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?BaccalauréatSMTG Pondichéry 8 avril 2014? Sciences et technologiesdu management etde la gestion correction

EXERCICE15 points

Lesdeux partiesde cetexercicepeuventêtretraitéesde manièreindépendante. Danscet exercice,tous les prixserontexprimésen euros. On s"intéresse à l"évolution du prix des appartements neufsen France métropolitaine.

Partie A

Le tableau ci-dessous indique le prix des appartements neufs en France métropolitaine, en euros par m2, entre 2004 et

2012.

Rang de l"année :xi012345678

Prix de l"appartement

?en euros par m2?:yi256328523071327633443368357137733861

Sources Insee SoeS

Le nuage de points de coordonnées

?xi;yi?est représenté enannexeà rendreavecla copie.

1.À l"aide de la calculatrice, une équation de la droite d"ajustement affine deyenxobtenue par la méthode des

moindres carrés esty=150,783x+2694,533.les coefficients étant arrondis au millième près.

2.On décide d"ajuster ce nuage de points par la droiteDd"équationy=151x+2695.

a.La droiteDest tracée sur le graphique de l"annexe à rendre avec copie.

b.Calculons le prix du m2d"un appartement neuf prévu par ce modèle d"ajustement en 2014. En 2014, le rang de

l"année est 10, nous remplaçons doncxpar 10 dans l"équation de la droite.y=151×10+2695=4205.

Le prix du m

2d"un appartement neuf prévu par ce modèle d"ajustement en 2014 est de 4205?.

c.Selon ce modèle,pour déterminer en quelle année pour la première fois le prix du m2d"un appartement neuf

sera supérieur à 5000?, résolvonsy?5000.

151x+2695?5000??151x?5000-2695??x?2305

151or2305151≈15,26.

L"année où le prix du m

2d"un appartement neuf sera supérieur à 5000?pour la première fois est celle de rang

16 c"est-à-dire en 2020.

Partie B

Dans cette partie, on modélise ainsi l"évolution du prix du m

2d"un appartement neuf en France métropolitaine : on part

d"un prix de 4200 euros en 2014 et on applique une augmentation annuelle de 5,2% à partir de cette date.

On définit la suite

(un)oùunreprésente la valeur estimée, selon ce modèle, du prix du m2d"un appartement neuf l"année

(2014+n). Ainsiu0=4200 correspond au prix du m2d"un appartement neuf en 2014. On crée la feuille de calcul suivante

dans laquelle les cellules de la plage B2:B8 sont au format nombre à deux décimales : AB 1nun

204200,00

314418,40

424648,16

53
64
75
86
Sciences et technologies du management et de la gestionA. P. M. E. P.

1.La suite(un)est une suite géométrique de raison 1,052. En effet, à une augmentation de 5,2% est associée un

coefficient multiplicateur de 1,052.Nous passons d"un terme au suivant en multipliant par ce même nombre.

2.Selon ce modèle, déterminons le prix du m2qu"aurait un appartement neuf en 2020.

En 2020 nous avonsn=6.u6=4200×1,0526≈5693,03.

Au centime près, le prix du m

2d"un appartement neuf en 2020 s"élèvera à 5693,03?.

3.Selon ce modèle, pour déterminer en quelle année pour la première fois le prix du m2d"un appartement neuf

dépassera 6000?, résolvonsun?6000. À l"aide de la calculatrice nous obtenonsu7≈5989,07 etu8≈6300,50. Par

conséquentn=8, ce qui correspond à 2014 +8 soit 2022.

En 2022, pour la première fois le prix du m

2d"un appartement neuf dépassera 6000?.

EXERCICE24 points

Dans cetexercice,tous les prixsont exprimésen euros Cet exerciceest un questionnaireà choix multiple (QCM)

Pour chacune des quatre questions, une seule des trois réponses proposées est correcte. Pour chaque question, indiquerle numéro de la question et

recopier sur la copie la réponse choisie. Aucune justificationn"est demandée. Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une

question sans réponse n"apporte ni ne retire aucun point.

Le tableau suivantest extrait d"une feuille de calcul obtenue à l"aide d"untableur. Dans la colonne B figurent les prix annuels moyens en métropole d"un

kg de pain de 2003 à 2013. ABC

1AnnéePrix annuel moyen d"un

kg de pain en métropoleTaux d"évolution depuisjanvier 2003

2janvier 20032,78

3janvier 20042,925,04%

4janvier 20052,976,83%

5janvier 20063,03

6janvier 20073,13

7janvier 20083,28

8janvier 20093,35

9janvier 20103,34

10janvier 20113,39

11janvier 20123,43

12janvier 20133,47

Source : INSEE

La plage B2:B12 est au format nombre à deux décimales. La plage C3:C12 est au format pourcentage à deux décimales.

Dans la colonne C, partiellement remplie, on veut afficher letaux d"évolution du prix d"un kg de pain entre janvier 2003 et

janvier de chacune des années suivantes. Par exemple :

Dans la cellule C3 est affiché le taux d"évolution du prix d"unkg de pain entre janvier 2003 et janvier 2004.

Dans la cellule C12 sera affiché le taux d"évolution du prix d"un kg de pain entre janvier 2003 et janvier 2013.

1.La valeur affichée dans la cellule C6 sera :

0,35%8,99%????12,59%

2.Quelle formule, à recopier sur la plage C3:C12, peut-on entrer dans la cellule C3?

Pondichéry correction28 avril 2014

Sciences et technologies du management et de la gestionA. P. M. E. P.

3.Le prix d"un kg de pain en janvier 2003 est pris comme indice enbase 100. L"indice de janvier 2005, arrondi au

centième, est : ???106,8393,17101,71

4.Dejanvier 2003 àjanvier 2013, le taux d"évolution annuel moyen duprix d"un kg depain, arrondiau centième près,

est :

2,48%????2,24%24,82%

EXERCICE36 points

Dans cetexercice,les partiesA etB sontindépendantes

Partie A

Un sondage a été effectué auprès de vacanciers sur leurs pratiques sportives pendant leurs congés.

Ce sondage révèle que 45% des vacanciers fréquentent une salle de sport pendant leurs congés et parmi ceux-ci, 60%

pratiquent la natation. Parmi les vacanciers qui ne fréquentent pas une salle de sport, 70% pratiquent la natation. On choisit un vacancier au hasard. On considère les événements suivants : S: "le vacancier choisi fréquente une salle de sport»

N: "le vacancier choisi pratique la natation».

1.Construisons l"arbre de probabilité décrivant la situation.

S 0,45N 0,6 N0,4 S

0,55N0,7

N0,3

2. a.L"événementS∩Nest l"événement : "le vacancier choisi fréquente la salle desport et pratique la natation».

b.Calculons la probabilité de l"événementS∩N.p(S∩N)=p(S)×pS(N)=0,45×0,6=0,27.

3.Montrons quep(N)=0,655.

p(N)=p(S)×pS(N)+p(S)×p

S(N)=0,27+0,55×0,7=0,27+0,385=0,655.

4.CalculonspN(S), la probabilité de l"événementSsachant que l"événementNest réalisé.

N(S)=p(S∩N)

p(N)=0,270,655≈0,4122 à 10-4près.

quidonnelenombredecesvacancierspratiquant lanatationpendantleurs congés.Lenombredevacanciersétant

suffisamment grand, on considère queXsuit une loi binomiale. a.X suit une loi binomiale de paramètres (4; 0,655).

b.Calculons la probabilité que deux vacanciers exactement pratiquent la natation pendant leurs congés.

p(X=2)=? 4 2? (0,655)

2×(1-0,655)4-2=0,3064 à 10-4près .

Pondichéry correction38 avril 2014

Sciences et technologies du management et de la gestionA. P. M. E. P.

Partie B

En France, en 2011, 22% des sportifs licenciés avaient une licence de football. Déterminons un intervalle de fluctuation

à au moins 95% de la fréquence des licenciés de football dans un échantillon de 400 sportifs licenciés choisis au hasard

parmi les sportifs licenciés en 2011.

Un intervalle de fluctuation à au moins 95% de la fréquencepdans un échantillon de tailleNest?

p-? 1 N;p+? 1 N?

Nous avonsp=0,22 etN=400. L"intervalle est donc?

0,22-?

400; 0,22+?

1 400?
c"est-à-dire [0,17 ; 0,27].

EXERCICE45 points

Quatre fonctionsf1,f2,f3etf4définies et dérivables sur l"intervalle [-3 ; 2], sont représentées respectivement par les

courbesC1,C2,C3etC4ci-dessous.

On admet quef1?-5

3?≈9,5,f2?-53?=0,f3?-53?=0 etf4?-53?≈-9,5.

2468

1-1-2-3

C1 O -2 -4 -6 -8 -101-1-2-3 C4 O

246810121416

-2 -4 -61 2-1-2-3 C2 O 246
-2 -4 -6 -8 -10 -12 -14 -161 2-1-2-3 C3 O

Pondichéry correction48 avril 2014

Sciences et technologies du management et de la gestionA. P. M. E. P.

1.Par lecture graphique, sans justifier :

a.Dressons le tableau de variation de la fonctionf1. x-3-531 2 f

1≈9,55

0 0 b.Donnons le tableau de signes de la fonctionf2. x-3-531 2 f

2(x)+-+0 0

c.Le signe def?3(-1) est positif. d.f4(2)=-5.

2.Dans cette question, on considère la fonctiongdéfinie sur [-3 ; 2] par

g(x)=(x-1)2(x+3). a.Vérifions queg(x)=x3+x2-5x+3. x

3+x2-5x+3 est par conséquent, une autre écriture deg(x).

b.g?étant la dérivée de la fonctiong, déterminonsg?(x).g?(x)=3x2+2x-5. c.Résolvons l"équation 3x2+2x-5=0. Pour ce faire, calculonsΔ. Δ=22-4×3×(-5)=4+60=64.Δ>0, il existe donc deux solutionsx1=-b-?

2a;x2=-b+?

2a. x

1=-2-8

6=-53x2=-2+86=1. L"ensemble des solutions de l"équation est?

-53; 1?

Étudions le signe deg?sur l"intervalle [-3 ; 2]. En utilisant les résultats précédents,g?x)=(3x+5)(x-1).

x-3-5/3 1 2

3x+5-0+ +

x-1- -0+ g?(x)+0-0+

Déterminons le sens de variation deg.

Si pour toutx?I f?(x)<0 alors la fonctionfest strictement décroissante surI. Sur? -5 3;1? ,g?x)<0 par conséquentgest strictement décroissante sur cet intervalle. Si pour toutx?I,f?(x)>0 alorsfest strictement croissante surI. Sur? -3 ;-5 3? ou sur ]1 ; 2]g?(x)>0 par conséquentgest strictement croissante sur chacun de ces intervalles. Dressons alors le tableau de variation de la fonctiong. x-3-531 2 g ?(x)+-+0 0 g ≈9,55 0 0

d.La fonctiongest la fonctionf1représentée ci-dessus, car elles ont même sens de variation, leurs dérivées s"an-

nulent deux fois ce qui exclutf2etf3. gest d"abord croissante, ce qui exclutf4.

Pondichéry correction58 avril 2014

Sciences et technologies du management et de la gestionA. P. M. E. P.

Annexe à rendreavecla copie

EXERCICE 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

Rang de l"annéePrix de l"appartement

Pondichéry correction68 avril 2014

quotesdbs_dbs4.pdfusesText_8

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EXERCICE15 points

Partie A

Rang de l"année :xi012345678

Prix de l"appartement

Sources Insee SoeS

Le nuage de points de coordonnées

1.À l"aide de la calculatrice, une équation de la droite d"ajustement affine deyenxobtenue par la méthode des

2.On décide d"ajuster ce nuage de points par la droiteDd"équationy=151x+2695.

Le prix du m

2d"un appartement neuf prévu par ce modèle d"ajustement en 2014 est de 4205?.

151x+2695?5000??151x?5000-2695??x?2305

151or2305151≈15,26.

L"année où le prix du m

2d"un appartement neuf sera supérieur à 5000?pour la première fois est celle de rang

16 c"est-à-dire en 2020.

Partie B

2d"un appartement neuf en France métropolitaine : on part

On définit la suite

204200,00

314418,40

424648,16

1.La suite(un)est une suite géométrique de raison 1,052. En effet, à une augmentation de 5,2% est associée un

2.Selon ce modèle, déterminons le prix du m2qu"aurait un appartement neuf en 2020.

Au centime près, le prix du m

2d"un appartement neuf en 2020 s"élèvera à 5693,03?.

3.Selon ce modèle, pour déterminer en quelle année pour la première fois le prix du m2d"un appartement neuf

En 2022, pour la première fois le prix du m

2d"un appartement neuf dépassera 6000?.

EXERCICE24 points

1AnnéePrix annuel moyen d"un

2janvier 20032,78

3janvier 20042,925,04%

4janvier 20052,976,83%

5janvier 20063,03

6janvier 20073,13

7janvier 20083,28

8janvier 20093,35

9janvier 20103,34

10janvier 20113,39

11janvier 20123,43

12janvier 20133,47

Source : INSEE

1.La valeur affichée dans la cellule C6 sera :

0,35%8,99%????12,59%

2.Quelle formule, à recopier sur la plage C3:C12, peut-on entrer dans la cellule C3?

Pondichéry correction28 avril 2014

3.Le prix d"un kg de pain en janvier 2003 est pris comme indice enbase 100. L"indice de janvier 2005, arrondi au

4.Dejanvier 2003 àjanvier 2013, le taux d"évolution annuel moyen duprix d"un kg depain, arrondiau centième près,

2,48%????2,24%24,82%

EXERCICE36 points

Partie A

N: "le vacancier choisi pratique la natation».

1.Construisons l"arbre de probabilité décrivant la situation.

0,55N0,7

2. a.L"événementS∩Nest l"événement : "le vacancier choisi fréquente la salle desport et pratique la natation».

3.Montrons quep(N)=0,655.

S(N)=0,27+0,55×0,7=0,27+0,385=0,655.

4.CalculonspN(S), la probabilité de l"événementSsachant que l"événementNest réalisé.

N(S)=p(S∩N)

2×(1-0,655)4-2=0,3064 à 10-4près .

Pondichéry correction38 avril 2014

Partie B

Nous avonsp=0,22 etN=400. L"intervalle est donc?

0,22-?

400; 0,22+?

EXERCICE45 points

On admet quef1?-5

3?≈9,5,f2?-53?=0,f3?-53?=0 etf4?-53?≈-9,5.

1-1-2-3

246810121416

Pondichéry correction48 avril 2014

1.Par lecture graphique, sans justifier :

1≈9,55

2(x)+-+0 0

2.Dans cette question, on considère la fonctiongdéfinie sur [-3 ; 2] par

3+x2-5x+3 est par conséquent, une autre écriture deg(x).

2a;x2=-b+?

1=-2-8

6=-53x2=-2+86=1. L"ensemble des solutions de l"équation est?

0,35%8,99%????12,59%

2,48%????2,24%24,82%