , B(4) , C(−2i) et M(z) ⃗ BM(z−4) donc BM=∣z−4 ∣
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A. P. M. E. P.
?Corrigé dubaccalauréat S Amériquedu Sud 22 novembre 2016?EXERCICE1 Communà tousles candidats 5 points
Les courbesCfetCgdonnées en annexe 1 sont les représentations graphiques, dans un repère or-
thonormé?O ;-→ı,-→??
, de deux fonctionsfetgdéfinies sur[0 ;+∞[. On considère les points A(0,5; 1) et B(0 ;-1) dans le repère?O ;-→ı,-→??
On sait que O appartient àCfet que la droite (OA) est tangente àCfau point O.1.On suppose que la fonctionfs"écrit sous la formef(x)=(ax+b)e-x2oùaetbsont des réels.
On sait que le point O appartient àCfdoncf(0)=0 ce qui équivaut à (0+b)e0=0 ou encore b=0.Doncf(x) s"écritf(x)=axe-x2.
La droite (OA) est tangente à la courbeCfen O, et elle a pour coefficient directeur 2, donc f ?(0)=2. f ?(0)=2??(a-0)e0=2??a=2; doncf(x)=2xe-x2. Désormais,on considèrequef(x)=2xe-x2pour toutxappartenantàcd0 ;+∞[2. a.On admettra que, pour tout réelxstrictement positif,f(x)=2
x×x2ex2. lim x→+∞x2=+∞ on poseX=x2 limX→+∞X
eX=0??????? =?limx→+∞x 2 ex2=0 lim x→+∞2 =?limx→+∞2 x×x2ex2=0??limx→+∞f(x)=0 b.La fonctionfest dérivable sur[0 ;+∞[et on a déjà vu quef(x)=(a-2ax2)e-x2= (2-4x2)e-x2puisquea=2. Pourtoutx, e-x2>0doncf?(x)estdusignede2-4x2c"est-à-direde4? 2 2+x?? 2 2-x? Sur[0 ;+∞[, la dérivée s"annule et change de signe pourx=? 2 2;f? 2 2? =?2e-12≈ 0,86. On dresse le tableau de variations de la fonctionfsur[0 ;+∞[:Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.
x0?22+∞
4? ?22+x?+++0+++
?22-x+++0---
f?(x)+++0--- ?2e-12 f(x) 003.La fonctiongdont la courbe représentativeCgpasse par le point B(0 ;-1) est une primitive de
la fonctionfsur[0 ;+∞[.a.On sait que la dérivée dex?-→eu(x)estx?-→u?(x)eu(x), donc une primitive dex?-→
u ?(x)eu(x)estx?-→eu(x). Donc la fonctionx?-→ -2xe-x2a pour primitive la fonctionx?-→e-x2donc une primi- tive de la fonctionfestgdéfinie parg(x)=-e-x2+koùk?R. C gcontient le point B(0 ;-1), doncg(0)=-1, ce qui équivaut à-e0+k=-1 donck=0. La primitive defdont la courbe représentative passe par le point B est donc lafonctiong définie sur[0 ;+∞[parg(x)=-e-x2. b.Soitmun réel strictement positif. I m=? m 0 f(t)dt=g(m)-g(0)=-e-m2-(-1)=1-e-m2 c.On cherche limm→+∞Im: lim m→+∞-m2=-∞ on poseM=-m2 limM→-∞X
eM=0???????4. a.La fonctionfest • continue surI
• positive surI • telle que lim m→+∞? m 0 f(t)dt=1 donc la fonctionfest une fonction de densité de probabilité sur[0 ;+∞[. b.SoitXune variable aléatoire continue qui admet la fonctionfcomme densité de proba- bilité.Pour toutxdeI,P(X?x)=?
x 0 f(t)dt=g(x)-g(0).Org(0)=-e0=-1, doncP(X?x)=g(x)+1.
c.Soitαle réel tel queP(X?α)=0,5. ?? -e-α2=-0,5?? -α2=ln0,5 ?? -α2=-ln2??α2=ln2 ln2 carα>0 d.On construit le point de coordonnées (α; 0) et on hachure la région du plan correspon- dant àP(X?α) :
Amérique du Sud222 novembre2016
Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.
O?ı?
Cf Cg -0,5(α,g(α))(α,0)? ?A BEXERCICE2 Communà tousles candidats 3 points
On munit le plan complexe d"un repère orthonormé directO ;-→u,-→v?
Proposition1
L"ensemble des points du plan d"affixeztels que|z-4| =|z+2i|est une droite qui passe par le pointA d"affixe 3i.
Propositionvraie
• Soit B le point d"affixeb=4 et C le point d"affixec= -2i; on appelle M le point d"affixez. |z-4| =|z+2i| ?? |z-b|=|z-c| ??MB=MCDonc l"ensemble des points M d"affixeztels que|z-
4|=|z+2i|est la médiatriceΔdu segment[BC].
• On appelleal"affixe du point A.AB=|b-a|=|4-3i|=?
16+9=5
AC=|c-a|=|-2i-3i|=|-5i|=5
Donc le point A est à égale distance de B et de C; il appartient donc à la droiteΔ, médiatrice de[BC]. L"ensemble des points M du plan d"affixeztels que|z-4| = droite passe par le point A d"affixe 3i.O-→u-→
v BB CC? AA AProposition2
Soit (E) l"équation (z-1)?z2-8z+25?=0 oùzappartient à l"ensembleCdes nombres complexes.Les points du plan dont les affixes sont les solutions dansCde l"équation (E) sont les sommets d"un
triangle rectangle.Propositionvraie
Amérique du Sud322 novembre2016
Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.
• L"équationz-1=0 a pour solution le nombrea=1 affixe d"un point appelé A. • On résout dansCl"équationz2-8z+25=0;Δ=64-100= -36 donc cette équation admet deux solutions
complexes conjuguéesb=8+6i2=4+3i etc=4-3i.
Ces deux nombres complexesbetcsont les affixes de
deux points qu"on appelle B et C. • L"équation (E)adonctroissolutions quisontlesaffixes des trois points A, B et C. • AB2=|b-a|2=|4+3i-1|2=|3+3i|2=9+9=18
AC2=|c-a|2=|4-3i-1|2=|3-3i|2=9+9=18
BC2=|c-b|2=|4-3i-4-3i|2=|-6i|2=36
• 18+18=36 doncAB2+AC2=BC2donc,d"aprèslaréci- proque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A.O-→u-→
v ?AA? BB CCDonc les points du plan dont les affixes sont les solutions dansCde l"équation (E) sont les sommets
d"un triangle rectangle.