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Un objet immobile ou un objet en rotation à vitesse angulaire constante est en équilibre de rotation Page 3 3 CENTRE GÉOMÉTRIQUE, MOMENT D'INERTIE a) 

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K : Énergie cinétique de translation (J) m : Masse de l'objet (inertie de translation) (kg) v : Vitesse de l'objet (m/s) Lorsqu'un corps effectue une rotation à vitesse 

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18 déc 2020 · A) Moments de surface (moment d'inertie statique ou quadratique) chaque atome de l'objet), on facilitera les calculs pratiques en adoptant 

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compte de cet aspect géométrique, on introduit la notion de moment d'inertie II THEORIE Considérons un solide en rotation autour de l'axe Z avec une vitesse 

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23 sept 2012 · (x2 + y2) · dm , moment d'inertie du solide par rapport `a (O, #»z) Moments et produits d'inertie Moments d'inertie - Moment d'inertie par rapport 

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forces qui interagissent avec les objets de la scène et à calculer L'inertie est la résistance d'un objet au changement de vitesse La masse d'un corps est la 

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représente la masse totale du cylindre et R0 le grand rayon, r0 le petit rayon La définition du moment d'inertie I = dm r2 fournit le résultat final en consultant 

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On considère que pour tous les solides ci – dessous, la répartition de la masse est homogène en surface ou en volume Soit une tige de masse m et de 

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Le moment d'inertie par rapport à l'axe perpendiculaire au plan du solide est égal à la somme des moments par rapport aux deux axes du plan du solide X Y 

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Cinetique

Masse et inertie

Papanicola

Lycee Jacques Amyot

23 septembre 2012Sommaire

Cinetique

Masse et inertie

Masse

Conservation de la masse

Centre d'inertie

Centre d'inertie d'un ensemble

de corps

Theoremes de Guldin

Moments et produits d'inertie

Moments d'inertie

Moment d'inertie par rapport

a un pointMoment d'inertie par rapport a un point

Moment d'inertie par rapport

a une droite

Rayon de giration

Moments d'inertie dans un

repere cartesien

Relations

Theoreme de Huygens

Relation entre les moments

d'inertie par rapport a deux droites paralleles

Produits d'inertieCinetique

En premiere annee nous avons debute l'etude de la mecanique du solide par la cinematique du solide puis par la statique des solides. I La cinematique est l'etude et la caracterisation des mouvements d'un solide, I la statique correspond a l'etude de l'equilibre statique (sans mouvement) d'un solide soumis a des actions mecaniques exterieures. I Ces deux etudes se sont appuyees sur la modelisation du mecanisme (liaisons). Nous allons completer ce cours par la dynamique du solide, c'est a dire l'etude du mouvement des solides avec leur masse et inertie soumis a des actions mecaniques exterieures, en commencant par denir les notions de masse et d'inertie et la cinetique.Masse et inertie

Notions d'inertie

L'inertie caracterise la resistance qu'oppose un corps par sa nature propre a une variation de mouvement (passer de l'arr^et au mouvement ou le contraire. Ainsi, nous savons, par l'experience, qu'il est plus"dicile» d'accelerer ou de freiner un camion qu'une moto. Pour un mouvement de translation, la masse sut pour denir cette quantite, par contre pour un mouvement de rotation, il est necessaire de preciser la repartition de cette masse. Lacinetiqueest l'etude des caracteristiques d'inertie d'un solide.

Masse et inertie

Masse La masse caracterise la quantite de matiere d'un systeme "materiel», c'est une grandeur completement additive.

Soit,

1,2deux systemes materiels disjoints alors :

m(1[2) =m(1) +m(2) (1) avec

1\26=.

La massemde l'ensemble est denie par :

m =Z dm=Z V (P)dv(2) avec(P) masse volumique au pointPetdvun element de volume.Masse et inertie Masse

Masse volumique :

S il esy stemem ateriele sta ssimilable aun

volume, on parle de masse volumique(P) au pointP: dm=(P)dv;

Masse surfacique :

S il esy stemem ateriele stas similable aun e

surface on parle de masse surfacique(P) au point P : dm=(P)ds;

Masse lineique :

S ile sy stemema terielest as similable aun eli gne, on parle de masse lineique(P) au point P : dm=(P)dl:Masse et inertie Masse On admet en mecanique classique que la masse est une grandeur independante du temps, ainsi pour deux instantst1ett2 quelconque : m(;t1) =m(;t2):(3)

On en deduit une relation importante :

2 4 ddt Z

P2#

f(P;t)dm3 5 R=Z P2 ddt # f(P;t) R dm:(4) qui permet d'inverser la derivation par rapport au temps et l'integration par rapport a la masse.Masse et inertie

Centre d'inertie

On appelle centre d'inertie du systeme materiel , le point G deni par :Z

P2#

GPdm=#0:(5)

En faisant intervenir le pointO, la relation devient Z # GOdm+Z # OPdm=#0 avecZ # OPdm=m# OG nalement OG=1m Z

P2#

OPdm(6)

Masse et inertie

Centre d'inertie - Centre d'inertie dans un repere cartesien

Dans un repere cartesien, on note (xG;yG;zG) les coordonnees de# OGet (x;y;z) les coordonnees de# OP, on peut donc ecrire :

x G=1m Z xdm, y G=1m Z ydm, z G=1m Z zdm:Masse et inertie

Centre d'inertie - Proprietes du centre d'inertie

I Si le systeme materiel est un solide indeformable, le centre d'inertie est un point xe du solide; I Si le systeme materiel possede un element de symetrie materielle, plan ou axe de symetrie, aussi bien du point de vue geometrique que du point de vue de la repartition des masses, le centre d'inertie appartient a cet element de symetrie; I Le centre d'inertie est confondu avec centre de gravite dans le cas d'un champ de pesanteur uniforme.Masse et inertie Centre d'inertie - Centre d'inertie d'un ensemble de corpsUn ensemble materiel est compose den sous-ensembles materiels i.

A chaque sous-ensemble

i est associe sa massemiet son centre d'inertieGi, alors OG=1m n X i=1m i# OGi: (7)G G 1G 2G iG n 1 2 i nLe centre d'inertie d'un ensemble de corps est le barycentre des centres d'inertie. Si les corps sont des solides indeformables immobiles les uns par rapport aux autres, le centre d'inertie de l'ensemble est xe dans un repere lie a cet ensemble.Masse et inertie Centre d'inertie - Theoreme de Guldin 1- Centre d'inertie d'une courbe plane() (C)dlr rr

GGSoient (C) une courbe du plan (P) et

() une droite du plan ne coupant pas (C).

L'aire de la surface engendree par la

rotation de la courbe (C) autour de la droite () est egal au produit de la longueur de la courbeLpar le perimetre decrit par son centre d'inertie 2rG.

S= 2rGL(8)

Masse et inertie

Centre d'inertie - Theoreme de Guldin 1- Centre d'inertie d'une courbe plane On associe a la courbe (C) une masse linequeconstante,dm=dl d'ou la masse totale de la courbemc=L. La position du centre d'inertie de la courbe est calculee par la relation generale :mc# OG=Z

C# OPdm

Cette relation devient :L# OG=Z

C# OPdl:

Apres simplication puis en ne prenant que la projection suivant #r:

L# OG=Z

C# OPdl)LrG=Z

C rdl Calculons maintenant la surface engendree par la rotation de la courbe : S=Z S rddl=Z 2 0 dZ C rdl= 2Z C rdlEn substituant Z C rdl=LrGdans cette egalite on retrouve bien le resultat cherche.Masse et inertie Centre d'inertie - Centre d'inertie d'une surface plane() (C)(C)dsr rr

GGSoient (S) une surface du plan (P) et ()

une droite du plan ne coupant pas (S).

Le volume engendre par la rotation de la

surface plane tournant autour de l'axe () est egal au produit de l'aire de la surface par la longueur du perimetre decrit par son centre d'inertie.

V= 2rGS(9)Masse et inertie

Centre d'inertie - Centre d'inertie d'une surface plane On demontre cette egalite comme la precedente. On associe a (S) une masse surfaciquedm=dsconstante etmS=S.

Par denition :mS# OG=Z

S# OPdm)S# OG=Z

S# OPds

soit en projectionSrG=Z S rds Le volume engendre par la rotation de la surface (S) s'ecrit :V=Z v rdds=Z 2 0 dZ S rds= 2Z S rds d'ou la relation cherchee :V= 2rGS:Moments et produits d'inertie

Moments d'inertie

La masse sut pour caracteriser l'inertie dans le cas d'un mouvement de translation. Pour un mouvement de rotation ou un mouvement plus complexe, il faut prendre en compte la repartition de cette masse sur le solide. Les moments et produits d'inertie caracterisent cette repartition.

Moments et produits d'inertie

Moments d'inertie - Moment d'inertie par rapport a un point On appelle moment d'inertie du solide S par rapport a un point A la quantite positive : I

A(S) =Z

S# AP2dmkgm2)

avec : S un solide, A un point, P un point du solide etdmla quantite de matiere :# x# y# zP

AMoments et produits d'inertie

Moments d'inertie - Moment d'inertie par rapport a une droite On appelle moment d'inertie du solide S par rapport a une droite () la quantite positive I (S) =Z S ~^# AP

2dmkgm2:(10)#

x# y# z()P H A En faisant intervenir le point H,projection de P sur la droite () (dPdistance du point P a la droite()) la relation devient : I (S) =Z

S# HP2dm=Z

S d2Pdm: Le moment d'inertie par rapport a une droite est le m^eme en tout point de la droite.Moments et produits d'inertie

Moments d'inertie - Rayon de giration

Le moment d'inertie etant homogene au produit d'une masse par une distance au carre, il est toujours possible d'ecrire le moment d'inertie autour d'un axe d'un solide quelconque sous la forme :

I=MR2g

avecMla masse du solide etRgle rayon de giration.

Figure :

R ayond egi rationMoments et produits d'inertie

Moments d'inertie - Moments d'inertie par rapport a un point dansR

Soit un repereR(O;#x;#y;#z).

Un pointPde coordonneesx,y,zdansR.

Par denition on peut ecrire le moment d'inertie du solideSpar rapport au pointOa l'aide des coordonnees cartesiennes : I

O(S) =Z

S# OP2dm=Z

Sx2+y2+z2dm

Moments et produits d'inertie

Moments d'inertie - Moments d'inertie par rapport a un axe dansR Determinons le moment d'inertie du solideSpar rapport a l'axe (O;#x) : Par denition :I(O;#x)(S) =Z S #x^# OP 2dm=Z S (#x^(x#x+y#y+z#z))2dm I (O;#x)(S) =Z

Sy2+z2dm, moment d'inertie du solide par

rapport a (O;#x);

De m^eme :

I (O;#y)=Z

Sz2+x2dm, moment d'inertie du solide par rapport

a (O;#y); I (O;#z)=Z

Sx2+y2dm, moment d'inertie du solide par rapport

a (O;#z).Moments et produits d'inertie Moments d'inertie - Moment d'inertie par rapport au plan Par extension, on denit les moments d'inertie par rapport au plan : Moment d'inertie du solide par rapport au plan (O;#x;#y) : I (O#x#y)=Z S z2dm moment d'inertie du solide par rapport au plan (O;#y;#z) : I (O#y#z)=Z S x2dm moment d'inertie du solide par rapport au plan (O;#z;#z) : I (O#z#x)=Z S y2dmMoments et produits d'inertie Moments d'inertie - Relations entres les moments d'inertie Quelques relations entre les moments d'inertie d'un solide : I

IO=I(O#x#y)+I(O#y#z)+I(O#z#x)

I IO=12

I(O;#x)+I(O;#y)+I(O;#z)

I

I(O;#x)=I(O#x#y)+I(O#z#x)

I

I(O;#y)=I(O#x#y)+I(O#y#z)

I I(O;#z)=I(O#z#x)+I(O#y#z)Moments et produits d'inertie

Theoreme de Huygens

Soit un solideSde centre

d'inertieGet de massem, avec : I (1), une droite passant par

A de vecteur unitaire#;

I (2), une droite parallele passant parG; I d, la distance entre les deux droites. I

Hla projection du pointP

du solideSsur (1) I

Kla projection sur (2).#

x# y# z( 1)( 2)dP HK AG

On sait que :

I

I(A;#)=Z

S #^# AP 2dm I I (G;#)=Z S #^# GP 2dm,

Moments et produits d'inertie

Theoreme de Huygens

Cherchons une relation entreI(A;#)etI(G;#)nous savons que : I (A;#)=Z S #^# AP 2dm=Z

S# HP2dm

En faisant intervenir le pointK:I(A;#)=Z

S # HK+# KP

2dmsoit

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