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Devoirs en MPSI 1 - 2000/2001

Pierre L. Douillet

17 novembre 2016

2 Ces devoirs ont été donnés durant l"année 2000-2001 dans une classe de MPSI.

Table des matières

1 Triangle de Napoléon - Homographies

7

1.1 Triangle de Napoléon.

7

1.2 Homographies

7

2 ds1 : De tout un peu

9

2.1 Une transformation ponctuelle

9

2.2 Cercle de Nyquist

9

2.3 Construction de l"inverse d"un complexe.

9

2.4 Formules de Dirichlet et de Féjer

9

2.5 Différence symétrique de deux ensembles

10

3 Théorème de la double injection

11

3.1 Premiers résultats

11

3.2 Théorème de la double injection (Bernstein)

11

3.2.1 Cas particuliers

11

3.2.2 Exemple

12

3.2.3 Cas général

12

4 ds2 : Borne supérieure et suites réelles

13

4.1 Diamètre d"un ensemble

13

4.2 Récurrence homographique

13

4.3 Une autre suite récurrente

13

4.4 Une suite récurrente double

14

5 Suite récurrente quadratique

15

5.1 Résolution dansR.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

5.2 Vitesse de convergence pouru02]1;0[. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15

5.3 Résolution pourz02Clorsquejz0j 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15

5.4 Résolution dans le pavé1 <(z)0;p3

2 =(z)p3 2 15

6 Polynômes de Legendre

17

7 ds3 : Dualité fonctionelle - Absolue monotonie

19

7.1 Exercice

19

7.2 Dualité fonctionnelle

19

7.2.1 Préliminaires

19

7.2.2 Dualité

19

7.3 Fonctions absolument monotones

20

8 Polynômes de Laguerre

21
3

4TABLE DES MATIÈRES

9 ds4 : Polynômes de Hermite

23

9.1 Exercice convexité

23

9.2 Polynômes de Hermite

23

9.2.1 Relations de récurrence

23

9.2.2 Somme des carrés des racines d"un polynôme

23

10 Misc. : morphisme; analyse; Douai 86

2 5

10.1 Morphisme de groupes

25

10.2 Analyse

25

10.3 Mines de Douai 86

26

11 ds5 : Groupes; polynômes de Bernoulli

27

11.1 Groupes

27

11.2 DL et limites

27

11.3 Polynômes de Bernoulli

27

12 Polynômes de Lagrange; Bernoulli (2)

29

12.1 Polynômes de Lagrange

29

12.2 Polynômes de Bernoulli (suite)

29

13 ds6 : Commutant d"un projecteur

31

13.1 Problème

31

13.1.1 Un exemple

31

13.1.2 Une relation d"ordre

31

13.1.3 Projecteurs tels quefggf2V ect(f; g).. . . . . . . . . . . . . . . . . 31

13.2 Exercice

32

13.2.1 Diagonalisation d"un endomorphisme

32

13.2.2 Commutant d"une matrice

32

14 Suites de matrices; matrices hamiltoniennes

33

14.1 Suites et séries dansMn(R). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33

14.2 Problème 2

34

15 ds7 : Matrices et récurrences

35

15.1 Exercice

35

15.2 Exercice

35

15.3 Problème

36

15.3.1 Première partie

36

15.3.2 Deuxième partie

36

16 Transformation de Laplace

Polynômes de Laguerre

37

16.1 Transformation de Laplace et polynômes de Laguerre

37

16.1.1 Formule de Rodriguès pour les polynômes de Laguerre

37

16.1.2 Relation de Parseval-Bessel

37

16.1.3 Transformation de Laplace

38

17 ds8 : Formule de Simpson - Intégrales elliptiques

39

17.1 Exercice 22.2.2-11

39

17.2 Une famille de polynômes

39

17.3 Récurrence intégrale de Gauss

40

17.3.1 Moyenne de Gauss

40

17.3.2 Une intégrale

40

TABLE DES MATIÈRES5

18 Opérateurs quantiques dansC[X;Y]41

18.1 Opérateurs quantiques dansC[X; Y].. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

18.1.1 Définition des opérateursDetS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41

18.1.2 Nombre quantique principal

41

18.1.3 Exemples de vecteurs propres deS(n3). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

18.1.4 Nombre quantique orbital

41

18.1.5 Polynômes harmoniques

42

19 ds9 : Calcul d"intégrales par équations différentielles

19.1 Premier problème

19.2 Deuxième problème

20 dsA : Isométries; minimisations

20.1 Premier problème

20.2 Problème

20.2.1 Application'k. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20.2.2 Étude préliminaire

20.2.3 Interprétation demklorsquekn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20.2.4 Détermination demk. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21 coming soon

22 dsB : Sujet de révision

22.1 Exercice : suite récurrente

22.2 Problème 1

22.2.1 Partie 1

22.2.2 Partie 2

22.3 Problème 2

22.3.1 Partie I

22.3.2 Partie 2

6TABLE DES MATIÈRES

Devoir№1

Triangle de Napoléon - Homographies

15/09/2000

1.1 Triangle de Napoléon.

1. Soien tp1; p2; q1; q22Cavecp16=p2etq16=q2. Existence, unicité, détermination de la similitude:z7!z+telle queq1=(p1)etq2=(p2). 2.

En déduire que la quan tités=t2t1t

3t1caractérise les triangles qui sont (directement) sem-

blables à un triangle donné(t1; t2; t3). Interprétation géométrique? 3. En déduire que (a; b; c)équilatéral équivaut àa+bj+cj2a+bj2+cj= 0. 4. On donne un triangle T= (a; b; c)et on construit = (; ; )tel que les triangles(; b; c), (a; ; c)et(a; b; )soient semblables entre eux. Montrer queTetont même centre de gravité. 5. On supp oseTéquilatéral. Montrer que tous les trianglessont équilatéraux. 6. On supp oseTnon équilatéral. Montrer qu"un seul triangleest semblable àT, et un seul (autre) triangleest équilatéral.

1.2 Homographies

On poseC=C[ f!g, avec! =2C(aucune autre propriété n"est supposée sur l"objet!). 1. On supp ose2Cet2C. L"applications:C,!Cdéfinie pars(!) =!et sinon s(z) =z+est appelée similitude. Montrer qu"une similitude est une bijection et donner son application réciproque. 2. On supp osea; b; c; d2Cavecadbc6= 0etc6= 0. L"applicationh:C,!Cdéfinie parh(!) =ac ,hdc =!et sinonh(z) =az+bcz+dest appelée homographie non dégénérée. Montrer quehest une bijection et donner son application réciproque. 3. On app ellehomographi eune application qui est soit du t ype(1) soit du t ype(2). Mon trer la composée de deux homographies est encore une homographie. Donner la formule corres- pondant àh=h2h1avech1(z) =az+bcz+deth2(z) =z+ z+. 4. A quelle condition h(z) =az+bcz+dest-elle involutive, c"est-à-dire vérifiehh= (z7!z)? 5.

Mon trerqu"u nehomographie p ossèdesoit un soit deux p ointsfixes, c"est à dire que l"équation

h(z) =zpossède soit une, soit deux solutions. 6. On supp oseque h(z) =az+bcz+dpossède deux points fixesw1=h(w1)etw2=h(w2)(avec w

16=w2). On pose'(z) =zw2zw1. Que vaut'h'1? Quels sont ses points fixes?

7. On supp oseque h(z) =az+bcz+dne possède qu"un seul point fixew=h(w). On pose'(z) =

1zw. Que vaut'h'1? Quels sont ses points fixes?

7

8DEVOIR№1. TRIANGLE DE NAPOLÉON - HOMOGRAPHIES

8. On app ellecycle soit un cercle soit une dro itecomplétée par le p oint!. Montrer que quatre points distinctsz1; z2; z3; z4sont sur un même cycle si et seulement siz3z2z

3z1z4z2z

4z12R[f!g.

9. Soit hune homographie. On poseZ1=h(z1), etc. Montrer queZ3Z2Z

3Z1Z4Z2Z

4Z1=z3z2z

3z1 z 4z2z

4z1. En déduire que l"image d"un cycle par une homographie est encore un cycle.

10. Exemple : images successiv esdu cercle tr igonométriquepa rl"homographie z7!3z3z+3.

Devoir№2

ds1 : De tout un peu

23/09/2000

"Si un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d"énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa

composition en expliquant les raisons des initiatives qu"il est amené à prendre (concours Mines-Ponts)"

Le sujet comporte deux pages, les exercices sont indépendants

2.1 Une transformation ponctuelle

On considère l"applicationf:C,!C:z7!f(z) =jzj2+ (z)2 1.

Expliciter f(x+iy)pourx; y2R. Calculerfexpik3

pourk2[0::5]. 2.

Condition sur z1; z2pour quef(z1) =f(z2).

3. Quelle est l"image par fdu cercle trigonométrique? 4.

Quels son tles z2Ctels que(f(z)1)2= 1?

2.2 Cercle de Nyquist

Les nombresa; b; c; dsont des réels donnés,xest un réel variable. On considère le complexe

z=a+ibxc+idxetMson image dans le plan rapporté à un repère orthonormé. 1. Déterminer l"image Adezquandx= 0. On appelleBle point d"abscissebd (il correspond à l"image dezquandx! 1. 2.

Calculer =z12

ac +bd . Déterminer le module dejj. En déduire le lieu deMlorsquex parcourtR.

2.3 Construction de l"inverse d"un complexe.

Dans ce qui suit,zdésigne un complexe non réel (autrement ditz2CnR) et l"on cherche à déterminer son inverse par des moyens géométriques.. 1. Mon trerque les p ointsa yantp ouraffixes les nom bres1;1; z;1=zappartiennent à un même cercle. 2.

Indiquer commen tdéterminer ce cercle .En déduire une constructio ng éométriquede l"in verse

du nombrez.

2.4 Formules de Dirichlet et de Féjer

1.

Redonner les étap esdu calcul de Dn(t) =Pk=+n

k=ncos(kt). 2.

Que v autalo rsFn(t) =Pk=n

k=0Dk(t)? 9

10DEVOIR№2. DS1 : DE TOUT UN PEU

2.5 Différence symétrique de deux ensembles

SoitEun ensemble donné une fois pour toutes. PourA; B2 P(E)on poseAB= (A[B)n (A\B). 1. Donner la f onctioncaractéristique ABdeABà partir des fonctions caractéristiques

AetBdes ensemblesAetB.

2. Mon trerque (P(E);)est un groupe commutatif. On apportera un soin particulier à la démonstration de l"associativité. 3. Examiner une év entuelledistri butivitéde [ou de\sur. 4. En supp osantA; B; Cfinis, déterminerCard(ABC)à partir des cardinaux des en- semblesA; B; Cet de leurs intersections. 5. Caractériser simplemen tles élémen tsde A1A2::Anlorsqu"il y a un nombre quelconque d"ensembles, et non plus trois seulement.quotesdbs_dbs11.pdfusesText_17