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conjecture de Goldbach : Tout nombre pair supérieur ou égal `a 4 peut être écrit comme somme de deux nombres premiers Ce probl`eme `a l'énoncé si



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Universite Lyon 1 Claude Bernard

Memoire en vue de l'obtention du dipl^ome du

Master de l'universite de Lyon 1

en mathematiques

Directeur de memoire :

ElieMosaki

Le theoreme de Shnirel'man-Goldbach

SimonBoyer

Lyon, 2012

A la memoire de Christian Goldbach (1690-1764) qui en 18 mots passionna des generations de mathematiciens, pendant toute une vie pour certains d'entre eux, et depuis quelques mois pour moi-m^eme. Je lui dedie ce memoire, a lui qui a initie mon entree dans le monde de la theorie des nombres.

Remerciements

Je remercie toutes celles et ceux qui m'ont accompagne au cours de ce memoire, en particulier ceux que je vais oublier : Elie Mosaki, mon directeur de memoire et professeur d'arithmetique, pour sa presence, son attention, son ecoute, ses precieux conseils. Si cela etait possible, j'aimerais faire a nouveau un memoire sous sa direction. -Emmanuel Fricain, mon professeur d'arithmetique, pour m'avoir eclaire sur les nombres et avoir repondu a mes multiples questions (ainsi que pour faire partie de ma bibliographie). -Abdel Yakoub, delegue et precieux camarade de promotion, collegue arithmeticien, ami et conseiller, pour son humour, son soutien et son the bio. -Julie Rouchier, pour avoir lu et relu mon memoire, et surtout pour avoir supporte mes interminables monologues d'explications arithmetiques. -Serge Parmentier, mon professeur de geometrie, pour m'avoir oriente vers un potentiel directeur de memoire, a savoir Boris Adamczewski. -Boris Adamczewski, charge de recherche a l'Institut Camille Jordan, pour m'avoir permis de trouver mon directeur de memoireElie Mosaki. -Jiang Zeng, mon professeur de theorie des nombres, pour m'avoir grande- ment initie a la combinatoire. -Tous les enseignants du Masterpour leur investissement. -Toute l'equipe de la bibliotheque du b^atiment Braconnier, pour sa disponi- bilite et sa gentillesse. -La Police Nationale, pour m'avoir redonne le go^ut des mathematiques, et sans qui je n'aurais jamais fait ce memoire. -Leonhard Eulerpour avoir repondu a la lettre de Christian Goldbach.

Avant-propos

Les nombres premiers sont l'une des plus grandes sources de passion et de mystere dans la communaute mathematiques. On ne sait trop estimer depuis combien de temps l'humanite en a connaissance. Certaines sources - tres remises en cause - diraient depuis 20 000 ans. D'autres - incontestables - diraient il y a au moins 2 300 ans. En tout cas, voila plus de 2000 ans que l'Homme les etudie, et pourtant leur essence lui echappe toujours. Preuves en sont les grandes conjectures modernes de la theorie des nombres, aussi nombreuses que diciles (voir Annexe 1). M^eme les genies de notre temps sont tres loin d'avoir compris le fonctionnement exact des nombres premiers. Ces nombres naturels a la denition si simple et intuitive, du moins une fois

pose le principe de la multiplication, ont l'air d'aller et venir a leur guise.Evidemment, les mathematiciens ont beaucoup appris sur eux, notamment

qu'ils se rareent, mais des questions fondamentales restent en suspens. Le but de ce memoire ne sera clairement pas de faire un etat des lieux de toutes les connaissances modernes sur les nombres premiers. Ce travail depasserait sans aucun doute la taille de plusieurs theses. Ce memoire sera centre sur une question encore ouverte concernant les nombres premiers, une question fondamentale et d'une diculte extr^eme

1: la conjecture de

Goldbach.Enoncee en 1742 par Christian Goldbach dans une lettre (voir Annexe 2) envoyee a Leonhard Euler, elle a fait couler l'encre et la sueur de centaines de mathematiciens depuis 270 ans. Des avancees en apparence 2

colossales ont ete faites, mais personne n'a atteint le but ultime.1. Olivier Ramare a m^eme cone, tres recemment, a propos de cette conjecture : "Peut-

^etre qu'on ne verra pas la demonstration avant mille ans!"

2. En apparence, car comme le fait remarquer David Larousserie : "Pour un

mathematicien, avancer a petits pas ne signie pas forcement se rapprocher du but". iv Originellement, cette conjecture a ete enoncee ainsi par Goldbach :Tout nombre strictement superieur a 2 peut ^etre ecrit comme une somme de trois nombres premiers

3. Il est a noter que Goldbach considere 1 comme un nombre

premier, la norme a ce propos ayant change aujourd'hui. Euler a repondu a son collegue Goldbach par une lettre (voir Annexe 2) ou il reformule la conjecture, par :Tout nombre pair peut ^etre ecrit comme somme de deux nombres premiers

4. Fait surprenant, la conjecture enoncee par Euler est plus

forte mais il ne para^t pas s'en rendre compte. Elle prendra quand m^eme le nom de conjecture de Goldbach. Avec la norme moderne considerant que

1 n'est pas un nombre premier, voici la formulation actuelle de la celebre

conjecture de Goldbach :Tout nombre pair superieur ou egal a 4 peut ^etre ecrit comme somme de deux nombres premiers. Ce probleme a l'enonce si simple s'est avere ^etre d'une diculte insurmontable. M^eme la version faible de la conjecture, appelee "faible" car consequence directe de la conjecture (forte) de Goldbach, n'a pas ete demontree :Tout nombre impair superieur ou egal a 7 peut ^etre ecrit comme somme de trois nombres premiers. Elle a tout de m^eme ete demontree par Ivan Matveyevich Vinogradov en 1937a partir d'un certain rang

5, ce qui est une tres grande avancee. Ce resultat est

maintenant connu sous le nom de theoreme de Vinogradov. Il est a noter que beaucoup d'elements laissent presager que la conjec- ture de Goldbach est vraie, m^eme il faut ^etre tres prudent, car les nombres premiers peuvent reserver bien des surprises

6. Tout d'abord, les ordinateurs

nous ont permis de verier (voir Annexe 3) cette conjecture au cas par cas jusqu'a 41018.Evidemment, ce n'est rien face a l'inni, mais tout de m^eme, c'est rassurant. Ensuite, de nombreux resultats peuvent donner l'espoir que la conjecture de Goldbach est vraie. C'est le cas du theoreme de Vinogradov, cite ci-avant, mais aussi du theoreme de Shnirel'man-Goldbach (objet de ce memoire), des travaux de Chudakov, van der Corput et Estermann, qui, in-

spires des travaux de Vinogradov, ont montre quepresque tout entier pair3. En version originale :Es scheinet wenigstens, da eine jede Zahl, die groer ist als

2, ein aggregatum trium numerorum primorum sey.

4. En version originale :ein jeder numerus par eine summa duorum numerorum pri-

morum sey.

5. Vinogradov a montre l'existence d'un M tel que tout nombre impair au-dela de M est

somme de trois nombre premiers. Depuis, ce M a pu ^etre calcule explicitement et ameliore, mais il reste bien trop gros pour qu'un ordinateur puisse verier la conjecture faible pour les cas (nis) en dessous de M.

6. En eet, on peut noter qu'avant 1957, on avait verie au cas par cas que pour tout

x <26861, il y avait toujours autant ou plus de nombres premiers inferieurs ou egaux ax de la forme 4n+ 3 que de nombres premiers inferieurs ou egaux axde la forme 4n+ 1. Mais en 1957, J.Leech a prouve que pour x=26861, ceci est faux. v est somme de deux nombres premiers, du theoreme de Chen Jing-run, qui dit quetout entier pair susamment grand est la somme d'un nombre pre- mier et d'un nombre qui est soit premier, soit qui a deux facteurs premiers distincts, et, tres recemment, des travaux de Terence Tao, qui a montre que tout entier impair est la somme d'au plus 5 nombres premiers, impliquant que tout entier est la somme d'au plus 6 nombres premiers. Pourtant, rien ni personne ne peut aujourd'hui prouver ou inrmer la conjecture de Goldbach. Ces dierents theoremes qui viennent d'^etre cites montrent quatre ap- proches possibles de la conjecture de Goldbach. Une premiere consiste a la demontrer a partir d'un certain rang, puis de reduire ce rang jusqu'a ^etre ca- pable de montrer informatiquement (ou a la main...) les cas nis manquant, c'est-a-dire ceux en dessous de ce rang. C'est l'approche theorique originelle de Vinogradov pour la conjecture de Goldbach faible. Une seconde consiste a ecrire les entiers pairs comme somme de deux entiers dont on contr^ole les facteurs premiers. C'est l'approche de Chen Jing-run, dans les traces d'Alfred Renyi

7, combinee avec la premiere approche. La troisieme consiste a ecrire

les entiers comme somme d'un nombre contr^ole de nombres premiers. C'est la base du theoreme de Shnirel'man-Goldbach, suivi des progres spectaculaires de, entre autres, Terence Tao. Enn, la quatrieme consiste a prouver la con- jecture de Goldbach pour presque tous les nombres pairs. C'est en quelque sorte l'approche de Chudakov, van der Corput et Estermann. Il est fort interessant de relater les premiers progres qui ont ete faits sur la conjecture de Goldbach pendant ces 270 annees, m^eme si aucun n'a abouti a sa preuve. En eet, ce n'est qu'en observant l'histoire des travaux sur un sujet ouvert que l'on peut esperer entrevoir a quel point on s'est approche du resultat tant attendu, et surtout, comment

8. Il est a noter, de maniere pas si

surprenante pour qui conna^t l'histoire de la theorie des nombres, qu'aucun veritable progres n'a ete fait en direction de la conjecture de Goldbach avant

1920. Viggo Brun a ete le premier a trouver un resultat s'en approchant de

loin :Tout entier pair susamment grand est somme de deux entiers ayant chacun au plus 9 facteurs premiers. Son resultat a ete ameliore maintes fois

jusqu'a celui de Chen cite ci-avant. Apres Brun, Godfrey Harold Hardy et7. Qui avait montre en 1948 qu'il existe un M tel que tout entier pair susamment

grand peut s'ecrire comme la somme d'un nombre premier et d'un nombre ayant au plus M facteurs premiers. Chen Jing-run a montre queM2.

8. Comme le dit Olivier Ramare a propos des travaux autour de la conjecture de Gold-

bach : "Ces travaux sont cependant interessants, car pour aborder la demonstration nale, nous avons besoin de comprendre les entiers et les nombres premiers. Les outils et methodes developpes dans des cas plus 'simples' pourront donc ^etre utiles. On ne sait jamais". vi John Edensor Littlewood ont demontre en 1922 la conjecture de Goldbach faiblepour tout entier impair susamment grand, mais en admettant helas l'hypothese de Riemann generalisee. Il faudra attendre les travaux de Vino- gradov en 1937 pour que cette conjecture de Goldbach faiblepour tout entier impair susamment grandsoit demontree independamment de l'hypothese de Riemann generalisee. Mais la premiere avancee vraiment signicative a ete faite par Lev Genrikhovich Schnirel'man en 1930. Ce mathematicien bielorusse a demontre l'existence d'un entier M tel que tout entier superieur ou egal a 2 peut s'ecrire comme somme d'au plus M nombres premiers. Ce resultat porte le nom detheoreme de Shnirel'man-Goldbach. Le cur de ce memoire sera le theoreme de Shnirel'man-Goldbach. Pourquoi ce choix? Justement parce que c'est le premier resultat fon- damental en direction de la conjecture de Goldbach, qui permet enn aux mathematiciens d'avoir un vrai angle d'attaque pour ce probleme : reduire l'entier M dans le theoreme jusqu'a 2. On aurait pu imaginer traiter de travaux plus recents, comme ceux de Tao ayant reduit M jusqu'a 6. Mais ces travaux utilisent des methodes depassant par leur complexite l'objectif de ce memoire. Seule exception a noter : on utilisera une methode plus recente que le theoreme de Shnirel'man-Goldbach pour demontrer ce dernier : le crible de Selberg, cree par Atle Selberg en 1947. C'est en fait le choix qui a ete fait par Nathanson [7].A nouveau, pourquoi ce choix? Parce que d'une part le crible de Selberg est beaucoup plus pratique, ecace et elegant que le crible de Brun utilise originellement par Shnirel'man, et d'autre part le crible de Selberg est une methode tres utile et tres centrale en theorie des nombres, encore utilisee aujourd'hui, et qui merite grandement que l'on s'y attarde. Ainsi, l'objectif de ce memoire est clairement d'exposer le theoreme de Shnirel'man-Goldbach et sa preuve, tout en presentant la methode du crible de Selberg que l'on utilisera pour celle-ci. En esperant que cette lecture vous eclaire, vous pouvez tourner la page pour la debuter. vii

Table des matieres

Conventions et notations 1

Introduction 2

1 Une inegalite de Chebychev 4

2 Le crible de Selberg 8

2.1 Presentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2 Demonstration du premier theoreme . . . . . . . . . . . . . . 9

2.3 Demonstration du second theoreme . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.4 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3 Le theoreme de Shnirel'man-Goldbach 49

Annexes 58

Annexe 1 : Conjectures en theorie des nombres . . . . . . . . . . . . 58 Annexe 2 : Correspondances entre Goldbach et Euler . . . . . . . . 60 Annexe 3 : Progression des tests de la conjecture de Goldbach . . . 62

Bibliographie 63

Index des notations 64

Index general 65

viii

Conventions et notations

M^eme s'il sera souvent rappele le sens des notations au cours de ce memoire, il est essentiel de dresser ici une liste des conventions et notations qui seront utilisees. La plupart sont classiques en theorie des nombres. etO, notations respectives de E.G.H.Landau et I.M.Vinogradov ayant le m^eme sens, signientborne asymptotiquement, c'est-a-dire que, pour deux fonctionsfetg,fgouf=O(g) signient qu'il existe >0 tel que pour toutxou cela a un sens,jf(x)j jg(x)j. (x) designe le nombre de nombres premiers inferieurs ou egaux axreel. Cmn, prononceem parmi n, designen!m!(nm)!et n'aura ici pour nous un sens que lorsquemetnsont deux entiers naturels veriantmn. Cet entier represente le nombre de manieres de choisirmelements dans un ensemble anelements. vp(n), avecpun nombre premier etnun entier naturel, designe la valuation p-adique de n, c'est-a-dire la puissance associee ap (eventuellement nulle) dans la decomposition denen facteurs premiers. bxcdesigne lapartie entieredu reelx, c'est-a-dire le plus grand entier inferieur ou egal ax. ajb(respectivement,a6 jb) signiea divise b(respectivement,a ne divise pas b) avecaetbentiers, c'est-a-dire qu'il existe (respectivement, n'existe pas)kentier tel queb=ak. De maniere generale, sauf mention contraire et comme il est de coutume en theorie des nombres, la lettrepdesigne un nombre premier. 1

Introduction

Comme annonce dans l'avant-propos, ce memoire sera articule autour du theoreme de Shnirel'man-Goldbach. Ce theoreme s'enonce ainsi : Theoreme A.Il existe un entierM1tel que tout entier superieur ou egal a2est la somme d'au plusMnombres premiers. Cependant, le choix a ete fait d'introduire en premier les outils qui perme- ttront sa demonstration. Ce choix vient d'un souci de clarte, car il n'est pas aise de comprendre les fondements d'une preuve si l'on y admet des resultats delicats. Ainsi, le premier chapitre, tres court, sera consacre a une inegalite de Chebychev, utilisant des outils arithmetiques plut^ot simples en comparaison du reste du memoire. Cette inegalite permettra de demontrer un theoreme essentiel a la preuve du Theoreme A :

Theoreme B.

X

Nxr(N)x2(logx)2;

ou r(N) represente le nombre de representations de N comme somme de deux nombres premiers (avec par exemple 5+7 et 7+5 comptant comme deux representations dierentes). Le second chapitre, le plus gros, sera entierement consacre au celebre crible de Selberg. Il permettra d'aboutir a un theoreme essentiel dans la preuve du theoreme de Shnirel'man-Goldbach, qui s'enoncera ainsi :

Theoreme C.

X

Nxr(N)2x3(logx)4;

ou r(N) represente le nombre de representations de N comme somme de deux nombres premiers (avec par exemple 5+7 et 7+5 comptant comme deux representations dierentes). 2 Pour ce second chapitre, on peut se poser la question de ce qu'est un crible, et citer Cecile Dartyge et Gerald Tenenbaum [4] qui en donne une denition :Soient A et B deux suites d'entiers. Uncriblede A relativement a B est une methode, basee sur un procede d'elimination, qui vise a detecter les elements de A appartenant a B. Le but du chapitre sera de presenter cette puissante methode de la theorie des nombres qu'est le crible de Selberg, de demontrer les theoremes sur lesquels elle s'axe et de l'appliquer dans un cas bien precis qui permettra d'aboutir au Theoreme C. En fait, on pourrait m^eme avancer que le crible de Selberg est le cur de la preuve du Theoreme A. Ceci est vrai pour ce memoire, mais rappelons que le crible de Selberg est plus recent que le theoreme de Shnirel'man-Goldbach, et que Shnirel'man avait utilise un autre crible : celui de Brun. Enn, le troisieme chapitre presentera le theoreme de Shnirel'man-Goldbach, c'est-a-dire le Theoreme A, objectif de ce memoire, et sa preuve, qui en plus d'utiliser des outils combinatoires utilisera les Theoremes B et C. A la n de ce memoire, il nous sera permis d'esperer que le lecteur sera devenu plus familier avec la methode du crible de Selberg et aura pu se convaincre de la veracite du theoreme de Shnirel'man-Goldbach. Precisons aussi que certains ouvrages ont beaucoup inspire ce memoire, sans y ^etre cites explicitement, tels ceux d'Andrews [1], de Wang [9], de Hardy et Wright [3], et de Vinogradov [8]. 3

Chapitre 1

Une inegalite de Chebychev

Dans la demonstration du theoreme de Shnirel'man-Goldbach, le Theoreme A, nous aurons besoin du Theoreme B que l'on rappelle ici : X

Nxr(N)x2(logx)2;

our(N) represente le nombre de facons d'ecrireNcomme somme de deux nombres premiers (ou par exemple 5+7 et 7+5 comptent comme deux representations dierentes). Pour le montrer, nous allons d'abord prouver l'inegalite suivante, dite inegalite de Chebychev, ou(x) represente le nombre de nombres pre- miers inferieurs ou egaux ax:

Theoreme 1.

8x2[2;+1[; (x)log26

xlogx: Pour demontrer ce theoreme, nous allons utiliser deux lemmes en nous inspirant largement d'un cours d'Emmanuel Fricain [6].

Lemme 2.

8n2N;4n2nC2nn:

Preuve.Soitn2N. Remarquons tout d'abord que :

2

2n1= (1 + 1)2n1=2n1X

k=0C 2n1 k:

On sait de plus queC2n1

kest maximal pourk=n, c'est a dire que8k2 [[0;2n1]], on aC2n1 kC2n1n. Donc 4 2

2n12n1X

k=0C

2n1n= 2nC2n1n:

Ainsi 4 n2n2C2n1n=C2n1n+C2n1n1=C2nn:Lemme 3.

8(p;n)2PN; pvp(C2nn)2n:

Preuve.Soit (p;n)2PN. On avp(C2nn) =vp((2n)!)2vp(n!). On rap- pelle la formule de Legendre (voir [2] page 67) sur la valuationp-adique : v p(n!) =1X k=0bnp kc: Donc v p(C2nn) =1X k=0 b2np kc 2bnp kc

Mais le termeb2np

kc 2bnp kcest nul des que2np k<1, donc des quelog2nlogp< k, et aussi quandk= 0. On a ainsi v p(C2nn) =b log 2nlogpcX k=1 b2np kc 2bnp kc Et la fonctiont7! b2tc 2btcest 1-periodique, valant 0 pourt2[0;12 [ et 1 pourt2[12 ;1[. Donc pour touttreel,b2tc 2btc 1. Ainsi v p(C2nn)b log 2nlogpcX k=11 =log2nlogp log2nlogp: D'ou p vp(C2nn)2n:On peut maintenant demontrer le Theoreme 1. 5 Demonstration du Theoreme 1.Remarquons que l'on a, pourn2N, C 2nn=Y p2np vp(C2nn):

Donc, par les Lemmes 2 et 3, on a

4 n2nC2nn=Y p2np vp(C2nn)Y p2n(2n) = (2n)(2n): On applique log aux membres de gauche et de droite, pour obtenir nlog4log(2n)(2n)log(2n); c'est-a-dire (2n)log2log(2n)1(2n):

Il est aise de voir que :

nlog2logn(2n)log2log(2n)1: Ainsi nlog2logn(2n):

Prenonsxreel tel quex2. On posen=bx2

c 2N. Alors n2nx <2(n+ 1):

Ainsi, par croissance de, on a

log2logx x2 1 nlog2logn(2n)(x):

Supposons maintenantx3. Alors on a

log2logx x2 1 =xlogxlog212 1x xlogxlog212 13 =xlogxlog26 Ainsi xlogxlog26 (x): 6

Supposons maintenant 2x <3. Alors(x) = 1 et :

xlogxlog26 3log2 log26 =12 Donc xlogxlog26 (x):

Dans tous les cas, le theoreme est verie.Nous pouvons maintenant demontrer le resultat necessaire au theoreme

de Shnirel'man-Goldbach, a savoir le Theoreme B :

Theoreme B.

X

Nxr(N)x2(logx)2:

Demonstration du Theoreme B.Si on apetqpremiers tels quep;q x2 , alorsp+qx. Ainsi, par le Theoreme 1 : X

Nxr(N)X

p;qx2

1 =(x=2)2(log2)236

x2 )2(log x2 )2: Donc X

Nxr(N)x2(logx)2:7

Chapitre 2

Le crible de Selberg

Le mathematicien Atle Selberg a developpe en 1947 un crible en theorie des nombres, desormais appele le crible de Selberg. S'inscrivant dans la con- tinuite des cribles d'Eratosthene, de Legendre et de Brun, cette methode permet d'evaluer le cardinal d'ensembles d'entiers de maniere tres ecace. Elle a abouti a de nombreuses avancees importantes en theorie des nombres, en particulier le theoreme de Chen evoque dans l'avant-propos.

2.1 Presentation

Nous allons ici presenter ce crible, en particulier dans le but de demontrer le Theoreme C, qui sera necessaire a la demonstration du theoreme A. Rap- pelons ce Theoreme C : Xquotesdbs_dbs41.pdfusesText_41