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A. P. M. E. P.
?Corrigé du baccalauréat ES/L Liban27 mai 2015?EXERCICE15points
Commun à tous les candidats
1.On donne ci-dessous le tableau de variations d"une fonctionfdéfinie sur l"intervalle [-3; 1].
xVariations
def -3-101 -6-6 -1-1 -2-2 440 Sur l"intervalle [-3; 0],fadmet un maximum -1 qui est atteint pourx=-1,f(x)=0 n"ad- met pas de solution sur cette intervalle. Sur l"intervalle [0; 1],fest continue et strictement croissante de plus 0 est comprisentre f(0) etf(1), donc d"après le théorème des valeurs intermédiaires etla stricte monotonie de la fonctionf(x)=0 admet une solution unique sur cet intervalle. On l"appelleraα. En conséquence,f(x)=0 admet une solution unique sur [-3; 1].
La proposition1 est doncvraie.
2.Par lecture graphique :g?(x)?0 sur l"intervalle [0; 4], la fonctiongest donc croissante sur cet
intervalle.La proposition2 est fausse.
C g? 411310 xy Commeg?est décroissante sur l"intervalle [0; 13],gest concave sur cet intervalle, la proposition3 est doncvraie.
Corrigédu baccalauréat ES/LA. P. M. E. P.
3.On a :
Ch1 1 2 3 exy 0h(x)?0
hest continue sur l"intervalle [1; e].
une primitive dehvaut :H(x)=lnx. Et?
e 11 xdx=[H(x)]e1=lne-ln1=1La fonctionhest bien une fonction de densité.
La proposition4 est doncvraie.
EXERCICE25points
Commun à tous les candidats
1. a.f?(5) correspond au coefficient directeur de la tangente au point d"abscisseA, c"est donc
le coefficient directeur de la droite (AB).0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112131415161718192021
xy C f A B5 -30 (TA)B Nous pouvons le lire graphiquement, voir ci-dessus. Nous pouvons le calculer,A(5 ; 55) etB(10 ; 25), le coefficient directeur de la droite (AB) vaut :Liban227 mai 2015
Corrigédu baccalauréat ES/LA. P. M. E. P.
yB-yA xB-xA=25-5510-5=-305=-6. b.fest dérivable en tant que somme de fonctions dérivables sur [1; 18]. f ?(x)=2+40×(-0,2)? u ?×eu -0,2x+1=2-8e-0,2x+1 c.f?(5)=2-8e-0,2×5+1=2-8e0=2-8=-6, on retrouve bien le résultat de la partie1.a..2. a.Ici, nous travaillons avec des expressions qui sont définiessur toutR, les équivalences
seront toujours vraies.2-8e-0,2x+1?0? -8e-0,2x+1?-2
?e-0,2x+1?-2 -8 ?lne-0,2x+1?ln14? -0,2x+1?-ln4
? -0,2x?-ln4-1 ? -5×(-0,2x)?-5×(-ln4-1) ?x?5ln4+5) b.Dans un premier temps, on constate que : 5ln4+5≈11,93 qui est bien compris dans [1; 18]. x2-8e-0,2x+1
f ?(x) f15ln4+518
0+ 0+ f(1)f(1) f(5ln4+5)f(5ln4+5) f(18)f(18) Et :f(5ln4+5)≈38,86,f(1)≈96,02 etf(18)≈43,97.3.Par le calcul, le nombre de parasols que doit produire l"entreprise pour que le coût de fabrica-
tion unitaire soit minimal est à choisir parmif(11)≈39,05 ouf(12)≈38,86, le coût sera donc
minimal pour 12 parasols.4. a.Il suffit de dériverF,
FFest bien une primitive def.
b.I=? 15 5 =300-200e-2-(-150)=450-200e-2 c.Rappel : la valeur moyenne defsur[a;b]vaut :μ=1 b-a? b a f(x)dx. ici : 110I=115-5?
15 5 f(x)dx.Liban327 mai 2015
Corrigédu baccalauréat ES/LA. P. M. E. P.
C"est le calcul de la valeur moyenne defsur l"intervalle [5; 15] et cette valeur moyenne vaut :45-20e-2≈42,29
C"est le coût de production unitaire moyen.
EXERCICE35points
Commun à tous les candidats
PartieA
1. a.Voici l"arbre de probabilité :
A 0,4D0,02P(A∩D)=PA(D)×P(A)
D0,98B0,6D0,03
D0,97 b.Nous utilisons la formule des probabilités totales :P(D)=P(A∩D)+P(B∩D)P(D)=P(A)×PA(D)+P(B)×PB(D)
P(D)=0,4×0,02+0,6×0,03
P(D)=0,026.
c.PD(A)=P(A∩D)P(D)=0,4×0,020,026≈0,308
2. a.Nous sommes dans le cas d"une expérience de Bernoulli (on a affaire à une médaille dé-
fectueuse ou non). Nous répétons cette expérience de manière indépendante avec remise, nous sommes dans le cas d"un schéma de Bernoulli. CommeXest une variable aléatoire comptant le nombre de médaille défectueuse, nous pouvons assimiler cette loi à une loi binomiale :X=B(n,p), oùn=20 etp=0,026. b.Ici nous calculons :P(X?1)=P(X=0)+P(X=1)=? 20 0? 0,0260×(1-0,026)20+?
20 1? 0,0261×(1-0,026)19≈0,906
Ou encore :
P(X?1)=BinomFrep(20,0.026,1)≈0,906
PartieB
76747376 777473μ=75
Liban427 mai 2015
Corrigédu baccalauréat ES/LA. P. M. E. P.
1.Nous pouvons lire :μ=75.
3.Le résultat de cours est :P(μ-2σ?X?μ+2σ)≈0,95,
icih=2σ=0,50.PartieC
1.La fréquence de médaille défectueuse est de :f=11
180≈0,061.
2.Xnsuivant une loi binomialeB(n,p). la variableFn=Xn
nreprésente la fréquence de médailledéfectueuse. La proportion de médaille défectueuse de l"échantillon de taillenestp. Ici :n=
180 etn?30,n×p=180×0,03=5,4?5 etn×(1-p)=180×0,97=174,6?5
L"intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% vaut : I=? p-1,96? p(1-p)?n;p+1,96? p(1-p)?n?Ici :p=0,03 etn=180.
I≈[0,00507895133 ; 0,0549210487]
Or :f?I, le résultat de la question précédente rend pertinente la prise de décision d"arrêter la
production pour procéder au réglage de la machineMB.EXERCICE45points
Candidatsde la sérieES n"ayant passuivi l"enseignementdespécialitéet candidatsde L La situation peut être modélisée par une suite (un). Le premier juillet 2013 au matin, le volume d"eau en m3estu0=100000.
Pour tout entier naturelnsupérieur à 0,undésigne le volume d"eau en m3au matin dun-ième jour
qui suit le 1 erjuillet 2013.