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variations de f Exercices de calculs de dérivées avec des exponentielles – Corrigés – 4/7 Page 5 Exercice 15 : f est la fonction définie sur par f (x)=(e1)e2 x +1

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Déterminer la dérivée f/ de f et étudier son signe sur I ; 2 En déduire les variations de f sur I ; 3 En déduire f admet un minimum dans I que l'on déterminera ; 4

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f(x):=e^x/(e^x+1) factoriser(deriver(deriver(f(x)))) Page 2 Fonctions exponentielles – Exercices – Terminale ES/L – G AURIOL, Lycée Paul Sabatier a Déterminer

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M CUAZ, http://mathscyr free FONCTIONS EXPONENTIELLES EXERCICES CORRIGES Exercice n°1 Résoudre dans les équations suivantes R 1) 2) x

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Terminale S 1 F Laroche Exponentielle exercices corrigés C La fonction dérivée de f et la fonction g ont le même signe D La fonction f atteint un minimum

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Comme > alors la fonction ⟼ est strictement croissante sur ℝ Sa dérivée est la fonction exponentielle elle-même c'est-à-dire : Si (

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Les coˆuts de fabrication quotidiens sont modélisés par la fonction C définie sur l' intervalle g est dérivable sur l'intervalle [1 ; 15] et on note g′ sa fonction dérivée 1 est dérivable sur ª comme fonction " exponentielle ", donc dérivable sur

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Exercice 5 Résoudre dans ℝ 1 x exp(x2) est la dérivée de la fonction f définie sur ℝ par : f(x) = exp(x2) Exponentielle de fonction – Etude − CORRIGE

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16 oct 2014 · Opération sur la fonction exponentielle Exercice 1 Dérivées Exercice 5 Déterminer les dérivées des fonctions suivantes : 1 Terminale S

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Fonction exponentielle - Exercices Propriétés des fonctions exponentielles Exercice 1 1 Donner la définition, l'ensemble de définition et la dérivée de 2

Exercice 1

: Soient f et g les fonctions définies sur ℝ par f(x)=ex+x2 et g(x)=(x?2)ex. f'(x)=ex+2x ?x?ℝ. g(x) est de la forme u(x)×v(x) avec u(x)=x?2, u'(x)=1, et v(x)=v'(x)=ex. Donc g'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=1×ex+(x?2)×ex=(1+x?2)exg'(x)=(x?1)ex ?x?ℝ. Exercice 2 : Soient f et g les fonctions définies sur ℝ par f(x)=3x2?2ex et g(x)=(4?x2)ex. g(x) est de la forme u(x)×v(x) avec u(x)=4?x2, u'(x)=?2x et v(x)=v'(x)=ex. Donc g'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=?2xex+(4?x2)exg'(x)=(?x2?2x+4)ex ?x?ℝ. Exercice 3 : Soient f et g les fonctions définies sur ℝ par f(x)=(x2+3x+1)ex et g(x)=x3ex. f(x) est de la forme u(x)×v(x) avec u(x)=x2+3x+1, u'(x)=2x+3 et v(x)=v'(x)=ex. Donc

Donc f'(x)=(x2+5x+4)ex ?x?ℝ.

g(x) est de la forme u(x)×v(x) avec u(x)=x3, u'(x)=3x2 et v(x)=v'(x)=ex. Donc g' (x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=3x2ex+x3exg'(x)=(x3+3x2)ex ?x?ℝ. Exercice 4 : 1) f est la fonction définie sur ]0;+∞[ par f(x)=ex x. (Remarque : valeur interdite : 0) f(x) est de la forme u(x) v(x) avec u(x)=u'(x)=ex, v(x)=x et v'(x)=1. Donc f ' (x)=u'(x)v(x)?u(x)v'(x) (v(x))2=ex×x?ex×1 x2f '(x)=(x?1)ex x2 ? x ? ]0;+∞[.

2) g est la fonction définie sur ℝ par g(x)=x

ex. (Remarque : pas de valeur interdite car ?x?ℝ, ex>0) g(x) est de la forme u(x) v(x) avec u(x)=x, u'(x)=1, et v(x)=v'(x)=ex. Donc g' (x)=u'(x)v(x)?u(x)v'(x) (v(x))2=1×ex?x×ex (ex)2=(1?x)ex ex×exg'(x)=1?x ex ?x?ℝ. Exercice 5 : 1) f est la fonction définie sur ]?2;+∞[ par f(x)=ex x+2. (Remarque : valeur interdite : ?2) f(x) est de la forme u(x) v(x) avec u(x)=u'(x)=ex, v(x)=x+2 et v'(x)=1. Donc f ' (x)=u'(x)v(x)?u(x)v'(x) (v(x))2=ex×(x+2)?ex×1 (x+2)2=(x+2?1)ex (x+2)2 Exercices de calculs de dérivées avec des exponentielles - Corrigés - 1/7 f '(x)=(x+1)ex (x+2)2 ?x?]?2;+∞[.

2) g est la fonction définie sur ℝ par g(x)=x+2

ex. g(x) est de la forme u(x) v(x) avec u(x)=x+2, u'(x)=1 et v(x)=v'(x)=ex. Donc g' (x)=u'(x)v(x)?u(x)v'(x) (v(x))2=1×ex?(x+2)ex (ex)2=(1?(x+2))ex ex×ex g'(x)=(?x?1) ex ?x?ℝ. Exercice 6 : f et g sont les fonctions définies sur ℝ par f(x)=ex+1 ex et g(x)=ex ex+1. f(x) est de la forme u(x) v(x) avec u(x)=ex+1, u'(x)=ex et v(x)=v'(x)=ex. Donc f ' (x)=u'(x)v(x)?u(x)v'(x) (v(x))2=ex×ex?(ex+1)×ex (ex)2=(ex?(ex+1))ex ex×ex=?1×ex ex×ex

Donc f '(x)=?1

ex ou f'(x)=?e?x ?x?ℝ. g(x) est de la forme u(x) v(x) avec u(x)=u'(x)=ex, v(x)=ex+1 et v'(x)=ex. Donc g' (x)=u'(x)v(x)?u(x)v'(x) (v(x))2=ex×(ex+1)?ex×ex (ex+1)2=(ex+1?ex)ex (ex+1)2 g'(x)=ex (ex+1)2 ?x?ℝ. Partie B : fonctions où apparaît une expression de la forme eu(x). Dans les exercice 7 à 12, on factorisera au maximum les expressions obtenues. Exercice 7 : f et g les fonctions définies sur ℝ par f(x)=e3x+2 et g(x)=10e?0,5x. f(x) est de la forme eu(x)+2 avec u(x)=3x et u'(x)=3. Donc f'(x)=u'(x)×eu(x)+0 soit f'(x)=3e3x ?x?ℝ. g(x) est de la forme 10eu(x) avec u(x)=?0,5x et u'(x)=?0,5. Donc g'(x)=10u'(x)×eu(x)=10×(?0,5)×e?0,5x donc g'(x)=?5e?0,5x ?x?ℝ. Exercice 8 : Soient f et g les fonctions définies sur ℝ par f(x)=xe?x et g(x)=e?x2+x. f(x) est de la forme u(x)×v(x) avec u(x)=x, u'(x)=1, et v(x)=e?x donc v'(x)=?e?x.

Si trouver

v'(x) n'est pas immédiat pour vous, j'explique ici : v(x) est de la forme eU(x) avec U(x)=?x et U'(x)=?1. Donc v'(x)=U'(x)×eU(x)=?1×e?x=?e?x. Donc f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=1×e?x+x×(?e?x), soit f'(x)=(1?x)e?x ?x?ℝ. Exercices de calculs de dérivées avec des exponentielles - Corrigés - 2/7 g(x) est de la forme eu(x) avec u(x)=?x2+x donc u'(x)=?2x+1. Donc g'(x)=u'(x)eu(x) soit g'(x)=(?2x+1)e?x2+x.

Exercice 9 : Soient f et g les fonctions définies sur ℝ par f(x)=(2x?3)e?0,1x et g(x)=(5?0,1x)e2x.

f(x) est de la forme u(x)×v(x) avec u(x)=2x?3, u'(x)=2, v(x)=e?0,1x donc v'(x)=?0,1e?0,1x. (Même explication que pour le v'(x) du f de l'exercice 8) Donc

Donc f'(x)=(?0,2x+2,3)e?0,1x ?x?ℝ.

g(x) est de la forme u(x)×v(x) avec u(x)=5?0,1x, u'(x)=?0,1, v(x)=e2x et v'(x)=2e2x. Donc

Donc g'(x)=(?0,2x+9,9)e2x ?x?ℝ.

Exercice 10 : Soient f et g les fonctions définies sur ℝ par f(x)=4xe?x+1 et g(x)=3e1?x2. f(x) est de la forme u(x)×v(x) avec u(x)=4x, u'(x)=4, v(x)=e?x+1 et v'(x)=?e?x+1. Donc f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=4e?x+1+4x×(?e?x+1) donc f'(x)=(4?4x)e?x+1 ?x?ℝ. ou encore f'(x)=4(1?x)e?x+1 ?x?ℝ. Ou encore f'(x)=?4(x?1)e?x+1 ?x?ℝ. g(x) est de la forme 3eu(x) avec u(x)=1?x2 et u'(x)=?2x.

Donc g'

(x)=3×u'(x)×eu(x)=3×(?2x)e1?x2 donc g'(x)=?6xe1?x2 ?x?ℝ. Exercice 11 : Soient f et g les fonctions définies sur ℝ par f(x)=(x2+1)e?x et g(x)=e 1?x 2 f(x) est de la forme u(x)×v(x) avec u(x)=x2+1, u'(x)=2x, v(x)=e?x et v'(x)=?e?x. Donc

Soit f'(x)=(?x2+2x?1)e?x ?x?ℝ.

g(x) est de la forme eu(x) avec u(x)=1?x 2=1 2?1

2x donc u'(x)=?1

2. Donc g' (x)=u'(x)eu(x)=?1 2e 1?x

2 soit g'(x)=?e

1?x 2

2 ou g'(x)=?1

2e 1?x

2 ?x?ℝ.

Exercice 12 : 1) f est la fonction définie sur ]1;+∞[ par f(x)=exp( x?3 x?1). Soit x ? ]1;+∞[. f(x) est de la forme eU(x) avec U(x)=x?3 x?1. Exercices de calculs de dérivées avec des exponentielles - Corrigés - 3/7

U(x) est de la forme u(x)

v(x) avec u(x)=x?3, u'(x)=1, v(x)=x?1 et v'(x)=1. Donc U' (x)=u'(x)v(x)?v'(x)u(x) (v(x))2=1×(x?1)?1×(x?3) (x?1)2=x?1?x+2 (x?1)3 soit U'(x)=2 (x?1)2. Donc f ' (x)=U'(x)×eU(x)=2 (x?1)2×e x?3 x?1 soit f '(x)=2e x?3 x?1 (x?1)2 ? x ? ]1;+∞[.

2) g est la fonction définie sur ℝ par g(x)=1

2πe

?x2 2.

Remarque : 1

2π est une constante. Dans le calcul de la dérivée, on la traite comme on ferait avec 3 ou 10.

g(x) est de la forme 1

2πeu(x) avec u(x)=?x2

2=?1

2x2 et u'(x)=?1

2×2x=?x.

Donc g' (x)=1

2π×u'(x)×eu(x)=1

2π×(?x)×e

?x 2

2 soit g'(x)=?x

2πe