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b) Quelle conjecture peut-on faire sur les nombres presque parfaits? c) Démontrer que si k est un entier naturel, alors 2k est un nombre presque parfait
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Déterminer les chiffres ∆ et ∇ pour que le nombre à quatre chiffres 2 3 c = ∆ ∇ soit Trouver tous les nombres presque parfaits inférieurs à 20 Les nombres
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Eh oui le premier nombre parfait, 6 = 3 + 2 + 1 (somme de ses diviseurs somme de fractions égyptiennes » et de « nombres presque-parfaits » sont non
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soit premier18, et Euler a montré que les nombres parfaits pairs sont tous de Voici sa décomposition en produits de facteurs premiers (ou presque ) :
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DM : nombres parfaits-Corrigé Soit n ∈ N∗ n est dit parfait s'il est égal à la somme de ses diviseurs entiers naturels propres (les diviseurs de n différents de n)
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Chapitre N°5 : Les algorithmes arithmétiques Lycée Secondaire Errafèha Mnihla Prof : Mahmoud Ezzeddine 1Les algorithmes arithmétiques I.Décomposition en facteurs premiers La décomposition en produit de facteurs premiers, d'un entier strictement positif, consiste à écrire cet entier sous forme d'un produit de ces diviseurs premiers. Par définition, un nombre premier ne peut pas être décomposé. Exemples : 11 = 11 25 = 5 * 5 45 = 3*3*5 = 32 * 5 125 = 5*5*5 360 = 2*2*2*3*3*5 Principe: +Vérifier si n est divisible par 2, si oui : remplacer n par n div 2 et continuer à le diviser par 2, jusqu'à ce qu'il ne soit pas multiple de 2 (n div 2 <>0) +Refaire l'étape précédente pour 3, 4, ... +Refaire les étapes précédentes jusqu'à avoir n = 1 Exercice : Ecrire un programme qui stocke la décomposition en facteurs premiers d'un nombre entier strictement positif dans un tableau T puis affiche les éléments de ce tableau. program facteur_premier; uses wincrt; type tab= array[1..10] of integer; var n,d,nb: integer; t:tab; procedure saisie(var n:integer); begin repeat write('Entrez le nombre dont vous voulez la decomposition : '); readln(n); until n>0; end;
Chapitre N°5 : Les algorithmes arithmétiques Lycée Secondaire Errafèha Mnihla Prof : Mahmoud Ezzeddine 2 Procedure decomposition(var t:tab;n:integer;var nb:integer); var d:integer; begin nb := 0; d := 2; While (n <> 1) do Begin if ((n mod d) = 0) then begin t[nb + 1] := d; n := n div d; nb := nb + 1; end else d := d + 1; End; End; Procedure affichage(t:tab;nb:integer); var i:integer; Begin for i:=1 to nb-1 do write(t[i], '*'); writeln(t[nb]); end; begin saisie(n); decomposition(t,n,nb); affichage(t,nb); End. II.Le calcul du factoriel Le factoriel d'un entier n est noté par : n ! = n*(n-1)*(n-2)*...*3*2*1 Exemple : 5 ! = 5*4*3*2*1 = 120 Exercice : Ecrire un programme qui permet de : Saisir deux entiers strictement positifs n et p tel que n>p Calculer et afficher !()npnAnp!
Chapitre N°5 : Les algorithmes arithmétiques Lycée Secondaire Errafèha Mnihla Prof : Mahmoud Ezzeddine 3 program arrange; uses wincrt; var n,p:integer; procedure saisie(var n,p:integer); begin repeat write('n=');read(n); write('p=');read(p); until (n>0) and (n>p); end; function fact(n:integer):longint; var i:integer; f:longint; begin f:=1; for i:=1 to n do f:=f*i; fact:=f; end; function arrangement(n,p:integer):real; begin arrangement:=fact(n)/fact(n-p); end; begin saisie(n,p); write('a=',arrangement(n,p):3:3); end.
Chapitre N°5 : Les algorithmes arithmétiques Lycée Secondaire Errafèha Mnihla Prof : Mahmoud Ezzeddine 4 Exercice 1 : Les nombres parfaits Soit n un entier naturel. On dit que n est un nombre parfait ssi la somme de ses diviseurs vaut 2.n. On dit que n est un nombre parfait ssi la somme de ses diviseurs stricts vaut n. Exemples : les premiers entiers parfaits sont 6 et 28. Propriétés Soit a un entier naturel. Si a s'écrit sous la forme 2n. (2n+1 - 1) et si 2n+1 - 1 est premier, alors a est parfait. On s'aperçoit ainsi que 6 = 21. (21+1 - 1) et 28 = 22. (22+1 - 1) car 3 et 7 sont premiers. Les dérivés des nombres parfaits Nombres "presque parfaits " Soit n un entier naturel. On dit que n est un nombre "presque parfait " si la somme de ses diviseurs vaut 2.n -1. Toute puissance de 2 est un nombre presque parfait. Ecrire un algorithme d'une fonction parfait qui permet de vérifier si un élément d'une matrice carrée d'entiers, M, est parfait ou non. Solution : 0) Fonction Parfait (M : matrice; n, i, j : entier) : Booléen 1) Parfait Faux 2) Pour k de 1 à M [i, j]-1 faire Si M [i, j] mod k = 0 Alors S S + k Fin Si Fin Pour 3) Si S = M [i, j] Alors Parfait Vrai Fin Si 4) Fin Parfait Appeler cette fonction dans un module qui permet d'afficher tous les éléments parfaits de la matrice M. Solution : 0) Procédure Affichage (M : matrice; n, i, j : entier) 1) Pour i de 1 à n Faire Pour j de 1 à n Faire Si Parfait (M, n, i, j) Alors Ecrire (M [i, j]) Fin Si Fin Pour Fin Pour 2) Fin Affichage
Chapitre N°5 : Les algorithmes arithmétiques Lycée Secondaire Errafèha Mnihla Prof : Mahmoud Ezzeddine 5 Exercice 2 : Deux nombres a et b sont dits nombres jumeaux si : a et b sont premiers a = b + 2 Ecrire un algorithme 'une fonction Jumeaux permettant de tester si deux entiers a et b sont jumeaux ou non. Exemples : Pour a = 7 et b = 5, On a : 7 et 5 sont premiers et 7 = 5 + 2, donc sont jumeaux Pour a = 17 et b = 11, On a : 17 et 11 sont premiers mais 17 11 + 2, donc ne sont pas jumeaux 0) Fonction Premier (a : entier) : Booléen 1) P Vrai, i 2 2) Répéter Si a mod i = 0 Alors P Faux Sinon i i + 1 Fin Si Jusqu'à (non P OU (i=a)) 3) Premier P 4) Fin Premier 0) Fonction jumeaux (a, b) : Booléen ; 1) Jumeaux Faux Si (Premier (a) ET (Premier (b) ET (a = b + 2)) Alors Jumeaux Vrai Fin Si 2) Fin Jumeaux Exercices 3 : nombres Amis Deux nombres a et b sont dits amis si la sommes des diviseurs stricts de a égale à b et la sommes des diviseurs stricts de b égale à a. exemples : 220 et 284 Ecrire une fonction permettant de tester si deux entiers naturels sont amis ou non.
Chapitre N°5 : Les algorithmes arithmétiques Lycée Secondaire Errafèha Mnihla Prof : Mahmoud Ezzeddine 6 function amis(m,n:integer):boolean; Var sn,sm:integer; begin amis:=false; sn:=0; for i:=1 to n-1 do i mod i=0 then sn:=sn+i; sm:=0; for i:=1 to m-1 do if m mod i=0 then sm:=sm+i; if ((sn=m) and (sm=n)) then amis:=true; end;
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