CORRIGÉ DEVOIR SURVEILLÉ N° 5 PREMIÈRE S 1 EXERCICE 1 : 1 Résolution des équations trigonométriques dans l'intervalle ] – ; ] : a) cos(x – 3 ) = 1 2
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CORRIGÉ DEVOIR SURVEILLÉ N° 5 PREMIÈRE S 1
EXERCICE 1 : 1. Résolution des équations trigonométriques dans l'intervalle ] - ?; ? ] : a) cos(x -3) = 1
?2 = ?22 = cos(?
4) équivaut à x - ?
3 = ?4 [2?] ou x - ?
3 = ??
4 [2?],
soit x = 4 + ?3 [2?] ou x = ??
4 + ?3 [2?], soit x = 7?
12 = ?5?
12 ou x = ?
12; S = {?
12; ?5?
12}. b) sin(x +2) + cos(x) = 1 équivaut à cos(x) + cos(x) = 1 équivaut à cos(x) = 1
2 = cos(?
3) équivaut à
x =3 [2?] ou x = ??
3 [2?] ; S = {?
3; ?? 3}. c) sin(x) = cos( 3?4) équivaut à cos(?
2 - x) = cos(3?
4) équivaut à ?
2 - x = 3?
4 [2?] ou ?
2 - x = ?3?
4 [2?], équivaut à x = ?2 - 3?
4 [2?] ou x = ?
2 + 3?
4 [2?], soit x = - ?
4 [2?] ou x = 5?
4 = ?3?
4 [2?];
S = {-
4; ?3?
4}.2. Tous les points sur le cercle trigonométrique correspondant aux angles solutions
trouvées dans les trois équations :EXERCICE 2 :
Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O; ??, ??).On considère les points A(3; -
?3) et B(?3; 3).1. Les coordonnées polaires du point A : on calcule
OA = ?32????3?2 = ?9?3 = ?12 = 2?3.
Soit ? = (
?? ; ?OA). Alors cos(?) = 32?3 = ?3
2, et sin(?) = ??3
2?3 = ?1
2, d'où ? =6 [2?]. Les coordonnées polaires du point B : on calcule OB = ???3?
2?32 = ?12 = 2?3.
Soit ? = (
?? ; ?OB). Alors cos(?) = ?32?3 = 1
2, et sin(?) = 3
2?3 = ?3
2, d'où ? = ?
3.2. Les points A et B dans le repère ci-contre :
3. On sait que OA = OB = 2
?3; de plus AB = ??xB?xA?2??yB?yA?2 = ???3?3?2??3??3?
2 = ?3?6?3?9??9?6?3?3? = ?24 = 2?6. On remarque que AB² = OA² + OB²; donc le triangle OAB est rectangle isocèle en O.4. On considère le point E défini par
?OE = ?OA + ?OB. a) Le point E sur la figure. b) Les coordonnées cartésiennes du point E : E(xA + xB; yA + yB) , soit E(3 + ?3; - ?3 + 3). c) Comme ?OE = ?OA + ?OB, alors OAEB est un parallélogramme. De plus OA = OB, donc c'est un losange; de plus l'angle ?AOB = 90° , donc c'est un carré. d) La droite (OE) est une diagonale du carré, donc une bissectrice de l'angle ?AOB, donc l'angle ?AOE = 45°, et une mesure de l'angle (?OA; ?OE) = ?4. Ainsi, par le relation de
Chasles, une mesure de l'angle (
??; ?OE) = (??; ?OA) + (?OA; ?OE) = ?? 6 + ? 4 = ? 12. e) On sait que OE = AB (puisque OAEB est un carré), donc OE = 2 ?6 et (??; ?OE) = ?12. D'où E(2?6; ?
12).On en déduit les valeurs exactes de cos(
12): cos(?
12) = xE
OE = 3??3
2?6 = ?3??3??6
2?6 = 3?6?3?2
3?4 = ?6??24. Et de sin(?
12) = yE
OE = 3??3
2?6 = ?3??3??6
2?6 = 3?6?3?2
3?4 = ?6??2
4. EXERCICE 3 : On considère la fonction f définie par f(x) = 5x2?4x x2?1 et C la courbe représentative de f dans un repère orthonormé du plan.1. L'ensemble de définition de la fonction f est \{- 1 ; 1}, puisque le dénominateur doit être non nul,
soit x2 - 1 ? 0, soit (x - 1)(x + 1) ? 0.2. La fonction f est de la forme
u v de dérivée u'v?uv' v2; d'où f '(x) = ?10x?4??x2?1???5x2?4x?2x ?x2?1?2 =10x3?10x?4x2?4??10x3?8x2?
?x2?1?2 = 4x2?10x?4 ?x2?1?2, qui est du signe du numérateur, puisque le dénominateur estun carré. On calcule le discriminant ? = (- 10)2 - 4?4?4 = 36 = 62 > 0 ; il y a donc deux racines: x1 =
10?6