Développements limités 2008-2010 Développements limités Table des matières I Fonction exponentielle 2 I 1 Développement limité d'ordre 1
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fonction f admet un développement limité d'ordre n en a, si et seulement si g Maths en Ligne Développements limités UJF Grenoble cosh(x) = ex + e−x 2
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Une idée du comportement de la fonction f (x) = exp x autour du point x = 0 est donné faire un développement limité à l'ordre 2 de la fonction f Bien sûr si l'on
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/(n) (0) + xne (x) avec lim †—0 e(x) = 0 on obtient , au voisinage de 0 , les développements limités suivants : fonction développement limité fonction usuelle 1
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f admet un développement limité au voisinage de x0 à l'ordre n si f est de la forme : f(x) = a0 + Donner le développement limité de exp(cos(x)) à l'ordre 4 en 0
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Développements limités 2008-2010 Développements limités Table des matières I Fonction exponentielle 2 I 1 Développement limité d'ordre 1
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On en déduit donc par passage à la limite la formule de la série exponentielle : lim On dit que f admet un développement limité d'ordre n au voisinage de 0 s'il
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dit que f admet un développement limité à l'ordre n en x0, en abrégé DLn(x0), s'il + h3ε1(h)) Pour trouver le DL de ex en 1, on remplace h par x − 1 ex = e(x +
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Développement limité Donner le DL de 1 1 + e2x 2 ≤ x2 (f (b) − f (a)) ≤ exp (1 x ) Les limites lim x→+∞ exp (1 x ) = 1 et lim x→+∞ x2 (x + 1) 2 = 1 ; lim
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Théorème 1 Si la fonction f admet un développement limité d'ordre n en 0 (resp x0, resp On a ∀n ⩾ 0, exp(n)(0) = exp(0) = 1, d'où : ex =1+ x + x2 2 + x3 3
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22 avr 2013 · connaître par coeur les développements limités usuels pratique, ces courbes vont « coller » à celle de l'exponentielle de plus en plus
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BTS DOMOTIQUEDéveloppements limités2008-2010
Développements limités
Table des matières
I Fonction exponentielle2
I.1 Développement limité d"ordre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 2
I.2 Développement limité d"ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 2
I.3 Développement limité d"ordre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 3
I.4 Interprétation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 4
II Dévéloppements limités4
II.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 4
II.2 Dévéloppements limités usuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 5
II.3 Opérations algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 5
II.4 Composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 6
II.5 Dérivation et intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 6
http://nathalie.daval.free.fr-1- BTS DOMOTIQUEDéveloppements limités2008-2010I Fonction exponentielle
On chercha à approximer la fonctionx→exp(x) par des fonctions successivement du premier, deuxième et
troisième degré.On posef(x) =e
x, fonction dérivable autant de fois que l"on veut surR.I.1 Développement limité d"ordre1
Propriété 1
Au voisinage de 0,e
x= 1 +x+x?(x) où limx→0?(x) = 0. En effet, La définition du nombre dérivé de la fonctionfen 0 nous donne : f(x) =f(0) +f ?(0)x+x?(x) où limx→0x= 0Or, on a :
?f(x) =exdoncf(0) = 1 f ?(x) =exdoncf?(0) = 1D"où le résultat trouvé dans la propriété.I.2 Développement limité d"ordre2
Propriété 2
Au voisinage de 0,e
x= 1 +x+x 2 2+x2?(x) où limx→0?(x) = 0.
On peut démontrer cette propriété grâce, entre autre, à des intégrations successives :
La fonction exponentielle étant croissante surR, on a : ?t?[-1 ; 1 ], e On intègre cette double inégalité de 0 àxpourx?[-1 ; 1 ] : ?x 01 ?x 0 ?x 0 e dt ?t e ?x0 x On intègre à nouveau cette double inégalité de 0 àtpourt?[-1 ; 1 ] : ?t 0x ?t 0 ?t 0 ex dx ?x2 2e ?t0 ?ex2 2 ?t0 t2 2 2 http://nathalie.daval.free.fr-2- BTS DOMOTIQUEDéveloppements limités2008-2010 On intègre une dernière fois cette double inégalité de 0 àxpourx?[-1 ; 1 ] : ?x 0t2 ?x 0 ?x 0et2 2dt ?t3 6e ?x0 et-t 2 2-t ?x0 ?et3 6 ?x0 x3 x-x 2 3 6Pourx?= 0, on pose?(x) =e
x- ?x22+x+ 1
x2. D"après l"inégalité précédente,x2étant positif, on obtient :xOr, lim
x→0 x6e= limx→0
ex6e= 0 donc, d"après le théorème des gendarmes : limx→0?(x) = 0.
D"où la conclusion :
?x?[-1 ; 0 [?] 0 ; 1 ], e x= 1 +x+x 2 2+x2?(x) où limx→0?(x) = 0.
I.3 Développement limité d"ordre3
Propriété 3
Au voisinage de 0,e
x= 1 +x+x 2 2+x 3 6+x3?(x) où limx→0?(x) = 0.
On intègre de nouveau la dernière inégalité trouvée précédemment de 0 àtpourt?[-1 ; 1 ] :
?t 0x3 ?t 0? ex-x 2 2-x-1 ?t 0ex3 6dx ?x4 24e?t0 ex-x 3 6-x 2 2-x ?t0 ?ex4 24
?t0 t4 t-t 3 6-t 2 4 24
Pourt?= 0, on pose?(t) =e
t- ?t3 6+t 22+t+ 1
t3. D"après l"inégalité précédente, on obtient : t etOr, lim
t→0 t24e= limt→0
et24= 0 donc, d"après le théorème des gendarmes : limt→0?(t) = 0.
D"où la conclusion :
?t?[-1 ; 0 [?] 0 ; 1 ],e t= 1 +t+t 2 2+t 3 6+t2?(t) où limt→0?(t) = 0.
http://nathalie.daval.free.fr-3- BTS DOMOTIQUEDéveloppements limités2008-2010I.4 Interprétation graphique
Graphiquement, on obtient à différents ordres des approximations de la fonction exponentielle au voisinage
de 0. Plus l"ordre est élevée, meilleure est l"approximation!1 2-1-2-3
123y= exp(x) y= 1 +x y= 1 +x+x 2 2 y= 1 +x+x 2 2+x 3 6