Posant Z⋆ = Z\{0}, on peut définir l'ensemble Q des nombres rationnels comme étant le quotient de Z×Z⋆ par la relation d'équivalence obtenue en posant (p,
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On appelle nombre rationnel toute classe d'équivalence de la relation d' équivalence définie ci-dessus sur Z × Z* L'ensembles des nombres entiers relatifs est
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Posant Z⋆ = Z\{0}, on peut définir l'ensemble Q des nombres rationnels comme étant le quotient de Z×Z⋆ par la relation d'équivalence obtenue en posant (p,
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ANNEXE A APPENDICE Définition - L'ensemble quotient (Z × Z∗)/S est noté Q et ses éléments sont appelés les nombres rationnels La classe d'équivalence
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Nombres décimaux, développement décimal d'un nombre rationnel Pré-requis : – Relations d'équivalence, ensembles quotient, PGCD, théorème de Gauss ; –
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Plus généralement pour tout rationnel r = p/q (avec disons p, q ∈ N∗) si l'on L' ensemble des nombres rationnels, c'est à dire des fractions p q , avec p, q ∈ Z
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Master 1 Metiers de l'Enseignement, Mathematiques - ULCO, La Mi-Voix, 2012/2013
ANALYSE 2- CORRECTION
Fiche de Mathematiques 1- Nombres reels.1 Introduction. Proprietes des rationnels PosantZ?=Znf0g, on peut denir l'ensembleQdes nombres rationnels comme etant le quotient deZZ?parla relation d'equivalence obtenue en posant (p;q)(p0;q0) si (et seulement si)pq0=qp0. On a alors les proprietes
suivantes :Propriete 1.1
1.Qest un corps commutatif pour les operations usuelles d'addition et de multiplication.
2.Qest totalement ordonne par la relation d'ordre usuelle, et cette relation d'ordre satisfait a
(a) quels que soient a;b;c2Q, l'inegaliteabimpliquea+cb+c, (b) quels que soient a;b;c2Q, les inegalitesc0etabimpliquentacbc. 3. Quel que soit x2Q, il existe un entiern2Ntel quen > x.Les proprietes 1. et 2. se traduisent en disant queQest un corps commutatif totalement ordonne tandis que 3. se
traduit en disant queQest archimedien.On notera qu'a l'encontre deZ,Qpossede une propriete de densite qui se traduit mathematiquement par :entre
deux nombres rationnels, il en existe toujours un troisieme . En eet, quels que soienta;b2Q, le nombre c= (a+b)=2 satisfait aa < c < b.Pour la preuve de tous ces resultats, on se referera au document intituleNombres rationnelsdisponible a la
n du polycopie2 Suites convergentes, suites de Cauchy (dansQ)
Pour completerQ, on denit les reels comme limites de suites de nombres rationnels (methode de Cantor).
Denition 2.1Une suite(xn)nde rationnels est denie par la donnee d'une applicationx:n7!(xn)ndeNdans Q. Denition 2.2DansQune suite(xn)nest dite bornee s'il existeM2Qtel que l'on aitjxnj Mquel que soit n2N.Remarque 2.1Pour que la suite (xn)nsoit bornee, il sut qu'elle soit bornee a partir d'un certain rang, i.e. qu'il
existen02NetM2Qtels que l'on aitjxnj Mpournn0. En eet, la suite (xn)nest alors bornee par le nombreM0= sup(jx0j;jx1j;:::;jxn0j;M). Denition 2.3On dit que la suite(xn)ntend (ou converge) dansQversa(a2Q) si, quel que soit" >0("2Q), il existe un entiern"tel que l'inegaliten > n"entra^nejxnaj< ".De par l'unicite de la limite, on peut poser sans ambigutea= limn!+1xnet dire queaest la limite de la suite
(xn)n. Une suite admettant une limite est dite convergente.Denition 2.4On dit que la suite(xn)nest de Cauchy dansQsi, quel que soit" >0("2Q), il existe un entier
n "tel que les inegalitesn > n"etp > n"entra^nentjxnxpj< ".Denition 2.5On dit que la suite(xn)nest de Cauchy dansQsi, quel que soit" >0("2Q), il existe un entier
n "tel que8n > n",8p0,jxn+pxnj< ".Propriete 2.1
1.T outesuite c onvergenteest de Cauchy.
2.T outesuite de C auchyest b ornee.
3. Si la suite (xn)ntend vers zero et si la suite(yn)nest bornee, la suite(xnyn)ntend vers zero. 1/144.Si les suites (xn)net(yn)nsont de Cauchy, les suites(xn+yn)n,(xnyn)net(xnyn)nsont de Cauchy.
5.Si la suite (xn)ntend versaet si la suite(yn)ntend versb, alors la suite(xn+yn)ntend versa+b, la suite
(xnyn)ntend versabet la suite(xnyn)ntend versab. 6.Soit (xn)nune suite de Cauchy ne convergeant pas vers zero. Alors il existe un entiern0tel que, pour tout
n > n0, on aitxn6= 0et la suite(1=xn)n, denie pourn > n0, est de Cauchy.
Exercice 1Demontrer les six proprietes precedentes.Correction:
1.Si la suite ( xn)ntend versaet si" >0 est donne, il existe un entiern"tel que l'inegaliten > n"entra^ne
jxnaj< "=2. Les deux egalitesn > n"etp > n"entra^nent alorsjxnaj< "=2 etjxpaj< "=2 d'ou jxnxpj< ". 2.Si ( xn)nest de Cauchy, il existe un entiern1tel que l'inegaliten > n1entra^nejxnxn1j<1. La suite (xn)n
est donc bornee a partir du rangn1, ce qui permet d'armer qu'elle est bornee (cf. remarque 2.1). 3. Soit M2Qtel que l'on aitjynj Mpour toutn2N. Le nombre" >0 etant donne, il existe un entiern" tel que l'inegaliten > n"entra^nejxnj< "=Md'oujxnynj< ". 4. On a tout d'ab ordjxn+ynxpypj jxnxpj+jynypjet si" >0 est donne, on peut choisir l'entiern" assez grand pour que les inegalitesn > n"etp > n"entra^nent a la foisjxnxpj< "=2 etjynypj< "=2 d'oujxn+ynxpypj< ". Cela prouve que la suite est de Cauchy.On a ensuite (in egalitetriangulaire)
jxnynxpypj j(xnxp)ynj+jxp(ynyp)j(1)et le point 2. de la propriete 2.1 entra^ne l'existence d'un nombreMveriant les deux inegalitesjxnj M
etjynj Mquel que soitn2N. Le nombre"etant donne, il existe un entiern"tel que les inegalites n > n "etp > n"entra^nent a la foisjxnxpj< "=2Metjynypj< "=2Md'ou (par application de (1)) l'inegalitejxnynxpypj< ". Conclusion, la suite (xnyn)nest de Cauchy. 5. Quel que soit " >0, il existe un entiern"tel que, pour toutn > n", on ait a la foisjxnaj< "=2 et jynbj< "=2 d'oujxn+ynabj< ", cela montre que la suite (xn+yn)ntend versa+b. On d emontreraitde m ^emeque la suite ( xnyn)ntend versab. On a d'autre part : xnynab= (xna)yn+a(ynb). Les suites (xna)net (ynb)nconvergent vers zeroet la suite (yn) est bornee d'apres le point 2. de la propriete 2.1. Il resulte donc du point 3. de la propriete
2.1 que chacune des suites (un)net (vn)ndenies parun= (xna)ynetvn=a(ynb) tend vers zero. La
premiere partie de la demonstration montre que la suite (xnynab)n= (un+vn)ntend vers zero. 6. Le fait que la suite ( xn)nne tend pas vers zero se traduit par92Q( >0) (82N) (9n2N) (n > etjxnj ) (2)
soit en langage courant : il existe un nombre rationnel >0 et des valeurs denaussi grandes que l'on veut
telles quejxnj . La suite (xn)netant de Cauchy, il existe un entiern0tel que les inegalitesn > n0et p > n0entra^nentjxnxpj< =2. En prenant=n0dans (2), on voit qu'il existe un entiernsatisfaisant
a la fois an > n0etjxnj . Avec cette valeur den, et pour tout entierp > n0, on ajxnxpj< =2 et jxnj doncjxpj> =2. En eet, d'apres l'inegalite triangulaire,jjxnj jxpjj jxnxpj , jxnxpj jxpj jxnj jxnxpjdoncjxpj jxnj jxnxpj> 2 =2 . D'ouxp6= 0 pourp > n0. De plus, quels que soientp;q > n0, on ajxpj> =2,jxqj> =2. D'ou1x q1x p <42jxpxqjet puisque la suite (xp)pest
de Cauchy, on en deduit que la suite (1=xp)pdenie pour toutp > n0est aussi de Cauchy. Exercice 2Montrer que si (rn)n2Nest une suite de nombres rationnels telle quejrn+1rnj npour tout n2N, ouest un rationnel strictement compris entre 0 et 1, alors cette suite est de Cauchy.Correction:
Il sut d'ecrire pourm > n:
jrmrnj= m1X k=n(rk+1rk) m1X k=njrk+1rkj m1X k=n kCauchy, mais non convergente dansQ.
Correction:
On verie par recurrence que cette suite est bien denie et a valeurs dansQ. On verie egalement par recurrence
quern>1 pour toutn2N. Il en resulte quernrn+1=rn+ 1>2 pour toutn2Net : jrn+1rnj=1r n1r n1 =jrnrn1jjrnrn1j<12 jrnrn1j pourn1 et par recurrencejrn+1rnj<12 njr1r0j=12 n+1, ce qui implique que (rn)n2Nest de Cauchy.Si (rn)nconverge alors sa limite`verie`= 1 +1`
,`=1 +p5 2 (` >0) qui est irrationnel donc la suite (rn)n ne converge pas dansQ. Exercice 4Montrer que la suite (rn)n2Nde nombres rationnels denie parrn=nX k=01k!est de Cauchy, mais non convergente dansQ.Correction:
On verie facilement que cette suite est bien denie et a valeurs dansQ. Pourm > n2 on a : jrmrnj=mX k=n+11k!=1(n+ 1)!1 +1n+ 2+:::+1(n+ 2):::(m1)m
1(n+ 1)!
1 +1n+ 2+1(n+ 2)2+:::+1(n+ 2)mn1
1(n+ 1)!111n+2=n+ 2(n+ 1)2n!1n!
ce qui implique que (rn)n2Nest de Cauchy. Supposons qu'elle soit convergente vers un rationnelr=pq oup;qsont deux entiers strictement positifs premiers entre eux. Pour toutn > qle nombre p n=n!(rrn) =n! limm!+1(rmrn) est un entier strictement positif avec0< n!(rmrn)n+ 2(n+ 1)212
pourm > n2, ce qui implique 0< pn<1 dansNqui est impossible. La suite (rn)n2Nest non convergente dansQ. Exercice 5Montrer que la suite de terme generalun=nX k=0(1)nn!est de Cauchy mais non convergente dansQ.Correction:
On a jun+munj= n+mX k=n+1(1)kk!1(n+ 1)!+1(n+ 2)!+:::+1(n+m)!8n1;8p0
1(n+ 1)!
1 +1n+ 1+:::+1(n+ 1)(n+ 2):::(n+m)
1(n+ 1)!
1 +12 +122+:::+12
m2(n+ 1)!!n!+10
Nous venons de demontrer que la dierenceun+munest majoree en valeur absolue (usuelle) par une suite ne
dependant que denet qui tend vers 0 donc la suite (un)nest bien de Cauchy.Supposons qu'elle converge vers un rationnelab
avec (a;b) = 1. Il est judicieux de remarquer que u2n+2u2n=1(2n+ 2)!1(2n+ 1)!<0
c'est-a-dire que la suite (u2n)n0est strictement decroissante donc8n0,ab u2n, que 3/14 u2n+3u2n+1=1(2n+ 3)!+1(2n+ 2)!>0
c'est-a-dire que la suite (u2n+1)nest strictement croissante, et puisqueu1= 11 = 0, on en deduit l'inegalite
8n0, 0u2n+1ab
. Des inegalites precedentes, on deduit l'encadrement suivant :8n0, 0u2n+1ab u2n, qui demontre en particulier que ab est positif donc on peut supposer dans la suitea0 etb >0. On multiplie l'inegalite precedente par (2n)! et parb, ce qui nous donne8n0,b2n+1X
k=0(1)k(2n)!k!a(2n)!b2nX k=0(1)k(2n)!k!, b2n+ 1a(2n)!b2nX k=0(1)k(2n)!k!0.En particulier pour 2n+1> b,n >b12
, on en deduit l'inegalite8n >b12 ,1< a(2n)!b2nX k=0(1)k(2n)!k!0.Le nombrea(2n)!b2n+1X
k=0(1)k(2n)!k!est toujours un nombre entier (car(2n)!k!= (2n)(2n1):::(k+ 1)).Or le seul entier strictement plus grand que1 et plus petit que 0 est l'entier 0, d'ou l'egalite8n >b12
a(2n)!b2nX k=0(1)k(2n)!k!= 0,u2n=ab . Ainsi la suite (u2n)nest stationnaire ce qui est absurde car elle eststrictement croissante. Conclusion, la suite (un)nest de Cauchy mais elle ne converge pas dansQdonc (Q;j:j) n'est
pas un espace metrique complet.Le corpsQn'est donc pas complet pour la valeur absolue usuelle, ce qui est g^enant du point de vue de l'ana-
lyse. En eet, pour construire de nouveaux objets mathematiques (nombres, fonctions,...) il est utile d'utiliser la
notion de limite de suite. Or la denition usuelle d'une limite presuppose que l'on connaisse la limite eventuelle ce
qui s'avere dans la plupart des cas impossible. L'idee geniale de Louis-Augustin Cauchy fut d'introduire la notion
de suite de Cauchy an de s'aranchir de l'utilisation d'une limite explicite. En utilisant l'intuition que l'onavait a l'epoque des reels (corps ordonne, theoreme des segments embo^tes), il demontra que le corps des reels est
complet c'est-a-dire qu'une suite reelle converge si et seulement si elle est de Cauchy. Nous savons depuis longtemps
(au moins intuitivement avec l'utilisation des decimaux et des calculatrices dans nos activites numeriques depuis
l'enfance) que les rationnels forment une partie dense deRc'est-a-dire tout reel est la limite (au sens de la valeur
absolue archimedienne) d'une suite de rationnels, que la distance sur les rationnels est induite par la distance sur
les reels. Il est des lors evident que deux suites convergentes (ou de Cauchy, ce qui semble ^etre la m^eme chose
pour les reels), vont representerle m^eme reel si et seulement si elles possedent la m^eme limite, c'est-a-direque leur dierence tend vers 0. De cette analyse, Cantor en deduit une methode rigoureuse de la construction
des nombres reels en ne presupposant que l'existence des rationnels. Ces derniers se deduisent rigoureusement des
entiers naturels, pour lequel nous devons poser le postulat de leur existence ainsi que de l'existence d'une addition
et du principe de recurrence.3 Construction deR; structure algebrique. Notations
Proposition 3.1On obtient une structure d'anneau commutatif sur l'ensembleCdes suites de Cauchy deQen
denissant la sommex+yde deux suites de Cauchyx= (xn)nety= (yn)ncomme etant la suite(xn+yn)n, etleur produit comme etant la suite(xnyn)n. Cet anneau admet pour unite la suite constanteu= (1)ndenie par
un= 1quel que soitnet elle admet pour zero la suite constante(0)ndont tous les termes sont nuls. Enn, les
suites d'elements deQconvergeant vers zero constituent un idealC0deC. La theorie generale des ideaux permet alors d'armer immediatement : Proposition 3.2On obtient une relation d'equivalence surCen posantxysixy2 C0, c'est-a-dire si lasuite(xnyn)ntend vers zero. De plus, le quotient deCpar cette relation d'equivalence est un anneau commutatif
unifere pour les lois quotients denies par :x+y=x+y,xy=xy ouxdesigne la classe de l'elementx.Denition 3.1L'anneau quotientC=C0est appele droite numerique et designe parR. Ses elements sont appeles
nombres reels.Proposition 3.3Rest un corps commutatif.
4/14Proposition 3.4On obtient un isomorphisme deQsur un sous-corps deRen associant a chaque nombre rationnel
qla classeC(q)constituee par les suites de Cauchy convergeant versq.On trouvera des details concernant la construction deRa la n de ce polycopie dans le document intitule
Nombres reels.
4 Relation d'ordre surR
Pour pouvoir ordonnerRon denit les ensemblesC+etCconstitues par les suites de Cauchy destinees a representer respectivement les nombres reels positifs et les nombres reels negatifs. Denition 4.1Soitx2 Cune suite de Cauchy. On dira quexappartient a l'ensembleC+(resp.C) si, a chaque " >0("2Q), on peut associer un entiern"tel que l'inegaliten > n"entra^nexn>"(resp.xn< ").Propriete 4.1On a
1.C+\ C=C0etC+[ C=C.
2. Si la suite (xn)nn'appartient pas aC, il existe un rationnel >0et un entiern0tels que l'on aitxn> pour toutn > n0. 3. (a) x2 Cequivaut a(x)2 C+. (b)L esr elationsx2 C+ety2 C+entra^nentx+y2 C+.
(c)L esr elationsx2 C+ety2 C+entra^nentxy2 C+.
4.Soient x;x0deux suites de Cauchy equivalentes (i.e. telles quex0x2 C0) alors elles appartiennent toutes
deux aC+ou toutes deux aC. Cette derniere propriete permet de poser sans ambigute la denition suivante :Denition 4.2Un nombre reel est dit positif (resp. negatif) s'il est represente par une suite de Cauchy appartenant
aC+(resp.C).L'ensemble des reels positifs (quotient deC+parC0) est desormais designe parR+, l'ensemble des reels negatifs
(quotient deCparC0) est designe parR. Des proprietes precedentes on deduit que :Propriete 4.2
1. On obtient une r elationd'or dretotal sur Ren posantbasi (et seulement si)ba2R+. 2. Quels que soient les nombr esr eelsa;b;c, la relationbaentra^neb+ca+cet les relationsbaet c0entra^nentbcac(qui traduit le fait queRest un corps ordonne).On trouvera des details concernant la relation d'ordre surRa la n de ce polycopie dans le document intitule
Nombres reels.
5 Approximation des reels par les rationnels. Axiome d'Archimede
L'identication deQa un sous-corps deRpose le probleme de situer les nombres rationnels par rapport al'ensemble des nombres reels, et de preciser les relations d'ordre entre nombres rationnels et nombres reels.A la
base de cette etude se trouve le theoreme suivant : Theoreme 5.1(Axiome d'Archimede) Quel que soit le nombre reela, il existe un entierptel quep > a. Corollaire 5.1Quels que soient les nombres reelsa;btels quea >0, il existe un entierptel quepa > b.Proposition 5.1Quel que soit le nombre reel" >0, il existe un nombre rationnel"1satisfaisant a0< "1< ".
Proposition 5.2Quels que soient les nombres reels";xtels que" >0, il existe un entierpunique satisfaisant a
l'inegalite : p"x <(p+ 1)".Proposition 5.3Quels que soient les nombres reels distinctsx;y, il existe un nombre rationnelzcompris entre
eux. Proposition 5.4Entre deux nombres rationnels quelconques, il y a toujours un irrationnel. 5/14 Les ensemblesQetRnQsont donc tous deux denses dansR. Exercice 61.D emontrerque si r2Qetx =2Qalorsr+x =2Qet sir6= 0,rx =2Q. 2.Mon trerque p2=2Q.
3.En d eduire:
Entre 2 nombres rationnels, il y a toujours un nombre irrationnel. (On pourra utiliser la propriete : pour tout reela >0, il existe un entierntel quen > a.)Correction:
1.Soit r=pq
2Qetx =2Q. Par l'absurde, supposons quer+x2Q, alors il existe deux entiersp0;q0tels que
r+x=p0q0. Doncx=p0q
0pq =qp0pq0qq02Qce qui est absurde carx =2Q.
De la m^eme facon, sirx2Qalorsrx=p0q
0etx=p0qq
0pce qui est absurde carx =2Q.
2.Supp osonsque
p22Qalors il existe deux entiersp;qtels quep2 = pq . De plus nous pouvons supposer que lafraction est irreductible (petqsont premiers entre eux). En elevant l'egalite au carre on obtientq22 =p2.
Doncp2est un nombre pair, cela implique quepest pair (en eet, on sait quepimpair)p2impair et il sut d'ecrire ensuite la contraposee). Doncp= 2p0avecp02Nd'oup2= 4p02. Nous obtenonsq2= 2p02etnous en deduisons queq2est pair ce qui implique queqest pair. Nous obtenons ainsi une contradiction car
petqetant tous les deux pairs, la fractionpq n'est pas irreductible. Doncp2=2Q. 3. Soien tr;r0deux rationnels avecr < r0. Notonsa=p2(r0r). Choisissonsn2Ntel quen >p2. Posons x=r+an . D'une partx2]r;r0[, et d'apres les deux premieres questionsp2 r0rn =2Q. Et donc,xest un nombre irrationnel compris entreretr0.