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DEVELOPPEMENTS LIMITÉS USUELS Le développement limité de MAC LAURIN au voisinage de x = 0 à l'ordre "n" pour une fonction "f" indéfiniment 



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DEVELOPPEMENTS LIMITÉS USUELS Le développement limité de MAC LAURIN au voisinage de x = 0 à l'ordre "n" pour une fonction "f" indéfiniment 



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Les développements limités ci-dessous sont valables quand x tend vers 0 et uniquement dans ce cas Formule de Taylor-Young en 0 f(x) = x→0 n ∑ k=0 f(k) (0)



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intégration : toute primitive de f admet un développement limité d'ordre n + 1 en 0 , dont le polynôme de Taylor est une primitive de celui de f 8 Page 10 Maths en  



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dit que f admet un développement limité à l'ordre n en x0, en abrégé DLn(x0), s'il existe des réels a0, ··· ,an et une fonction ε : I → R tels que : pour tout x ∈ I, f(x) 



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1 3 1 Notion sur les développements limités Une fonction f(x) définie au voisinage de x = x0 admet un développement limité d'ordre n, si il existe un polynôme 



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Avec une formule de Taylor à l'ordre 2 de 1 + x, trouver une approximation de 1, 01 Idem avec ln(0, 99) 2 Développements limités au voisinage d'un point 2 1



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Le premier terme du développement limité est un équivalent de la fonction On reconnaît ainsi sans difficulté les équivalents usuels en 0 de sin x, ln(1 + x), ex − 1,



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Tous les DL usuels suivants sont au voisinage de x = 0 Les développements limités se regroupent presque tous en deux familles A) Famille exponentielle



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Les développements limités ci-dessous sont valables quand x tend vers 0 et uniquement dans ce cas ex = x→0 1 + x + x2 2 + + xn n + o (xn) = x→0 n ∑



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On dit que f admet un développement limité (d l ) d'ordre n au voisinage de 0 si il existe un polynôme d'ordre n tel que pour tout x de I (sauf peut-être 0) :

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