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Histoire des nombres complexes; quaternions; fondements de la géométrie existe, qu'il pense, qu'un triangle est terminé par trois lignes, ni plus ni moins, étudiant de Platon à l'Académie, le philosophe grec Aristote (-384- -322), qui ensemble que celui engendré par -cos ( \k TT+~ arccos (- z)) lorsque k E { 0 , 1, 2 }
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25 fév 2021 · Les nombres complexes : forme algébrique, addition, multiplication, conjugaison, norme, de la notion d'ensemble et d'application et la capacité à utiliser les pour être exposée ici, mais elle ressemble dans ses grandes lignes à celle particulier l'Académie Royale des Sciences se passionnait pour la
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que l'on trouvera une solution ou des indications dans les « Compléments en ligne » à produit, se note C et s'appelle l'ensemble des nombres complexes
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On a donc une correspondance entre l'ensemble C des nombres complexes et l' en- tiques et physique à l'académie des sciences de Berlin et Frederick II dira
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NOMBRES COMPLEXES - Chapitre 1/4
Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/ABo2m52oEYw Les nombres complexes prennent naissance au XVIème siècle lorsqu'un italien Gerolamo Cardano (1501 ; 1576), ci-contre, au nom francisé de JérômeCardan, introduit
-15 pour résoudre des équations du troisième degré. En 1572, un autre italien, Rafaele Bombelli (1526 ; 1573) publie "Algebra, parte maggiore dell'aritmetica, divisa in tre libri" dans lequel il présente des nombres de la forme + -1 et poursuit les travaux de Cardan sur la recherche de solutions non réelles pour des équations du troisième degré. A cette époque, on sait manipuler les racines carrées d'entiers négatifs mais on ne les considère pas comme des nombres. Lorsqu'une solution d'équation possède une telle racine, elle est dite imaginaire. La notation i apparaît en 1777 siècle avec Leonhard Euler (1707 ; 1783) qui développe la théorie des nombres complexes sans encore les considérer comme de " vrais » nombres. Il les qualifie de nombres impossibles ou de nombres imaginaires.Au XIXe siècle, Gauss puis Hamilton posent les structures de l'ensemble des nombres complexes. Les nombres
sans partie imaginaire sont un cas particulier de ces nouveaux nombres. On les qualifie de " réel » car proche
de la vie. Les complexes sont encore considérés comme une création de l'esprit.Partie 1 : L'ensemble ℂ
1) Définition
Définition : Il existe un ensemble de nombres, noté ℂ, appelé ensemble des nombres complexes qui possède les propriétés suivantes : - ℂ contient ℝ.- Dans ℂ, on définit une addition et une multiplication qui suivent les mêmes règles de calcul
que dans ℝ. - Il existe dans ℂ un nombre i tel que =-1.- Tout élément de ℂ s'écrit de manière unique sous la forme =+ avec et réels.
Exemples :
sont des nombres complexes. Et les nombres réels 0, -2 ouégalement des nombres complexes !
Vocabulaire :
- L'écriture + d'un nombre complexe est appelée la forme algébrique de .
- Le nombre s'appelle la partie réelle et la nombre s'appelle la partie imaginaire. On
note : = etRemarques :
- Si =0 alors est un nombre réel. - Si =0 alors est un nombre imaginaire pur. 2 Méthode : Effectuer des calculs sur les nombres complexesVidéo https://youtu.be/-aaSfL2fhTY
Vidéo https://youtu.be/1KQIUqzVGqQ
Simplifier les écritures en exprimant le résultat sous la forme algébrique. -1+52
14-2
1+
2-
Correction
-1+5 =4-12+9 =7+17=-5-122
14-2
1+
2-
=24+2
4-2
4+2
1+
2+
2-
2+
=8192×4+2
16-4
2++2-1
4-
=8192× -14+2
16+4 4+1 =8192=4+2
20 5 1 5 1 10 1 5 5Propriétés :
a) Deux nombres complexes sont égaux, si et seulement si, ils ont la même partie réelle et la
même partie imaginaire. b) Un nombre complexe est nul, si et seulement si, sa partie réelle et sa partie imaginaire sont nulles.Démonstration :
Conséquence immédiate de l'unicité de la forme algébrique.Partie 2 : Conjugué d'un nombre complexe
Définition : Soit un nombre complexe =+.On appelle nombre complexe conjugué de , le nombre, noté ̅, égal à -.
3Exemples :
- =4+5 et ̅=4-5 - On peut également noter : =5Propriétés : Soit et ′ deux nombres complexes et entier naturel non nul.
a) ̿= b) +′ C c) ×′ C d) e) " avec ≠0 f) " avec ′≠0Démonstrations (dont c, d et e au programme) :
On pose =+ et ′=′+′ avec , , ′ et ′ réels.
a) ̿=+EEEEEEEE
b) + C c) × C =F+G×F
GDonc : ×′
C d) On procède par récurrence. • Initialisation pour =2 : , d'après la propriété c. • Hérédité : - Hypothèse de récurrence : Supposons qu'il existe un entier >1 tel que la propriété soit vraie : - Démontrons que : La propriété est vraie au rang +1 :×̅, d'après la propriété c.
×̅, par hypothèse de récurrence. • Conclusion :La propriété est vraie pour =1 et héréditaire à partir de ce rang. D'après le principe de
récurrence, elle est vraie pour tout entier naturel , soit : e) " 4 2 2 2 2