[PDF] [PDF] INTRODUCTION AUX FONCTIONS SPÉCIALES Vadim

[PDF] CHAPITRE 12 Intégrales impropres, fonctions gamma et bêta et

importantes, la fonction gamma et la fonction bêta, seront définies au moyen évidente et sa preuve nécessite l'étude de la convergence des intégrales et fait 

[PDF] Corrigé

PT 2004 Math IIB 1 Etude de la fonction Bêta 1 a) Soit D *0') &)/ $( D = n :n ,- L # " Or 46$( D $ D et donc 435 {= 46$( D = } D et donc 435

[PDF] INTRODUCTION AUX FONCTIONS SPÉCIALES Vadim

Chapitre I Fonctions Gamma et Beta §1 Fonctions Γ et B 5 §2 Série de Stirling 16 Chapitre II Fonction hypergéométrique de Gauss §1

[PDF] Agint17/01/07GC Partie 1 Etude de la fonction Gamma Soit U l

(Ecrire δ = k+δ où k est un entier, δ ∈]0,1] et appliquer 1 b ) Partie 2 Etude de la fonction Beta On note V= UxU On définit pour (p, q) 

[PDF] Etude de la fonction Gamma Γ

Etude de la fonction Gamma Γ Précis de mathématiques, Analyse MP, page 319 Exercice : On appelle fonction Gamma la fonction définie par Γ : x ↦− →

[PDF] UN COURS SUR LES FONCTIONS SPÉCIALES

26 nov 2012 · La fonction Γ comme fonction de variable complexe la fonction indicatrice d' Euler, de la fonction bêta, d'au moins trois formules d'Euler 

[PDF] PRODUIT BETA-GAMMA ET RÉGULARITÉ DU SIGNE 1

de plusieurs déterminants associés `a la fonction hypergéométrique Cette derni`ere est cruciale pour réduire le domaine d'étude `a deux séries de marches

[PDF] MEMOIRE DE FIN DETUDE

La fonction Gamma n'existe pas pour les valeur négatives entières 1 1 2 La fonction Beta Définition 1 1 2 la fonction de bêta est un type d'intégrale d'Euler 

[PDF] La fonction Γ - Maths-francefr

t2 ) On en déduit que la fonction f est intégrable sur un voisinage de +∞ Etude en 0 tx^1e^t

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10 oct 2018 · Durant cette étude, nous tenterons de mettre en valeur le rôle spécifique 5 Prolongement de la fonction Zêta de Riemann au plan complexe

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INTRODUCTION AUX FONCTIONS SP´ECIALES

Vadim Schechtman

Notes du cours. Automne 2006

Toulouse

1 2

Table de Mati`eres

Leitfaden . . . 3

Prologue. Jardin de fonctions sp´eciales . . . 4

Chapitre I. Fonctions Gamma et Beta

1. Fonctions Γ et. . . 5

2. S´erie de Stirling . . . 16

Chapitre II. Fonction hyperg´eom´etrique de Gauss

1. S´erie hyperg´eom´etrique . . . 20

2. Int´egrale de Barnes . . . 26

3.´Equation de Riemann . . . 28

4. Polynˆomes d"Euler et fonction hyperg´eom´etrique . . . 29

Chapitre III. Fonctions de Whittaker

1. Fonctions de Kummer() . . . 31

2. Fonctions de Whittaker() . . . 33

3. Fonctions d"Hermite . . . 35

Chapitre IV. Fonctions de Bessel

1. Fonctions() . . . 39

2. L"ordre semi-entier . . . 45

3. Fonctions de Macdonald . . . 46

Chapitre V. Fonctions de Legendre

1. Polynˆomes de Legendre . . . 48

2. Fonctions de Legendre . . . 50

3. Fonctions adjointes . . . 52

Chapitre VI.

´Equations de Maxwell et l"´equation d"ondes

1. Des ´equations de Maxwell `a l"´equation d"ondes . . . 53

2. Une solution de l"´equation d"ondes . . . 57

Bibliographie . . . 59

3

LEITFADEN

Jacob BERNOULLI, 1654 - 1705

Leonhard EULER, 1707 - 1783

Jean Baptiste Joseph FOURIER, 1768 - 1830

Johann Carl Friedrich GAUSS, 1777 - 1855

Friedrich Wilhelm BESSEL, 1784 - 1846

Charles HERMITE, 1822 - 1901

Leopold KRONECKER, 1823 - 1891

Georg Friedrich Bernhard RIEMANN, 1826 - 1866

James Clerk MAXWELL, 1831 - 1879

Hermann HANKEL, 1839 - 1873

Heinrich Martin WEBER, 1842 - 1913

Robert Hjalmar MELLIN, 1854 - 1933

Edmund Taylor WHITTAKER, 1873 - 1956

Peter Joseph William DEBYE

(Petrus Josephus Wilhelmus DEBIJE), 1884 - 1966

George Nevill WATSON, 1886 - 1965

4

PROLOGUE

JARDIN DES FONCTIONS SPECIALES

0.1.Toutes les fonctions sp´eciales qu"on va discuter, peuventˆetre ´ecrites sous

une forme de certainsint´egrales d´efinies(oup´eriodes) ou les int´egrales curvilignes (le long d"un contour).

On peut les diviser en deux classes:

la premi`ere classe, deux facteurs sous int´egrale: 2

1(1)(2)la fonction() (beta) d"Euler

Cas d´eg´en´er´e, ou cas limite:

()la fonction Γ() (gamma)

0.2.La deuxi`eme classe, trois facteurs sous int´egrale:

j i(1)(2)(3)fonction hyperg´eom´etrique de Gauss(;)

Cas particuliers:

polynˆomes de Jacobi; fonctions (polynˆomes) de Legendre

Cas limite:

(1)(2)fonctions de Whittaker() oufonctions hyperg´eom´etriques confluentes.

Cas particuliers:

polynˆomes deLaguerreet polynˆomes d"Hermite. Ces fonctions satisfont`a une ´equation diff´erentielle d"ordre2 par rapport `a. Ils sont li´ees ´etroitement aux representations des groupes2(R) et2(C). 5

CHAPITRE I. FONCTIONS GAMMA ET BETA

1. FonctionsΓet

1.0. `A la place d"une introduction. La m´ethode d"une fonction g´en´eratrice. Consid´erons, avec Euler, le probl`eme suivant: d´efinir une fonction Π() C, telle que Π() =! pournaturel. Pour le r´esoudre, on ´ecrit une fonction g´en´eratrice =0 =0

Par la formule de Cauchy,

1

Π()=12

(0+)()+1=1Π()=12 (0+) 1

Ici (0+) d´esigne un circle

(0+) =02

Donc on peut essayer de d´efinir

1

Π()=12

(0+) 1 C Il faut faire attention quand mˆeme, puisque la fonction1est multiforme. Ce sujet sera r´epris plus tard, cf. 1.15 ci-dessous.

1.1.On d´efinit:

0

1(111)

()0. Plus pr´ecisement, (1.1.1) d´efinit Γ() comme une fonctioon holomorphe dans le demi-plan()0. Exercice.Montrer que Γ(+ 1) =Γ() et Γ() = (1)! siN. Ceci permet de prolonger Γ() en une fonction meromorphe surC, avec des poles simples en= 012, cf. 1.7 ci-dessous.

En effet, on a:

Γ(++ 1) = (+)(+1)Γ()

ou

Γ() =Γ(++ 1)

(+)(+1) 6et

Γ(++ 1) = 1 +(+)

d"o`u

Γ() =(1)

!(+)+(1) i.e. Γ() a en=un pˆole simple avec le r´esidu Res =Γ() =(1) !(112)

1.2.La fonctionBetad"Euler est d´efinie par

1 0

1(1)1()()0

1.3.Th´eor`eme.

D´emonstration, cf. [Jacobi]. On a

0 0 11 On fait le changement de variables+= =, donc 0 , 01 et =+ =+ = (1) donc=(ori´entations: () et ()). Il s"en suit: 1 0 1(1)1 0 +1=()Γ(+)

1.3.1.Exercice.Montrer que

i0;Pi1 =1 r11=Γ(1)Γ()

Γ(1+++ 1)

(Dirichlet). Ici tous0. Cf. [WW], 12.5.

1.4.Exercice.Calculer Γ(12).

Solution.On a

Γ(12)2=Γ(12)Γ(12)

Γ(1)=(1212)

Par d´efinition,

(1212) = 1 0

12(1)12=

7 (=2) = 2 1 0

12= 2arcsin 1 =

d"o`u

Γ(12) =

0 12=

On remarque que

0 12= 2 0 2= 2 donc 2= (l"int´egrale de Poisson).

1.5.Th´eor`eme(Euler, Gauss).

Γ() = lim(+ 1) = lim!

(+ 1)(+)= = lim (1)! (+ 1)(+1)(151)

Cf. [Gauss], Section 20.

En effet, on remarque que

= lim1 d"o`u

Γ() = lim

01

1(152)

(pour une preuve, cf. 1.6 ci-dessous). On a: 01 1= 1 01)1

PourNon a

(+ 1) = 1 0 (1)1=! (+ 1)(+) et cela est vrai pour tous= 01(prouver!), d"o`u (1.5.1).

1.6.Exercice.Preuve de (1.5.2), cf. [WW], 12.2.

8 (a) Pour tous 0 1,

1 +(1)1

(b) Pour tous 01, (1)1 (c) D´eduire de (a) et (b) que 0 1 12 pour tous 0 . [En effet, en faisant=dans (a), on obtient:

1 +(1)1

d"o`u (1 +)(1) et (1 +)(1)

Il s"en suit:

0(1)= 1(1)

1(122)

D"un autre part, d"apr`es (b) avec=22, on aura

1(122)2

d"o`u le r´esultat. ] (d) En d´eduire que 0 1 1 0 quand . [En effet, d"apr`es (c), 0 1 1 1 0 +1 1 0 +1 ce qui0, puisque la derni`ere int´egrale converge. ] 9 (e) En d´eduire (1.5.2).

1.7.D´efinition de Weierstrass.

(a) Prouver que la limite = lim =1

1log(171)

existe. Elle s"appellela constante d"Euler - Mascheroni. On a= 05772157. (b)Th´eor`eme. 1 =1 1 + (172) D´emonstration.Cf. [WW], 12.11. La formule de Euler 1.5 et l"identit´eΓ() =

Γ(+ 1) impliquent:

1

Γ()=lim

=1 1 +

D"un autre cˆot´e,

lim =1 1 + = lim (Pmn=11log) =1 1 + =1 1 + cqfd. (c) En d´eduire: logΓ() =1+ =1(+)= =1 =1 11+ (173)

2logΓ()

2= =01(+)2(174)

1.8.Th´eor`eme.On a

Γ()Γ(1) =

sin

Preuve.Par la formule d"Euler

Γ()Γ(1) =(1) =

1 0 1(1)=

10(=(+ 1))

0 1 + 1= Nous calculons la derni`ere int´egrale par la formule de Cauchy, cf. [WW], 6.24, Example 1. En effet, consid´erons int´egrale 1 + 1 o`u() est le contour () = =02 =20= =1234 Alors 2+

4+(12(1))

1 + 1= 2Res=11+ 1= 2(1)

A la limite

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