[PDF] Dynamique des Solides et des Structures - Mines Saint-Etienne

COURS DE MECANIQUE - VIBRATIONS 1ère année

raire, les vibrations forcées subsistent tant qu'il y a excitation Un système mécanique non amorti 

VIBRATIONS et ACOUSTIQUE

CoursPDF

VIBRATIONS - Cours, examens et exercices gratuits et corrigés

au programme officiel du module «Vibrations et Ondes mécaniques» enseignés en deuxième 

Cours Module: Vibrations - essa-tlemcendz

tions mécaniques ❖ Oscillations On définit l'oscillation harmonique par l'équation différentielle 

Vibrations et Ondes Mécaniques

sent polycopié de cours, intitulé : « Vibrations et Ondes Mécaniques » ( physique 3) est élaboré et 

Dynamique des Solides et des Structures - Mines Saint-Etienne

ment est le support du cours consacré `a la dynamique des corps 2 2 Syst`eme mécanique forcé et phénom`ene de résonance - Application `a 3 3 3 Calculs des vibrations libres par éléments finis

VIBRATIONS EN PETITES PERTUBATIONS DES SYSTÈMES

ier chapitre de ce cours fait le lien avec le cours de mécanique de première année, où vous 

Vibrations et Ondes (F312) : Cours et Exercices Corrigés Partie

it d'un module de base qui traite les oscillations des systèmes mécaniques et électriques et qui a 

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Dynamique des Solides et des

Structures

5 i`eme´edition octobre 2016

Sylvain Drapier

D ´epartement M´ecanique et Proc´ed´es d"Elaboration

Centre Science des Mat

´eriaux et des Structures & UMR CNRS 5146

Ecole Nationale Sup´erieure des Mines de Saint-´Etienne

158, cours Fauriel

42023 Saint-

´Etienne Cedex 2

bureau J3-15, t

´el :00-79

2

Introduction g

´en´eraleDans les probl

`emes trait´es dans le cadre de la m´ecaniquestatiquedes solides et des structures, on suppose que le chargement impos

´e (d´eplacement, efforts, temp´erature,

...) passe progressivement de sa valeur initiale `a sa valeur finale faisant ainsi passer le milieu sollicit ´e d"une configuration initiale`a sa configuration finale. Les param`etres

a calculer (contraintes, d´eformations, d´eplacements, r´eactions, ...) sont relatifs`a l"´etat

final fixe et par cons

´equentne d´ependent pas du temps.

Dans le cadre de ladynamiqueau contraire les chargements impos´es, ainsi que les propri ´et´es g´eom´etriques et mat´eriaux, peuventvarier dans le temps. De plus, mˆeme dans la configuration initiale le milieu peut ˆetre caract´eris´e par des fonctions du temps.

Les param

`etres`a calculer sont donc´egalement des fonctions du temps, et de nou- velles grandeurs apparaissent pour caract ´eriser lemouvement, c"est-`a-dire la variation de configuration dans le temps. Ce sont les param `etres cin´ematiques tels que lesvi-

tesses, lesacc´el´erations, lesfr´equences, ... qui n"existent pas dans le cas de la statique.

Ce document est le support du cours consacr

´e`a ladynamique des corps rigides et

des corps d ´eformables. Ce cours se d´ecompose en 4 grandes parties compl´et´ees par des annexes consacr ´ees aux rappels sur la m´ecanique g´en´erale, la transform´ee de Laplace, et le calcul des variations.

Dans la partie 1, apr

`es une introduction de la dynamique des corps, l"exemple le plus simple de syst `eme m´ecanique sera´etudi´e.´A travers cetoscillateur´el´ementaire, les grands types de r ´eponse dynamiques seront mis en´evidence. Le comportement de cette structure discr `ete`a un degr´es de libert´e (ddl) sera´etendu dans la partie 3 aux syst `emes`an ddlen utilisant les r´esultats et m´ethodes introduits dans la partie

2 consacr

´ee`a laDynamique analytique des syst`emes discrets. Finalement, le cas des solides d ´eformables sera trait´e dans la partie 4, en utilisant les r´esultats´etablis pour les corps ind ´eformables, compl´et´es par les notions connues dem´ecanique des milieux iii iv continus. La fin de cette partie sera consacr´ee`a l"Approximation des syst`emes continus par des m

´ethodes cin´ematiques.

v Visualisation du premier mode propre de vibration d"un mod `ele de Rafale A. Logiciel

ELFINI de Dassault Aviation

Propagation d"une onde de compression dans une barre suite `a un choc`a son extr ´emit´e libre (a et b) et r´eflexion de cette onde (c et d). Logiciel Abaqus. vi

Table des mati

`eresI Connaissances de base : Rappels et oscillateur

´el´ementaire1

1 Introduction

`a la dynamique des structures5

1.1 Objectif et champ d"application

5

1.2 Sources d"excitation, r

´eponse des structures. . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.1 Sources d"excitation

6

1.2.2 R

´eponse des structures. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Exemples introductifs - Rappels G

´en´eraux9

2.1 Syst

`eme m´ecanique ferm´e - Application`a un syst`eme masse-ressort`a 1 ddl 9

2.1.1 Mise en

´equation du syst`eme. . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.1.2 R

´eponse du syst`eme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2 Syst

`eme m´ecanique forc´e et ph´enom`ene de r´esonance - Application`a un syst `eme masse-ressort amorti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2.1 Mise en

´equation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2.2 R

´eponse du syst`eme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2.3 Interpr

´etation physique de la r´esonance. . . . . . . . . . . . 16

3 Interpr

´etation du comportement de l"oscillateur´el´ementaire19

3.1 Principe de d"Alembert

19

3.2 L"oscillateur

´el´ementaire de la dynamique et sa fonction de transfert. 20 3.2.1 ´Equations du mouvement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.2.2 Fonction de transfert et r

´eponse impulsionnelle. . . . . . . . 20

3.3 R ´eponse g´en´erale de l"oscillateur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.3.1 ´Etude des r´egimes libres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.3.2 Exemples de r

´egimes forc´es. . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

II Dynamique analytique des syst

`emes discrets29

1 Principe des travaux virtuels

31
vii viiiTABLE DES MATI`ERES1.1 Cas du point mat ´eriel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.2 Les contraintes cin

´ematiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.2.1 Liaisons holon

ˆomes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.2.2 Liaisons non-holon

ˆomes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.3 Notion de coordonn

´ee g´en´eralis´ee. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2 Principe de Hamilton -

´Equations de Lagrange39

2.1 ´Energies potentielles et cin´etiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2 ´Enonc´e du principe de Hamilton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.3 Forme propos

´ee par Lagrange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.3.1 Structure de l"

´energie cin´etique. . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.3.2 Conservationdel"

2.4 Classification des forces g

´en´eralis´ees. . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.4.1 Forces int

´erieures. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.4.2 Forces ext

´erieures. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.5 ´Equations de Lagrange dans le cas g´en´eral. . . . . . . . . . . . . . . 48

III Oscillations des syst

`emes`a N degr´es de libert´e53

1 Concepts de stabilit

´e des´equilibres57

1.1 D ´efinition d"un´equilibre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

1.2 Petites oscillations autour d"une configuration d"

´equilibre. . . . . . . 58

1.3 Stabilit

´e d"un´equilibre param´etrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

1.4 Lin

´earisation des´energies. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 1.5 ´Equations des oscillations libres - Lin´earisation du pendule double avec ressort de rappel 61

2 Modes normaux de vibration

63

2.1 K et M-Orthogonalit

´e des modes propres. . . . . . . . . . . . . . . . 64

2.2 Oscillations libres r

´esultant de conditions initiales non-homog`enes. . 66

2.2.1 Exemple de calcul modal : Pendule double avec masses ponc-

tuelles 67
2.3 D ´ecomposition modale d"un vecteur quelconque ou d"une matrice. . 69

2.3.1 Exemple : Pendule triple

70

2.3.2 Exemple de calcul modal : Syst

`eme`a 2 masses et ressorts de rappel 71
2.4 R ´eponse harmonique forc´ee. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

2.4.1 Analyse en l"absence de modes rigides

75

2.4.2 Application au syst

`eme de 2 masses et ressorts. . . . . . . . 77

2.4.3 Syst

`eme poss´edant des modes rigides. . . . . . . . . . . . . 79 2.5 R ´eponse`a une sollicitation quelconque ext´erieure. . . . . . . . . . . 80

TABLE DES MATI

`ERESix2.6 Fonction de transfert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

2.6.1 Analogie avec l"oscillateur

´el´ementaire. . . . . . . . . . . . 81

2.6.2 Signification physique

82

2.6.3 Domaine temporel

82

2.6.4 Application au syst

`eme`a 2 masses + ressorts. . . . . . . . . 83 3 M ´ethodes variationnelles de caract´erisation des valeurs propres85

3.1 Le quotient de Rayleigh

86

3.1.1 Recherche it

´erative des modes et valeurs propres. . . . . . . 87

3.1.2 Application au pendule double avec masses ponctuelles

91

3.2 Modes et fr

´equences propres de vibration d"un syst`eme soumis`a des contraintes : principe de monotonic 94

4 Oscillations amorties des syst

`emes`andegr´es de libert´e97

4.1 Oscillations amorties en terme de modes propres du syst

`eme conser- vatif associ ´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4.2 Analyse des syst

`emes amortis visqueux dans l"espace d"´etat. . . . . 100 4.2.1 ´Etude du cas homog`ene. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 4.2.2 ´Etude du cas non homog`ene. . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

4.2.3 R

´eponse`a une excitation harmonique. . . . . . . . . . . . . 102

IV Syst

105
1

´Equilibre dynamique des milieux continus109

1.1 Principe de Hamilton

109
1.2 ´Equations d"´equilibre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

1.3 Propagation d"ondes dans un milieu

´elastique - Notions de base. . . . 113

1.3.1 ´Equations de Navier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

1.3.2 Ondes

´elastiques planes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

1.3.3 Ondes de surface

116

2 Vibration des poutres et des barres

119

2.1 Introduction

120
2.2quotesdbs_dbs7.pdfusesText_13