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Exercice 15 points

Le plan est rapporté à un repère orthogonal(O,⃗i,⃗j). Soitaun nombre réel strictement positif. On noteΔala

droite d'équation y=axetΓla courbe représentative de la fonction exponentielle dans le repère orthogonal (O,⃗i,⃗j). Le but de cet exercice est de déterminer le nombre de points d'intersection de

ΓetΔa suivant les valeurs de a.

Pour cela, on considère la fonction

fadéfinie pour tout nombre réelxparfa(x)=ex-axOn admet pour tout réel a que la fonctionfaest dérivable sur l'ensemble R des nombres réels.

1. Étude du cas particuliera=2

La fonction

f2est donc définie pour tout réelxparf2(x)=ex-2x.

a. Étudier les variations de la fonctionf2sur R et dresser son tableau de variations sur R . (On ne demande

pas de déterminer les limites aux bornes de l'ensemble de définition). b. En déduire queΔ2etΓn'ont pas de point d'intersection.

2. Étude du cas général où a est un réel strictement positif

a. Déterminer les limites de la fonction faen+∞et-∞.

b. Étudier les variations defasur R . Montrer alors que le minimum sur R de la fonctionfaesta-alna.

c. Étudier le signe dea-alnasuivant les valeurs du nombre réel strictement positif a. d. Déterminer selon les valeurs du réelale nombre de points communs àΓet

Δa.

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Correction :

1. f2est définie surℝpar f2(x)=ex-2x.

a. f2est dérivable sur R et pour tout nombre réel x : f2 '(x)=ex-2ex-2=0⇔ex=2⇔x=ln2 ex-2>0⇔ex>2⇔x>ln2 ex-2<0⇔ex<2⇔x0 b. f2(ln2)est le minimum de f2sur R donc pour tout nombre réel x on af2(x)≥f2(ln2)>0

Et l'équation

ex-2x=0n'admet pas de solution. f2(x)=0est l'équation aux abscisses des points d'intersection deΔ2etΓ.

Conséquence : Δ2et

Γn'ont pas de point d'intersection

2. Étude du cas général

a. a est un nombre réel strictement positif. Pour tout nombre réel x : fa(x)=ex-ax limx→-∞ex=0 et limx→-∞-ax= +∞donclimx→-∞fa(x)=+∞Pour x≠0fa(x)=x (ex x-a)limx→+∞ex x= +∞donclimx→+∞(ex x-a)=+∞

Conséquence :limx→+∞fa(x)=+∞

b. faest dérivable sur R et pour tout nombre réel x on a :f2'(x)=ex-aex-a=0⇔ex=2⇔x=lna ex-a>0⇔ex>a⇔x>lna ex-a<0⇔exTableau de variations

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fa(lna)=elna-alna=a-alnaest le minimum defasur R . c. a-alna=a(1-lna)

Or,a>0

1-lna=0⇔1=lna⇔e=a

1-lna>0⇔1>lna⇔e>a

1-lna<0⇔1 On donne le signe dea-alnasous la forme d'un tableau : d. Sia0

ΔaetΓn'ont pas de point d'intersection.

Sia>ealorsa-alna<0

faest continue et strictement décroissante sur]-∞;lna]à valeurs dans[a-alna;+∞[. Or, 0 appartient à

cet intervalle donc le théorème des valeurs intermédiaires nous permet d'affirmer que l'équation

fa(x)=0admet une solution unique

αappartenant à l'intervalle]-∞;lna].

faest continue et strictement croissante sur [lna;+∞[à valeurs dans[a-alna;+∞[. Or, 0 appartient à cet

intervalle donc le théorème des valeurs intermédiaires nous permet d'affirmer que l'équation

fa(x)=0admet une solution uniqueβappartenant à l'intervalle [lna;+∞[. Conséquence : l'équation aux abscisses des points d'intersection deΓet

Δafa(x)=0admet deux solutions

distinctesαet βdoncΓetΔaont deux points d'intersection distincts.

Sia=ealorsa-alna=e-e=0

ΓetΔaont un point commun le point de coordonnées(1;e)

Remarque : Δeest la tangente à

Γau point de coordonnées(1;e).

Graphique :

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