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Al9ahira 1ère Partie Une première étude des équations différentielles (Eλ) et ( Fλ) Soit λ un nombre réel 1 1 Rappeler la structure de l'ensemble des solutions  

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l'étudiant en lui présentant l'un des plus larges choix de livres universitaires Ainsi, après de nombreuses années d'adaptation continue à la demande de 

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Présidence du Concours National Commun

École

CONCOURS NATIONAL COMMUN

d'admission dans les Établissements de Formation d'Ingénieurs et Établissements Assimilés

Session 2012

ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES I

Filière TSI

Durée 4 heures

Cette épreuve comporte 5 pages au format A4, en plus de cette page de garde

L'usage de la calculatrice est interdit

Concours National Commun - Session 2012 - Filière TSI L"énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filièreTSI, comporte 5 pages.

L"usage de la calculatrice estinterdit.

Les candidats sont informés que la qualité de la rédaction et de la présentation, la clarté et la

précision des raisonnements constitueront des éléments importants pour l"appréciation des copies.

Il convient en particulier de rappeler avec précision les référencesdes questions abordées.

Si, au cours de l"épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d"énoncé, il le

signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu"il est amené à prendre.

Fonctions de Bessel et équations de Kepler

Le sujet est composé de quatre parties; il traite quelques aspects des équations et fonctions de

Bessel, et propose une étude de l"équation deKepler.

Les deux premières parties du sujet sont indépendantes entre elles; la troisième partie traite

des fonctions deBesselet utilise des résultats des deux parties qui la précèdent. La quatrième

partie, consacrée à l"étude de l"équation deKepler, est indépendante des trois autres à l"exception

du résultat concernant l"expression intégrale deJn, fonction deBesseld"indicen2N.

Définitions et rappels

Dans ce sujet,Ck(I;R),k>1, désigne l"espace vectoriel des fonctions de classeCkdéfinie sur un intervalleIdeRet à valeurs réelles. Pour tout réel, on note(E)et(F)les équations différentielles suivantes : x

2y00+xy0+ (x22)y= 0 (E);xy00+ (2+ 1)y0+xy= 0 (F):

Par "solutions d"une équation différentielle" on fait référenceaux solutions à valeurs réelles.Al9ahira1

èrePartie

Une première étude des équations différentielles(E)et(F)

Soitun nombre réel.

1.1.Rappeler la structure de l"ensemble des solutions sur]0;+1[de l"équation différentielle(E);

faire de même pour l"équation(F).

1.2.Soitzune fonction définie sur]0;+1[; on posey(x) =xz(x),x2]0;+1[.

1.2.1.Justifier quezest deux fois dérivable sur]0;+1[si, et seulement si,yl"est aussi.

1.2.2.Montrer que la fonctionyest solution sur]0;+1[de l"équation différentielle(E)si, et

seulement si, la fonctionzest solution sur]0;+1[de l"équation différentielle(F).

1.3.Dans cette question, on prend=1=2.

1.3.1.Déterminer l"ensemble des solutions sur]0;+1[de l"équation différentielle(F1=2).

1.3.2.En déduire l"ensemble des solutions sur]0;+1[de l"équation différentielle(E1=2).

1.4.Préciser l"ensemble des solutions sur]0;+1[de l"équation différentielle(E1=2)puis en déduire

l"ensemble des solutions sur]0;+1[de l"équation différentielle(F1=2).Épreuve de Mathématiques I 1/5http://al9ahira.wordpress.com

Concours National Commun - Session 2012 - Filière TSI

1.5.SoitP

n>0a nxnune série entière à coefficients réels et de rayon de convergenceR >0. Pour toutx2]0;R[, on pose z(x) =+1X n=0a nxn:

1.5.1.On suppose que la fonctionzest solution sur]0;R[de l"équation différentielle(F).

Montrer que(2+ 1)a1= 0;

a k1+ (k+ 1)(2+k+ 1)ak1= 0; k>1:

1.5.2.On suppose que =2N. Si la fonctionzest solution sur]0;R[de l"équation différentielle

(F), montrer que pour toutp2N, a

2p=(1)p2

2pp!Q

16k6p(+k)a0:

1.6.Montrer alors que si =2N, l"équation différentielle(F)possède une unique solutionz

de la forme z (x) =+1X n=0

2nx2n:

avec0= 1; préciser, pour toutk2N, l"équation du coefficient2kà l"aide deetk. Quel est le rayon de convergence de cette série entière?

1.7.On suppose quen"est pas un entier( =2Z).

1.7.1.Justifier que l"équation différentielle(F)admet elle aussi une unique solutionzde

la forme z (x) =+1X n=0 2nx2n

avec0= 1, dont on précisera les coefficients2k. Quel est le rayon de convergence de cette série

entière?

On pose alorsy(x) =xz(x)ety(x) =xz(x),x2]0;+1[.

1.7.2.Montrer que les fonctionsyetysont des solutions sur]0;+1[de l"équation diffé-

rentielle(E).

1.7.3.Montrer que la famille(y;y), d"éléments deC2(R;R), est libre et donner la forme

générale des solutions, sur]0;+1[, de l"équation différentielle(E).Al9ahira2

èmePartie

Une fonction définie par une intégrale

Soitun réel vérifiant2 >1.

2.1.Montrer que, pour tout réelx, la fonction7!eixcossin2est intégrable sur l"intervalle

]0;[.

Dans la suite, on pose

f (x) =Z 0 eixcossin2d; x2R:Épreuve de Mathématiques I 2/5http://al9ahira.wordpress.com Concours National Commun - Session 2012 - Filière TSI

2.2.Montrer que, pour tout réelx,f(x) = 2Z

2

0cos(xcos)sin2d; en particulier la fonction

f est à valeurs réelles.

2.3.Montrer que la fonctionfest de classeC1surRet donner, pour tout entier naturelpet

tout réelx, une expression def(p) (x)sous forme intégrale.

2.4. Une solution de l"équation différentielle(F)

2.4.1.Montrer quef00=f+1f.

2.4.2.À l"aide d"une intégration par partie, montrer quexf+1(x) = (2+ 1)f0(x),x2R.

2.4.3.En déduire que la fonctionfest solution surRde l"équation différentielle(F).Al9ahira3

èmePartie

FonctionsJdeBessel

On rappelle que la fonctiond"Eulerest définie, pour toutx >0, par :(x) =Z +1 0 tx1etdt.

3.1.Soitpun réel strictement positif.

3.1.1.Montrer que(p+ 1) =p(p).

3.1.2.Donner la valeur de(n)pour tout entier naturel non nuln.

3.1.3.Montrer que(p)>0.

Dans la suite, on admet que pour tout couple(p;q)de réels strictement positifs, (p)(q) = 2(p+q)Z 2

0cos2p1sin2q1d:(1)

3.2.Calculer(12

)et montrer que, pour tout entier natureln,(n+12 ) =(2n)!p 2

2nn!. On pourra

utiliser le résultat de la question 3.1.1.

Pour tout réel >12

, on noteJla fonction deBesseld"ordre, définie sur]0;+1[par J (x) =1( 12 )(+12 x2 f(x); x >0; f étant la fonction définie dans la deuxième partie;Jest donc une fonction de classeC1sur ]0;+1[.

3.3.Montrer queJ12

(x) =q2 sinxpx ; x >0, et en déduire un équivalent deJ12 en0+.

3.4. Expression deJsous la forme de la somme d"une série de fonctions

3.4.1.Justifier que pour tout >12

, la fonctionJest solution sur]0;+1[de l"équation différentielle(E).

3.4.2.On suppose que >12

et que =2N. ExprimerJen fonction dey.Épreuve de Mathématiques I 3/5http://al9ahira.wordpress.com

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3.4.3.Ici on suppose seulement que >12

. En utilisant le développement en série entières de la fonction cosinus, montrer que J (x) =x2 +1X k=0(1)kk!(+k+ 1) x2

2k; x >0:

On justifiera que, pour toutx >0fixé, la suite numérique +1P k=nx

2k(2k)!

n>1tend vers0et on

prouvera qu"on peut intégrer terme à terme la série de fonctions mise en jeu dans la question.

3.5. Une autre expression intégrale deJn; n2N

3.5.1.Montrer que, pour tout(n;m)2N2,12Z

(eiei)n+2meind= (1)mn+ 2mm

3.5.2.Soitx >0. Justifier que, pour tour réel,eixsin=+1X

k=01k! x2 k(eiei)kpuis en déduire que J n(x) =12Z eixsinind; n2N:

On justifiera qu"on peut intégrer terme à terme la série de fonctions mise en jeu dans la question.

3.5.3.Montrer que, pour tout réelx >0et toutn2N,Jn(x) =1

Z 0 cos(nxsin)d.Al9ahira4

èmePartie

Application à l"étude de l"équation deKepler En mécanique céleste, les lois deKeplermontrent que les trajectoires des planètes sont des

ellipses dont le soleil occupe l"un des foyers; ces trajectoires sont décrites selon la loi des aires

r

2ddt=C(constante des aires), oùretsont des coordonnées polaires d"origineS(soleil) ettest

le temps. On montre que, par un choix convenable de l"origine et de l"unité de temps, la loi des aires est

équivalente à l"équation

v=t+"sinv;(2)

dite deKepler, oùvreprésentel"anomalie excentrique, paramètre angulaire commode pour définir

la position d"une planète dans son orbite elliptique,treprésente une variable proportionnelle au

temps et"est l"excentricité de l"ellipse (voir figure de la dernière page).

L"objet de cette dernière partie du sujet est d"étudier l"équation (2) et de fournir une expression

deven fonction de"et detà l"aide d"une méthode due àBesselqui introduisit dans ce but les fonctions qui portent son nom.

Soit donc"2]1;1[.

4.1.On note'la fonction définie surRpar

'(x) =x"sinx; x2R:

4.1.1.Montrer que la fonction'est unC1-difféomorphisme deRsurR, c"est-à-dire que

':R7!Rest bijective, de classeC1et son inverse est aussi de classeC1.Épreuve de Mathématiques I 4/5http://al9ahira.wordpress.com

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4.1.2.En déduire qu"il existe une unique fonctionv:R7!R, de classeC1telle que, pour

toutt2R, v(t) =t+"sin(v(t)):

4.2. Premières propriétés de la fonctionv

4.2.1.Montrer quev(0) = 0et quev() =.

4.2.2.Montrer que la fonctionvest impaire.

4.2.3.Montrer que, pour toutt2R,v(t+ 2) =v(t) + 2et en déduire que la fonction

:t7!v(t)test2-périodique.

4.3. Expression devfaisant intervenir une série deFourierde la variablet

On rappelle que la fonction :t7!v(t)t, définie surR, est2-périodique, de classeC1et impaire. On note(an)n2Net(bn)n2Nles suites de ses coefficients deFouriertrigonométriques.

4.3.1.Préciser la valeur deanpour toutn2N.

4.3.2.Pour tout entiern2N, exprimer le coefficientbnsous forme d"une intégrale faisant

intervenir la fonction puis montrer que b n=2n Z 0 cos(nun"sinu)du:

4.3.3.Montrer que, pour tout réelt,v(t) =t+ 2+1X

n=1J n(n")n sin(nt).

4.3.4.Justifier la convergence de la sérieX

n>1(Jn(n"))2n

2et déterminer sa somme.Figure : Ellipse de Kepler et anomalie excentrique v.

Fin de l"épreuveAl9ahira

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