[PDF] [PDF] Fonctions circulaires et hyperboliques inverses 1 Fonctions

[PDF] Feuille dexercices 7 Fonctions trigonométriques réciproques

Le graphe de admet des demi-tangente verticales en = −1 et en = 1 5 Exercice 5 Soit la fonction définie par ( ) = arcsin(  

[PDF] Planche no 13 Fonctions circulaires réciproques : corrigé

Dans ce cas, Arctan(tan x) = Arctan(tan(x − kπ)) = x − kπ avec k = E ( x π + 1 2 ) Exercice no 2 1) 1ère solution Posons f(x) = Arccosx + Arcsinx pour x dans [−  

[PDF] Fonctions circulaires inverses Exercice 3 Arcsin Exercice 4

14 nov 2017 · Fonctions circulaires inverses Exercice 1 arcsin et arccos à partir de arctan Mélanges de fonctions trigonométriques et réciproques

[PDF] 12-fonctions-usuelles-corriges - Optimal Sup Spé

Exercice de base, à maitriser parfaitement (+ s'il s'agit d'un exercice Calculs de nombres liés aux fonctions circulaires réciproques 0 Exercices corrigés ☆

[PDF] Fonctions circulaires et hyperboliques inverses 1 Fonctions

Exercice 3 Écrire sous forme d'expression algébrique sin(Arccosx), cos(Arcsinx), sin(3 Arctanx) Exercice 4 Résoudre les équation suivantes : Arcsinx = Arcsin 2

[PDF] TD no 5 — Fonctions circulaires et hyperboliques Fonctions

arcsin x + arccos x = π 2 Fonctions hyperboliques Exercice 4 1 Que représente la courbe d'équation x2 − y2 = 1

[PDF] Ex_ sur les fonctions trigonométriques réciproques

Exercices sur les fonctions trigonométriques réciproques 2°) Démontrer qu'il existe une unique fonction g définie sur R telle que, pour tout réel x, on ait : Arc tan f x Il faut reprendre le corrigé avec l'énoncé modifié 16

[PDF] Chapitre 12 :Fonctions circulaires réciproques

Noter aussi la position de la courbe par rapport à la tangente à l'origine II La fonction Arccos A) Etude La fonction x x cos

[PDF] Feuille dexercices no 2

Tracer le graphe de la fonction f Fonctions hyperboliques et leurs réciproques Exercice 4 : Etablir les formules d'addition suivantes, valables pour tous les x, 

[PDF] TD MATH - Département de Mathématiques dOrsay

n'est pas trop petite Les exercices non corrigés en classe sont soulignés 1 Donner en fonction du signe de ∆ l'ensemble des racines réelles de P Comment factorise-t-on P ? La réciproque est-elle vraie? Reprendre cet exercice en 

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Biblioth`eque d"exercices

´Enonc´es

L1Feuille n◦14Fonctions circulaires et hyperboliques inverses

1 Fonctions circulaires inverses

Exercice 1Une statue de hauteursest plac´ee sur un pi´edestal de hauteurp.`A quelle distance

doit se placer un observateur (dont la taille est suppos´ee n´egligeable) pour voir la statue sous

un angle maximal? Exercice 2D´emontrer les in´egalit´es suivantes :

Arcsina >a⎷1-a2si 0< a <1;

Arctana >a1 +a2sia >0.

Exercice 3

´Ecrire sous forme d"expression alg´ebrique

sin(Arccosx),cos(Arcsinx),sin(3Arctanx). Exercice 4R´esoudre les ´equation suivantes :

Arcsinx= Arcsin25

+ Arcsin35 ,Arccosx= 2Arccos34

Arctanx= 2Arctan12

Exercice 5V´erifier

Arcsinx+ Arccosx=π2

,Arctanx+ Arctan1x = sgn(x)π2

2 Fonctions hyperboliques et hyperboliques inverses

Exercice 61. Montrer qu"il n"existe pas de fonctionf: [1;+∞[→Rv´erifiant : ?x?R,f(chx) =ex.

2. D´eterminer toutes les fonctionsf:R+?→Rtelles que :

?x?R,f(ex) = chx.

Pr´eciser le nombre de solutions.

3. D´eterminer toutes les fonctionsf:R+→Rtelles que :

?x?R,f(ex) = chx. Pr´eciser le nombre de solutions; y a t-il des solutions continues surR+? 1

Exercice 7Calculer :

lim x→∞ex(ch3x-sh3x) et limx→∞(x-ln(chx)).

Exercice 8Les r´eelsxety´etant li´es par

x= ln? tan?y2 +π4 calculer chx,shxet thxen fonction dey. Exercice 9R´esoudre l"´equationxy=yxo`uxetysont des entiers positifs non nuls. 2

Biblioth`eque d"exercicesIndications

L1Feuille n◦14Fonctions circulaires et hyperboliques inverses Indication 1Faire un dessin. Remarquer que maximiser l"angle d"observationαrevient `a maximiser tanα. Puis calculer tanαen fonction de la distance et ´etudier cette fonction.

Indication 2On pourra ´etudier les fonctions d´efinies par la diff´erence des deux termes de

l"in´egalit´e. Indication 3Il faut utiliser les identit´es trigonom´etriques classiques. Indication 4On compose les ´equations par la bonne fonction, par exemple sinus pour la premi`ere.

Indication 5Faire une ´etude de fonction.

Indication 61. Regarder ce qui se passe en deux valeurs oppos´eesxet-x.

2. PoserX=ex.

Indication 9Montrer que l"´equationxy=yxest ´equivalente `alnxx =lnyy , puis ´etudier la fonctionx?→lnxx 1

Biblioth`eque d"exercicesCorrections

L1Feuille n◦14Fonctions circulaires et hyperboliques inverses Correction 1On notexla distance de l"observateur au pied de la statue. On noteαl"angle d"observation de la statue seule, etβl"angle d"observation du piedestal seul. Nous avons le deux identit´es : tan(α+β) =p+sx ,tanβ=px En utilisante la relation tan(α+β) =tanα+tanβ1-tanα·tanβon obtient tanα=sxx

2+p(p+s).

Maintenant l"angleα?[0,π2

[ et la fonction tan est croissante sur cet intervalle, donc maximiserα est ´equivalent `a maximiser tanα.´Etudions la fonctionf(x) =sxx

2+p(p+s)d´efinie surx?[0,+∞[.

Apr`es calculsf?ne s"annule qu"enx0=?p(p+s) qui donne le maximum def(en 0 et +∞ l"angle est nul). Donc la distance optimiale de vision estx0=?p(p+s). En compl´ement on peut calculer l"angle maximumα0correspondant : par la relation tanα0= f(x0) =s2 ⎷p(p+s), on obtientα0= arctans2 ⎷p(p+s). Correction 21. Soitf(a) = Arcsina-a⎷1-a2sur ]0,1[,f?(a)?0 (faite le calcul!) doncf est strictement croissante etf(0) = 0 doncf(a)>0 pout touta?]0,1[.

2.g(a) = Arctana-a1+a2alorsg?(a) =11+a2-1+a2(1+a2)2=2a2(1+a2)2>0 Doncgest strictement

croissante etg(0) = 0 doncgest strictement positive sur ]0,+∞[. Correction 31. sin2y= 1-cos2ydonc siny=±?1-cos2y. Donc sinarccosx= ±⎷1-cos2arccosx=±⎷1-x2et comme arccosx?0 on a sinarccosx= +⎷1-x2.

2. De la mˆeme mani`ere cosarcsinx= +⎷1-x2.

3. On utilise 1+tan

2x=1cos

2x=11-sin2xce qui permet d"avoir sin2x= 1-11+tan

2x. Ensuite

on calcule tan3yen utilisant deux fois la formule de tan(a+b) on trouve tan3y=

3tany-(tany)31-3(tany)2. Cela permet d"avoir

sin(3arctanx) = 4x(1 +x2)3/2-x⎷1 +x2. Correction 41. En prenant le sinus de l"´equation Arcsinx= Arcsin25 +Arcsin35 on obtient x= sin(Arcsin25 + Arcsin35 ), doncx=25 cosArcsin35 +35
cosArcsin25 . En utilisant la formule cosarcsinx= +⎷1-x2. On obtientx=25 45
+35
?21 25
=825 +3⎷21 25

2. En prenant le cosinus de l"´equation Arccosx= 2Arccos34

on obtientx= cos(2Arccos34 on utilise la formule cos2u= 2cos2u-1 et on arrive `a :x= 2(34 )2-1 =18

3. En prenant la tangente et `a l"aide de tan(a+b) =···on obtient :x= tan2Arctan12

=43 1 Correction 51. Soitfla fonction sur [-1,1] d´efinie parf(x) = Arcsinx+Arccosxalors f ?(x) = 0 pourx?]-1,1[ doncfest une fonction constante sur [-1,1] (car continue aux extr´emit´es). Orf(0) =π2 donc pour toutx?[-1,1],f(x) =π2

2. Soitg(x) = Arctanx+ Arctan1x

, la fonction est d´efinie sur ]- ∞,0[ et sur ]0,+∞[. On ag?(x) = 0 doncgest constante sur chacun des ses intervalle de d´efinition.g(x) =c1 sur ]- ∞,0[ etg(x) =c2sur ]0,+∞[. En calculantg(1) etg(-1) on obtientc1=-π2 et c

2= +π2

Correction 61. Sifexiste alors pourx= 1 on af(ch1) =eet pourx=-1 on f(ch-1) =f(ch1) = 1/e. Une fonction ne peut prendre deux valeurs diff´erentes au mˆeme point (icit= ch1).

2. NotonsX=ex, l"´equation devient

f(X) =ex+e-x2 =12 (X+1X Comme la fonction exponentielle est une bijection deRsur ]0,+∞[, alors l"unique fa¸con de d´efinirfsur ]0,+∞[ est par la formulef(t) =12 (t+1t

3. Commeexest toujours non nul, alorsfpeut prendre n"importe quelle valeur en 0.f(0) =

c?Retf(t) =12 (t+1t ) pourt >0. Il y a une infinit´e de solutions. Mais aucune de ces solutions n"est continue car la limite def(t) quandt >0 ett→0 est +∞.

Correction 7R´eponses :

1. +∞;

2. ln2.

Correction 8Soitx= ln?tan?y2

+π4 1. chx=ex+1e x2 =tan?y2 +π4 ?+1tan (y2 +π4 )2 =12sin ?y2 +π4 ?cos?y2 +π4 =1sin(y+π2 )=1cos(y).

2. De mˆeme shx= tany.

3. thx= siny.

Correction 9

x y=yx?eylnx=exlny?ylnx=xlny?lnxx =lnyy (la fonction exponentielle est bijective). Etudions la fonctionf(x) =lnxx sur [1,+∞[. f ?(x) =1-lnxx 2>0, doncfest croissante sur [1,e] et d´ecroissante sur [e,+∞[. Donc pourz?]0,f(e) = 1/e[, l"´equationf(x) =za exactement deux solutions, une dans ]1,e[ et une dans ]e,+∞[. Revenons `a l"´equationxy=yx´equivalente `af(x) =f(y). Prenonsyun entier, siy= 1 alors f(y) =z= 0 on doit donc r´esoudef(x) = 0 alorsx= 1; siy= 2 alors il faut r´esoudre l"´equationf(x) =ln22 ?]0,1/e[. Alors d"apr`es l"´etude pr´ec´edente, il existe deux solutions une 2 sur ]0,e[ qui estx= 2 (!) et une sur ]e,+∞[ qui est 4, en effetln44 =ln22 . Soit 22= 22et 2

4= 42.

Siy?3 alorsy > edonc il y a une solutionxde l"´equationg(y) =g(y) dans ]e,+∞quix=y, et une solution dans l"intervalle ]1,e[. Mais commexest un entier alorsx= 2, cas que nous avons d´ej`a ´etudi´e. Conclusion les couples d"entiers qui v´erifient l"´equationxy=yxsont les couples (x,y=x) et les couples (2,4) et (4,2). 3quotesdbs_dbs41.pdfusesText_41