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L'intensité de la force de pression qui agit sur une surface S est donnée par: Le piézomètre est un tube transparent, vertical ou incliné, connecté au fluide de poussée- la force est orthogonale à la paroi peut aider à calculer où est P (voir 

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Hydraulique des terrains

Séance 2 : Interaction fluide-structure

Guilhem MOLLON

GEO3 2012-2013

Plan de la séance

$B 3ULQŃLSHV GH O·LQPHUMŃPLRQ IOXLGH-structure

B. Force hydrostatique sur une paroi plane

C. Force hydrostatique sur une paroi gauche

D. Force hydrostatique sur un objet immergé

2 $B 3ULQŃLSHV GH O·LQPHUMŃPLRQ IOXLGH-structure

Séance 1

4 $B 3ULQŃLSHV GH O·LQPHUMŃPLRQ IOXLGH-structure On sait que cette force provient uniquement de la pression appliquée par le fluide. Pour caractériser une force, il nous faut déterminer - son intensité -> 1 scalaire - sa direction - son point G·MSSOLŃMPLRQ 5 - Intensité

à laquelle il est soumis est égale à :

- Direction surface, dans la direction normale à la surface. Si on considère par exemple le appliqué par le fluide est égal à : - Point G·MSSOLŃMPLRQ Il correspond au barycentre des surfaces élémentaires pondérées de la pression $B 3ULQŃLSHV GH O·LQPHUMŃPLRQ IOXLGH-structure 6

La force appliquée par le fluide sur un petit

élément de surface immergée est donc

exprimée par : Le signe " - » dans cette équation vient de la convention qui consiste à utiliser une normale sortante.

Cette formule ne fonctionne que

dans un cadre hydrostatique. Un liquide en mouvement est également capable structure immergée. $B 3ULQŃLSHV GH O·LQPHUMŃPLRQ IOXLGH-structure 7

Si on considère maintenant une surface non-

élémentaire plongée dans le même fluide, la somme vectorielle de toutes les forces élémentaires qui lui sont appliquées, soit : Ceci se ramène à une intégrale de surface :

La normale et la profondeur sont

différentes pour chaque facette et ne peuvent $B 3ULQŃLSHV GH O·LQPHUMŃPLRQ IOXLGH-structure

B. Force hydrostatique sur une paroi plane

Séance 1

9

On a montré que la résultante des forces de pression appliquées à une surface immergée se

calcule dans le cas le plus général par : peut donc écrire :

Ceci simplifie énormément le problème, car on intègre un scalaire sur une surface au lieu

B. Force hydrostatique sur une paroi plane

10 est le plus simple à résoudre. Soit une plaque de normale :

La force totale subie par cette surface est :

B. Force hydrostatique sur une paroi plane

11

Finalement, on doit calculer :

B. Force hydrostatique sur une paroi plane

12

B. Force hydrostatique sur une paroi plane

Et enfin :

On en conclut que :

la force appliquée à une paroi rectangulaire verticale est égale à la pression existant en son barycentre multipliée par sa surface. 13

B. Force hydrostatique sur une paroi plane

Ce résultat pouvait se retrouver facilement à partir du diagramme de pression : On peut généraliser sans démonstration cette formule à toute surface plane de forme La force appliquée par un fluide sur une surface plane est égale au produit de sa surface et de la pression qui règne en son barycentre. 14

B. Force hydrostatique sur une paroi plane

Grâce à cette méthode, le calcul de la résultante des forces de pression sur une paroi plane est très facile. Il suffit de suivre les étapes suivantes : - Calculer sa surface - Calculer la position de son barycentre, et évaluer sa profondeur - Calculer la pression régnant au niveau de ce barycentre - Calculer les composantes du vecteur unitaire normal à cette surface - Appliquer la formule vectorielle : Il faut en revanche faire très attention au point suivant : IH SRLQP G·MSSOLŃMPLRQ GH ŃHPPH UpVXOPMQPH Q·HVP pas le barycentre de la surface. Il est systématiquement situé à une plus grande profondeur. 15

B. Force hydrostatique sur une paroi plane

était positionné au barycentre des surfaces élémentaires pondérées de la pression

TX·HOOHV subissent.

Cette pondération est la raison pour

bas que le barycentre de la surface elle- même, puisque les pressions ne sont pas uniformes et sont plus importantes sur la partie inférieure.

On doit donc chercher le point

correspondant à un équilibre en rotation de la surface soumis à une distribution de pression. 16

B. Force hydrostatique sur une paroi plane

Dans le cas simple de la plaque rectangulaire verticale, on place le repère au barycentre de la pression. Ce point est également appelé centre de poussée C, et se trouve à une certaine distance en dessous du barycentre G. appliquée sur chaque " tranche » horizontale de profondeur h.

En équilibre des moments par rapport à G,

on doit vérifier :

Avec :

17

B. Force hydrostatique sur une paroi plane

On peut en déduire la profondeur du centre de poussée, qui se calcule comme suit :

Cette expression peut être généralisée à toute géométrie de surface verticale, en remplaçant

et par leur expression correspondante (qui dépend de la forme). 18

B. Force hydrostatique sur une paroi plane

Formulaire de surfaces, barycentres, et inerties : 19

B. Force hydrostatique sur une paroi plane

Formulaire de surfaces, barycentres, et inerties : 20

B. Force hydrostatique sur une paroi plane

Exercice 2 : excavation au tunnelier à pression de boue.

Indices :

C. Force hydrostatique sur une paroi gauche

Séance 1

22

C. Force hydrostatique sur une paroi gauche

Elle a donc une ou deux courbures :

constante sur la surface. 23

C. Force hydrostatique sur une paroi gauche

Puisque le vecteur est différent en chaque point de la surface, on peut écrire que ses trois

Pour calculer cette intégrale, il faut considérer indépendamment chacune des trois composantes de la résultante selon les trois directions 24

C. Force hydrostatique sur une paroi gauche

25

C. Force hydrostatique sur une paroi gauche

La composante horizontale dans la direction x de la résultante de pression appliquée à une surface quelconque S est égale à la poussée qui V·MSSOLTXHUMLP VXU XQH SURÓHŃPLRQ GH 6 VHORQ [B

Idem pour la composante horizontale selon y.

La composante verticale de la résultante de pression appliquée à une VXUIMŃH TXHOŃRQTXH 6 HVP pJMOH MX SRLGV GH OM ŃRORQQH YHUPLŃMOH G·HMX délimitée par S et par la surface libre. 26

C. Force hydrostatique sur une paroi gauche

Exercice 3 : stabilité G·XQ barrage voûte

D. Force hydrostatique sur un objet immergé

Séance 1

28

D. Force hydrostatique sur un objet immergé

La force hydrostatique appliquée sur un objet immergé est généralement appelée poussée G·$UŃOLPqGH. On considère une surface fermée constituant un corps solide immergé dans un liquide au repos. En plus de son poids, le définit comme suit :

Archimède

287-212 avant JC

IM SRXVVpH G·$UŃOLPqGH HVP XQH IRUŃH RULHQPpH GH NMV HQ OMXP GRQP OM volume immergé. entièrement immergé. 29

D. Force hydrostatique sur un objet immergé

Ce théorème peut se redémontrer

mathématiquement, à partir de la formule fondamentale suivante, où S est une surface fermée quelconque : traduction du fait que les pressions qui immergé sont plus importantes que celles de la partie supérieure.

Or les forces de pression appliquées en partie inférieure sont majoritairement orientées " vers

le haut », tandis que celles de la partie supérieure sont principalement orientées " vers le bas ».

coulent. 30

D. Force hydrostatique sur un objet immergé

Exercice 4 : stabilité G·XQH paroi mouléequotesdbs_dbs41.pdfusesText_41