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Sujets et corrigés des DS

de mathématiques et d"informatique

BCPST1A lycée Hoche 2014-2015

Sébastien Godillon

Table des matières

Sujet du DS n

o1 (mathématiques, 3h) 3

Corrigé du DS n

o15

Exercice 1 (logique) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

Exercice 2 (nombres réels, sommes, suites) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

Exercice 3 (nombres réels, polynômes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

Exercice 4 (nombres réels, équations, trigonométrie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

Sujet du DS n

o2 (mathématiques, 3h) 13

Corrigé du DS n

o215 Exercice 1 (nombres complexes, équations, sommes, produits) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Exercice 2 (sommes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

Exercice 3 (nombres complexes, équations) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

Exercice 4 (sommes, nombres complexes, trigonométrie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

Exercice 5 (sommes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

Sujet du DS n

o3 (mathématiques, 3h) 25

Corrigé du DS n

o327

Exercice 1 (suites, sommes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

Exercice 2 (dénombrement, applications) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

Exercice 3 (dénombrement, suites) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

Exercice 4 (équivalents, limites) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

Sujet du DS n

o4 (mathématiques, 3h) 35

Corrigé du DS n

o437

Exercice 1 (équations différentielles) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

Exercice 2 (matrices) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

Problème (dénombrement, suites, sommes, limites) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41 BCPST1A lycée Hoche 2014-2015 1 sur 109 Sébastien Godillon

Sujet du DS n

o5 (mathématiques, 3h) 47

Corrigé du DS n

o549

Exercice 1 (polynômes, nombres complexes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

Exercice 2 (géométrie, systèmes linéaires) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

Exercice 3 (polynômes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

Exercice 4 (géométrie, matrices) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

Sujet du DS n

o6 (mathématiques, 3h) 63

Corrigé du DS n

o665

Exercice 1 (probabilités, matrices, suites, limites) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

Exercice 2 (statistiques, fonctions de deux variables) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

Exercice 3 (polynômes, nombres complexes, trigonométrie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72

Sujet du DS n

o7 (mathématiques, 3h) 76

Corrigé du DS n

o778

Exercice 1 (étude de fonctions, continuité, suites, limites) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

78

Exercice 2 (logique, continuité) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79

Exercice 3 (étude de fonctions, continuité, limites) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79

Exercice 4 (probabilités, sommes, suites, matrices, limites) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81

Sujet du DS n

o8 (mathématiques, 3h) 86

Corrigé du DS n

o888

Exercice 1 (étude de fonctions, continuité, applications, équivalents) . . . . . . . . . . . . . . . .

88

Exercice 2 (étude de fonctions, dérivabilité, développements limités, suites, limites) . . . . . . .

92

Exercice 3 (développements limités) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97

Sujet du DS n

o9 (mathématiques, 3h) 99

Corrigé du DS n

o9101

Problème (variables aléatoires, probabilités, équivalents) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

101

Exercice 1 (dérivabilité, développements limités) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

105

Exercice 2 (sous-espaces vectoriels, applications linéaires, familles de vecteurs) . . . . . . . . . .

1 07BCPST1A lycée Hoche 2014-2015 2 sur 109 Sébastien Godillon

DS n o1 de mathématiques durée : 3 heures

Exercice 1

Dans un haras, un test génétique de couleur de robe (alezane, baie ou noire) est pratiqué sur les chevaux

de trait de deux races différentes : comtoise et percheronne. On considère les deux propositions suivantes :

P: "Il existe un percheron dont l"échantillon d"ADN est porteur du gène noir.» Q: "Si l"analyse est pratiquée sur un comtois, alors son échantillon d"ADN est porteur du gène alezan et du gène bai.» On noteHl"ensemble des chevaux analysés du haras;A,BetNles sous-ensembles de chevaux dont

les échantillons d"ADN sont porteurs des gènes alezan, bai et noir (respectivement); et enfinCetPles

sous-ensembles de chevaux de races comtoise et percheronne (respectivement). On pourra utiliser la lettre

hpour désigner un cheval analysé (c"est-à-dire un élément générique deH). 1.

Réécrire les prop ositionsPetQen langage mathématique à l"aide de quantificateurs et d"opérateurs

logiques. 2.

Réécrire la prop ositionQen langage mathématique à l"aide d"opérations sur des ensembles.

3. Donner, en français, la négation de Pet la négation deQ. 4. Donner, en français, la con traposéeet la récipro quede Q. 5.

P ourc hacunedes prop ositionssuiv antes,dire si elle est vraie ou fausse (les justifications ne son t

pas demandées) : (a) P ourprouv erque Pest vraie, il est suffisant de prouver que tous les échantillons d"ADN du haras sont porteurs du gène noir. (b) P ourprouv erque Pest fausse, il est nécessaire de prouver l"existence d"un percheron dont l"échantillon d"ADN n"est pas porteur du gène noir. (c) P ourprouv erque Qest fausse, il est suffisant de prouver que tous les échantillons d"ADN des comtois sont porteurs du gène noir. (d) P ourprouv erque Qest vraie, il est nécessaire de prouver que tous les échantillons d"ADN

neutres (c"est-à-dire porteurs d"aucun gène : ni alezan, ni bai, ni noir) ont été prélevés sur des

percherons.

Exercice 2

On considère la série harmonique(Hm)m>1définie pour tout nombre entierm>1par : H m= 1 +12 +13 +14 +15 ++1m1+1m =mX k=11k On propose de démontrer que la suite(Hm)m>1diverge vers+1. 1. Démon trerque la suite (Hm)m>1est strictement croissante. 2. P ourtout nom breen tierm>1, on pose l"entierNm=jln(m)ln(2) k (a)

Mo ntrerque limm!+1Nm= +1.

(b)

Mon trerque 8m>1;m2

<2Nm6met en déduire que8m>1; Hm>H2Nm. (c) Démo ntrerqu"il est suffisan tde p rouverque la suite (H2n)n>0tend vers+1pour prouver que la suite(Hm)m>1tend vers+1. 3.

P ourcette question, on fixe un nom breen tiern>0.BCPST1A lycée Hoche 2014-2015 3 sur 109 Sébastien Godillon

(a)Do nnerle nom bred"élémen tsd el"ensem bleEn=fk2N= k>2n+ 1etk62n+1g. (b)

Mon trerque 8k2En;1k

>2(n+1). (c)

En déduire que :

2 n+1X k=2n+11k >12 4.

Démon trerque 8n>0; H2n>1 +n2

5.

Conclure.

Exercice 3

On considère les nombres réels=3p2 +

p5et=3p2p5(on rappelle que pour tout nombre réely, on note

3pyl"unique solution de l"équationx3=yd"inconnuex2R). On propose de simplifier l"expression

deet. 1. (a)

Calculer et3+3.

(b) Vérifier que 8(a;b)2R2;(a+b)3=a3+ 3a2b+ 3ab2+b3. (c) En déduire une expression simple d e(+)3en fonction deet. 2. On p oseu=+et on considère la fonction polynomialeP:x7!P(x) =x3+ 3x4. (a)

A l"aide de la question précéden te,mon trerque uest une racine deP, c"est-à-dire queP(u) = 0.

(b)

T rouverune racine éviden tede P.

(c) T rouvertrois nom bresréels a,betctels que8x2R; P(x) = (x1)(ax2+bx+c). (d)

Résoudre l"équation P(x) = 0d"inconnuex2R.

(e)

En déduire la v aleurde u.

3. On considère la fonction p olynomialeQ:x7!Q(x) = (x)(x). (a) A l"aide des questions précéden tes,dév elopperet simplifier Q(x)pour tout nombre réelx. (b) En déduire que etsont solutions de l"équationx2x1 = 0d"inconnuex2R. (c)

Déterm inerdes expressions plus simples de et.

Exercice 4

On considère l"équation (E) d"inconnuex2[0;2 ]définie par : pcos(x) +psin(x) = 1:(E)

On propose de résoudre cette équation de deux manières différentes. Les questionsA)etB)suivantes sont

donc totalement indépendantes.

A)Première méthode :

1. Vérifier que 8(a;b)2R2;(a+b)4=a4+ 4a3b+ 6a2b2+ 4ab3+b4. 2. Démon trerque l"équation (E) est équiv alenteà l"équation (E") suiv ante: pcos(x)sin(x)

2cos(x) + 3pcos(x)sin(x) + 2sin(x)

= 0:(E") 3.

Justifier que 8x2[0;2

];2cos(x) + 3pcos(x)sin(x) + 2sin(x)>0. 4.

En déduire les solutions de l"éq uation(E).

B)Deuxième méthode :

1.

Démon trerque 8a2]0;1[;pa > a

2. 2.

En déduire que 8x2]0;2

[;pcos(x) +psin(x)>1. 3.

Retrouv erles solutions de l"équation (E). BCPST1A lycée Hoche 2014-2015 4 sur 109 Sébastien Godillon

Corrigé du DS n

o1 de mathématiques

Exercice 1

Dans un haras, un test génétique de couleur de robe (alezane, baie ou noire) est pratiqué sur les chevaux

de trait de deux races différentes : comtoise et percheronne. On considère les deux propositions suivantes :

P: "Il existe un percheron dont l"échantillon d"ADN est porteur du gène noir.» Q: "Si l"analyse est pratiquée sur un comtois, alors son échantillon d"ADN est porteur du gène alezan et du gène bai.» On noteHl"ensemble des chevaux analysés du haras;A,BetNles sous-ensembles de chevaux dont

les échantillons d"ADN sont porteurs des gènes alezan, bai et noir (respectivement); et enfinCetPles

sous-ensembles de chevaux de races comtoise et percheronne (respectivement). On pourra utiliser la lettre

hpour désigner un cheval analysé (c"est-à-dire un élément générique deH). 1.

R éécrireles pr opositionsPetQen langage mathématique à l"aide de quantificateurs et d"opérateurs

logiques. IOn a en langage mathématique avec des quantificateurs et des opérateurs logiques :

P () 9h2P; h2N

() 9h2H; h2Peth2N

Q () 8h2H; h2C=)(h2Aeth2B)

() 8h2C; h2Aeth2B Attention : la proposition "h2A\B» est équivalente à "h2Aeth2B» mais elle utilise une opération sur des ensembles (l"intersection\) et non un opérateur logique (le "et»)

comme demandé par l"énoncé.2.R éécrirela pr opositionQen langage mathématique à l"aide d"opérations sur des ensembles.

IOn a en langage mathématique avec des opérations sur des ensembles : Q () 8h2C; h2A\B ()CA\B3.Donner, en fr ançais,la né gationde Pet la négation deQ.

IOn a en langage mathématique :

non(P)() 8h2P;non(h2N) () 8h2P; h =2N () 8h2H; h =2Pouh =2N non(Q)() 9h2H;non(h2C=)(h2Aeth2B)) () 9h2H; h2Cet non(h2Aeth2B) () 9h2H; h2Cet(h =2Aouh =2B) () 9h2C; h =2Aouh =2B Ecrire les négations dePetQen langage mathématique n"est pas demandé, mais ça aide

pour les traduire ensuite en français.On en déduit donc en français que la négation dePest "Aucun échantillon d"ADN des percheronsn"est porteur du gène noir.», et la négation deQest "Il existe un échantillon d"ADN qui, d"unepart, a été prélevé sur un comtois et, d"autre part, n"est pas porteur du gène alezan ou n"est pas

porteur du gène bai (ou n"est pas porteur des deux gènes).». BCPST1A lycée Hoche 2014-2015 5 sur 109 Sébastien Godillon

4.Donner, en fr ançais,la c ontraposéeet la r éciproquede Q.

ILa contraposée deQest donnée en langage mathématique par :

8h2H;non(h2Aeth2B) =)non(h2C)

() 8h2H;(h =2Aouh =2B) =)h =2C

ce qui donne en français : "Si un échantillon d"ADN n"est pas porteur du gène alezan ou n"est pasporteur du gène bai (ou n"est pas porteur des deux gènes), alors l"analyse n"a pas été pratiquée

sur un comtois.». La réciproque deQest donnée en langage mathématique par :

8h2H;(h2Aeth2B) =)h2C

ce qui donne en français : "Si un échantillon d"ADN est porteur du gène alezan et du gène bai,alors l"analyse a été pratiquée sur un comtois.»

5.

Pou rchacune des pr opositionssuivantes, dir esi el leest vr aieou fausse (les justific ationsne sont

pas demandées) : (a) Po urpr ouverque Pest vraie, il est suffisant de prouver que tous les échantillons d"ADN du haras sont porteurs du gène noir.

IVraie.

(b) P ourpr ouverqu ePest fausse, il est nécessaire de prouver l"existence d"un percheron dont l"échantillon d"ADN n"est pas porteur du gène noir.

IVraie.

En toute rigueur, les propositions 5(a) et 5(b) sont fausses si l"ensemble des percherons est vide (dans ce cas, la propositionPest toujours fausse). Mais la première phrase de

l"énoncé sous-entend qu"il existe au moins un percheron.(c)P ourpr ouverque Qest fausse, il est suffisant de prouver que tous les échantillons d"ADN des

comtois sont porteurs du gène noir.

IFausse.

(d) Po urpr ouverque Qest vraie, il est nécessaire de prouver que tous les échantillons d"ADN

neutres (c"est-à-dire porteurs d"aucun gène : ni alezan, ni bai, ni noir) ont été prélevés sur des

percherons.

IVraie.

Exercice 2

On considère la série harmonique(Hm)m>1définie pour tout nombre entierm>1par : H m= 1 +12 +13 +14 +15 ++1m1+1m =mX k=11k On propose de démontrer que la suite(Hm)m>1diverge vers+1. 1. Démontr erque la suite (Hm)m>1est strictement croissante.

IOn a pour un entierm>1fixé :

H m+1Hm= 1 +12 +13 ++1m +1m+ 1 1 +12 +13 ++1m =1m+ 1>0:

Inutile de perdre du temps à justifier que

1m+1>0quandm>1, c"est évident.Par conséquentHm+1> Hmpour toutm>1et donc la suite(Hm)m>1est strictement croissante.

BCPST1A lycée Hoche 2014-2015 6 sur 109 Sébastien Godillon

2.Pou rtout nombr eentier m>1, on pose l"entierNm=jln(m)ln(2)

k (a)

Montr erque limm!+1Nm= +1.

ID"après la définition de la partie entière, on a pour tout entierm>1: N m6ln(m)ln(2) < Nm+ 1 ce qui peut aussi s"écrire : ln(m)ln(2)

1< Nm6ln(m)ln(2)

Orlimm!+1ln(m)ln(2)

1 = +1carlimm!+1ln(m) = +1etln(2)>0. D"après le théorème de

comparaison, on en déduit queNmtend vers+1quandmtend vers+1. Attention de ne pas oublier de préciser queln(2)>0. Par contre, il est inutile de justifier que le membre de droite des inégalités (?) tend aussi vers+1quandm!+1.(b)Montr erque 8m>1;m2 <2Nm6met en déduire que8m>1; Hm>H2Nm. IEn multipliant les inégalités (?) parln(2)>0, on obtient pour tout entierm>1: ln(m)ln(2)< Nmln(2)6ln(m) lnm2 1:explnm2 0etx7!exp(x)strictement

croissante. Elles doivent apparaître explicitement.En utilisant l"inégalité à droite ci-dessus, et la croissance de la suite(Hm)m>1démontrée à la

question 1, on en déduit queHm>H2Nmpour tout entierm>1. (c) Démontr erqu "ilest suffisa ntde pr ouverque la suite (H2n)n>0tend vers+1pour prouver que la suite(Hm)m>1tend vers+1. ISupposons que la suite(H2n)n>0tende vers+1, c"est-à-dire quelimn!+1H2n= +1. Puisque lim m!+1Nm= +1d"après le résultat de la question 2(a), on obtient avec le changement de variablen=Nmquelimm!+1H2Nm= +1. Et puisque8m>1; H2Nm6Hmd"après le résultat de la question 2(b), on en déduit quelimm!+1Hm= +1(en utilisant le théorème de comparaison). Finalement, on a montré que : lim n!+1H2n= +1=)limm!+1Hm= +1: La condition "(H2n)n>0tend vers+1» est donc suffisante pour prouver que "(Hm)m>1tend vers+1». Attention à la rédaction ici. Il ne s"agit pas de démontrer que la proposition "(H2n)n>0 tend vers+1» est vraie (questions suivantes) mais de démontrer que si elle est vraie alors "(Hm)m>1tend vers+1» est aussi vraie, c"est-à-dire que l"implication ci-dessus est vraie.3.Pou rc ettequestion, on fixe un nombr eentier n>0. (a) Donne rle nombr ed"éléments de l"ensemble En=fk2N= k>2n+ 1etk62n+1g. IL"ensembleEn=fk2N= k>2n+ 1etk62n+1gpeut aussi s"écrire (en décrivant ses

éléments par une liste croissante) :

E

n=f2n+ 1;2n+ 2;2n+ 3;2n+ 4; :::;2n+1g:BCPST1A lycée Hoche 2014-2015 7 sur 109 Sébastien Godillon

Or2n+1= 2n21= 2n2 = 2n+ 2n. Donc :

E n=f2n+ 1;2n+ 2;2n+ 3;2n+ 4; :::;2n+ 2ng =f2n+k = k2 f1;2;3;:::;2ngg:

On en déduit queEna le même nombre d"éléments quef1;2;3;:::;2ng, c"est-à-dire2néléments.

On verra bientôt en cours qu"on peut tout simplement dire qu"entre2n+1et2n+1, il y a exactement2n+1(2n+ 1) + 1 = 22n2n= 2néléments.(b)Montr erque 8k2En;1k >2(n+1). ISoitk2En. On a en particulier0< k62n+1, donc en inversant cette inégalité :1k >12 n+1.

On en déduit le résultat pour toutk2Encar12

n+1= (2n+1)1= 2(n+1). (c)

En dé duireque

P2n+1 k=2n+11k >12 IEn utilisant les résultats des deux questions précédentes, on obtient : 2 n+1X k=2n+11k =X k2En1k >|{z} question 3(b)X k2En2 (n+1)= 2(n+1)X k2En1 =|{z} question 3(a)2 (n+1)2n:

Or2(n+1)2n= 2n1+n= 21=12

. Finalement, on a bien l"inégalité :P2n+1 k=2n+11k >12. Inutile de quantifier l"entierndans les questions 3(a), 3(b) et 3(c) puisqu"il est fixé par l"énoncé pour toute la question 3.4.Démontr erque 8n>0; H2n>1 +n2 IOn procède par récurrence. Pourn= 0on aH20=H1= 1et1 +02 = 1. Donc la proposition "H2n>1+n2 » est vraie au rangn= 0. On suppose maintenant la proposition "H2n>1+n2

» vraie

pour un certain rangn>0fixé. On cherche à démontrer qu"elle est également vraie au rangn+1.

On a :

H

2n+1= 1 +12

+13 ++12 n+1 1 +12 +13 ++12 n +12 n+ 1+12 n+ 2+12 n+ 3++12 n+1 =H2n+2 n+1X k=2n+11k

OrH2n>1 +n2

d"après l"hypothèse de récurrence, et on a démontréP2n+1 k=2n+11k >12

à la question

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