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10 oct 2013 · cercle de centre A(2 − i) et de rayon 3 • cercle de diamètre [AB], avec A(−1+2i) et B(3 + 4i) • cercle d'équation complexe développée zz + iz

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Par exemple, x2 + y2 − 1 = 0 est l'équation cartésienne du cercle trigonométrique de P et son équation complexe est zz − 1 = 0 3 2 1 Equation complexe d'une

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Propriété : dans le plan complexe, considérons le cercle (C) de centre d'affixe et de rayon R On a : M (z)∈(C) ⇔ z= Rei , ∈ℝ On dit que

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v ) est un repère orthonormal direct du plan orienté T est la transformation d' écriture complexe z' = iz et C le cercle d'équation x² + y² - 2x = 0 1) Quelle est la

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Équation en complexes du type z-z1=z2 Objectif : Trouver l'ensemble Cercle de rayon 5 et de centre le point de coordonnées (0,-6) ou d'affixe -6 i Sources

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Feuille d"exercices n°5 : Complexes

PTSI B Lycée Eiffel

10 octobre 2013

Exercice 1 (*)

Écrire chacun des nombres complexes suivants sous forme algébrique et/ou trigonométrique. z= (1 + 2i)3z=41iz= (2 +i)21i4 +i z=ei374 z=p3ei6 z= (1ip3) 11 z= (2ei3 )5z=

2 +p3 + (2

p31)i2i! 17 z=e(1+i)ln(3)

Exercice 2 (*)

Pour chacun des nombres complexesasuivants, calculer l"inverse deaet résoudre l"équationz3=a. a=8i a=ei512 a= 2 + 11i a=i+p3 ip3

Exercice 3 (**)

Pour chacun des problèmes indépendants suivants, on essaira de faire deux résolutions : l"une par le

calcul, l"autre géométrique.

1. Déterminer les valeurs dezpour lesquellesz,1z

et1zont même module.

2. Déterminer les valeurs dezpour lesquellesz,z2etz4ont des images alignées dans le plan

complexe.

3. Trouver tous les nombres complexeszvérifiantjzj=jz4jetarg(z) = arg(z+ 1 +i).

4. Trouver tous les nombres complexeszpour lequels les images dez,ietizforment un triangle

équilatéral dans le plan complexe.

Exercice 4 (* à ***)

Résoudre dansCles équations suivantes :

1.z22z+ 5 = 0

2.iz2+ (23i)z+ 5i5 = 0

3.2z2+iz+ 1i= 0

4.z2=z

5.z42cos()z2+ 1 = 0

6.3z25jz2j+ 2 = 0

7.z4= 24i7

8.z=zn

9.4iz3+ 2(1 + 3i)z2(5 + 4i)z+ 3(17i) = 0(cette équation admet une racine réelle)

10.z4z3+z2z+ 1 = 0

Exercice 5 (**)

On considère l"équation(z+ 1)5= (z1)5.

1. Résoudre cette équation de façon bourrine en développant tout.

2. Résoudre cette même équation de façon subtile en utilisant les racines cinquièmes de l"unité.

3. En comparant les deux résultats obtenus, déterminer une valeur exacte decos25

etcos45

Exercice 6 (**)

Sipetqsont deux entiers naturels distincts, à quoi ressembleUp\Uq?

Exercice 7 (*)

Linéariser les expressions suivantes :cos6(x);sin2(x)cos3(x);cos(x)sin5(x). Exprimercos(5x)sin2(3x)en fonction de puissances decos(x); exprimersin(2x)+sin(4x)+sin(6x)+ sin(8x)en fonction decos(x)etsin(x).

Exercice 8 (***)

Simplifier les sommes suivantes :

nX k=0 n k cos(kx);nX k=0sin(kx)cos kx;n1X k=111e2ikn

Exercice 9 (* à **)

Démontrer les propriétés suivantes (questions indépendantes) :

1. Pour tous nombres complexesuetv,ju+vj2+juvj2= 2(juj2+jvj2)(identité du parallélo-

gramme).

2. Sijuj=jvj= 1etuv6=1, alorsu+v1 +uv2R.

3. Sijzj= 1, on a soitj1 +zj>1, soitj1 +z2j>1. Peut-on avoir les deux simultanément?

Exercice 10 (* à **)

Donner toutes les formes possibles de l"équation des cercles suivants (forme complexe factorisée

jzaj=r; forme complexe développéezzazaz+b= 0; forme cartésienne factorisée(xa)2+ (yb)2=r2; et forme cartésienne développéex2+y2+ax+by+c= 0). Préciser si nécessaire le centre et le rayon du cercle. cercle de centreA(2i)et de rayon3 cercle de diamètre[AB], avecA(1 + 2i)etB(3 + 4i) cercle d"équation complexe développéezz+iziz3 = 0 cercle d"équation cartésienne développéex2+y22x3y+ 9 = 0 cercle passant par les pointsA(1i),B(1i)etC(5i) cercle tangent aux axes réel et imaginaire, et passant par le pointA(6 + 7i) 2

Exercice 11 (* à ***)

On considère dans le plan complexe les pointsA(3+i);B(12i);C(1+3i)etD(2+2i). Déterminer l"affixe de chacun des objets géométriques suivants :

1. milieu du segment[BC]

2. vecteur

!AB2!AC

3. point d"intersection des droites(AC)et(BD)

4. barycentre du système((B;1);(C;2);(D;2))

5. vecteur directeur (normé) de la droite(CD), vecteur normal (normé) à la droite(AB)

6. points d"intersection du cercle de diamètre[AD]et de la droite(BC)

7. centre de gravité, orthocentre, centres des cercles inscrit et circonscrit du triangleABD

Exercice 12 (* à **)

Déterminer l"écriture complexe de chacune des transformations géométriques suivantes. translation de vecteur!u(32i) rotation de centreOet d"angle23 rotation de centreA(12i)et d"angle2 symétrie par rapport à la droite d"équation cartésienney=x symétrie par rapport au pointB(3i) homothétie de rapport12 et de centreC(2 +i) composée de ces deux dernières transformations Inversement, caractériser géométriquement chacune des applications complexes suivantes. f(z) =z3 f(z) = (1i)z+ 2i1 f(z) = 2z f(z) = 3z4i+ 2 f(z) =z+z 2 f(z) =iz+ 2i1

Exercice 13 (**)

On considère l"application du plan complexe dans lui-mêmef:z7!z2+z+ 1.

1. Déterminer les images parfdes nombres1,2i5etei4

2. Déterminer les antécedents parfde1 +i.

3. Déterminer les nombres complexes invariants parf.

4. Déterminer l"ensemble des nombres complexes ayant une image réelle parf.

5. Déterminer le lieu des pointsMalignés avec leur image parfet avec1.

Exercice 14 (**)

On considère l"applicationf:z7!z+ 1z2, et on noteA=Cnf2getB=Cnf1g.

1. Montrer quefréalise une bijection deAversB. Déterminer une expression simple de sa

réciproquef1.

2. Déterminer l"image réciproque deU(c"est-à-dire l"ensemble desztels quef(z)2U) et celle

du disque unitéfz2Cj jzj61g. 3

3. Déterminer les nombres complexesz2Utels quef(z)2U.

4. Quel est l"ensemble de définition de l"applicationff? Est-elle également bijective, et si oui,

vers quel ensemble?

Exercice 15 (***)

On considère dans cet exercice l"application définie surCparf(z) =1z

1. Montrer quefest bijective deCdans lui-même, et déterminer son application réciproque

f 1.

2. Déterminer les nombres complexeszpour lesquelsRe (f(z))>0. Interpréter géométriquement

le résultat obtenu.

3. Montrer sur un exemple que l"applicationfne conserve pas les milieux (autrement dit que

l"image parfdu milieu d"un segment[AB]n"est pas toujours le milieu du segment[f(A)f(B)]).

4. Déterminer l"image parfde l"axe réel et de l"axe imaginaire.

5. Montrer plus généralement que l"image parfd"une droite passant par l"origine est toujours

une droite passant par l"origine (mais privée du pointO).

6. On considère désormais la droite passant par les pointsA(1)etB(i). Montrer que l"image

de tout point de cette droite appartient à un cercle de centreC1i2 . Réciproquement, déterminer les points de ce cercle ayant un antécédent parfsur la droite(AB).

7. Généraliser en déterminant l"image d"une droite quelconque du plan complexe (ne passant pas

par l"origine).

8. Quelle est l"image parfd"un cercle passant par l"origine?

9. Déterminer l"image parfdu cercle trigonométrique, puis plus généralement celle du cercle de

centreOet de rayonr.

10. Déterminer enfin l"image d"un cercle ne passant pas par l"origine et n"étant pas centré enO.

Exercice 16 (****)

On souhaite colorier tout le plan complexe à l"aide de trois couleurs, par exemple le bleu, le rouge et

le vert (qui revient en fait à définir une fonction ayant pour ensemble de départCet pour ensemble

d"arrivée l"ensemble à trois élémentsfbleu; rouge; vertg). Peut-on effectuer ce coloriage de façon à

ce que deux points du plan complexe situés à distance1l"un de l"autre soient toujours de couleur

différente? 4quotesdbs_dbs41.pdfusesText_41

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