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Baccalauréat 2014 - SAntilles GuyaneSérie S Obli. et Spé.Jeudi 19 juin 2014Correction

Exercice 1. Probabilités5 points

Commun à tous les candidats

Partie A

1. 1. a.L"arbre pondéré est le suivant :

0,85C 0,80 C0,20

J0,15C

0,10 C0,90

1. b.D"après l"arbre :

J∩C?=pJ(C)×p?J?= 0,15×0,10 = 0,015

1. c.JetJformant une partition de l"univers, la formule des probabilités totales donne :

p(C) =p?C∩

J?+p(C∩J)

=pJ(C)×p(J) + 0,015 p(C) = 0,015 + 0,85×0,80 p(C) = 0,695

1. d.Il s"agit de calculer une probabilité conditionnelle :

J) =p?J∩C?

p(C)=0,0150,695≈0,0216

2.La variable aléatoire X suit une loi normale de de moyenneμ= 90et d"écart-typeσ= 2.

La calculatrice nous donne alors arrondi à10-4près :

Remarque: Sur la TI Voyage 200

3.De même la calculatrice nous donne directement arrondi à10-4près :

P(X≥91)≈0,3085

Remarque: Sur la TI Voyage 200

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Obli. et Spé. - Jeudi 19 juin 2014

Partie B

Cet ostréiculteur affirme que 60% de ses huîtres ont une massesupérieure à 91 g.

1. SoitFla variable aléatoire qui à tout échantillon de120huîtres associe la fréquence de celles qui ont une masse

supérieure à 91 g. Après en avoir vérifié les conditions d"application, donner un intervalle de fluctuation asymptotique

au seuil de 95% de la variable aléatoireF. •1. Analyse des données:

-"Dans un échantillon de taillen= 120, il constate que65de ces huîtres ont une masse supérieure à 91 g.».

Donc la fréquence observée d"huîtres associe la fréquence de celles qui ont une masse supérieure à 91 g.

F=65

120= 0,5417= 54,17%

-Cet ostréiculteur affirme quep= 60%de ses huîtres ont une masse supérieure à 91 g.

•2. Intervalle de fluctuation: On va regarder si la fréquence observéeFappartient à l"intervalle de fluctuation.

?np≥5 ?n(1-p)≥5

Alors un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de confiance de95%de la fréquenceFnd"un caractère dans

un échantillon de taillenest, sipdésigne la proportion de ce caractère dans la population : n=? p-1,96? p(1-p)⎷n;p+ 1,96? p(1-p)⎷n? Théorème 1(Intervalle de fluctuation asymptotique)

On an= 1000,p= 80%alors on sait que puisque :

??n= 120≥30 ?np= 120×60% = 72≥5 ?n(1-p) = 120×40% = 48≥5

Les conditions de validité sont réunies donc l"intervalle de fluctuation au seuil95%pour la fréquenceF120est :

120=?
p-1,96? p(1-p)⎷n;p+ 1,96? p(1-p)⎷n?

0,6-1,96⎷

0,6×0,4⎷120; 0,6 + 1,96⎷

0,6×0,4⎷120?

Les bornes de l"intervalle sont :

?p-1,96? p(1-p)⎷n≈0,512346 :on donne la valeur approchée par défaut p+ 1,96? p(1-p)⎷n≈0,687654 :on donne la valeur approchée par excès soit

120≈[51,23% ; 68,77%]

2. Que peut penser le restaurateur de l"affirmation de l"ostréiculteur?

La fréquence observée d"huitres pesant plus de 91 g estF=65

120≈0,5417.

On a

F≈54,17%?I120≈[52,23% ; 68,77%]

l"hypothèse selon laquellep= 0,60ne peut être rejetée. www.math93.com /www.mathexams.fr2/9

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Exercice 2.6 points

Commun à tous les candidats

Partie A

1. Dresser, en le justifiant, le tableau donnant les variations de la fonctiongsurR(les limites degaux bornes de son

ensemble de définition ne sont pas attendues). En déduire le signe deg(x). Soitgla fonction définie et dérivable sur l"ensembleRpar g(x) = 1-x+ex.

•Variationsgest dérivable surRcomme composée de fonctions qui le sont, et pour tout réelx:

?(x) =-1 +ex

On a alors :

-On a pour tout réelx: ?(x) = 0??ex-1 = 0 ?(x) = 0??ex= 1

En composant par la fonctionlndéfinie sur

]0 ; +∞[, on a : ?(x)>0??x >0 soit ?x?R;g?(x) = 0??x= 0 -En outre pour tout réelx: ?(x)>0??ex-1>0 ?(x)>0??ex>1 La fonctionlnétant croissante sur]0 ; +∞[, on a par composition : ?(x)>0??x >0 ?x?R;g?(x)>0??x >0

Pour conclure

?(x)>0?x >0 ?(x) = 0?x= 0? =?g?(x)<0??x <0 La fonctiongest donc croissante surR+et décroissante surR-. ?(x)

Variations de

-∞0+∞ •Étude de signeOn déduit du tableau précédent que, pour tout réelx,g(x)?2>0.

2. Étude en-∞.

La fonctionfdéfinie sur l"ensembleRdes nombres réels par f(x) =x+ 1 +x ex. lim x→-∞(x+ 1) =-∞ lim x→-∞x ex=-∞??? =?par sommelimx→-∞f(x) =-∞ www.math93.com /www.mathexams.fr3/9

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Étude en+∞

lim x→+∞(x+ 1) = +∞ lim x→+∞x ex= limx→+∞? exx? = 0????? =?par sommelimx→+∞f(x) = +∞quotesdbs_dbs7.pdfusesText_5