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Fiches de Révision

MP

TOME II - Mathématiques

Jean-Baptiste Théou

Creactive Commons - Version 0.1

Licence

J"ai décidé d"éditer cet ouvrage sous la licence Créative Commons suivante : CC-by-nc-sa.

Pour plus d"information :

http ://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.0/fr/. une utilisation commercial à mon insu par exemple. Pour plus d"information sur vos droits, consultez le site de Créative Commons i

Avant-propos

Il y a un plus d"un an, au milieu de ma SUP MP, j"ai décidé de faire mes fiches de révision à

l"aide de Latex, un "traitement de texte" très puissant. Il en résulte les fiches qui suivent. Je pense

que travailler sur des fiches de révision, totalement séparé de notre cours, est un énorme plus, et

réduit grandement la quantité de travail pour apprendre son cours, ce qui laisse plus de temps

pour les exercices. Mon experience en tout cas va dans ce sens, j"ai notablement progressé à l"aide

de ces fiches.

J"ai décidé de les rassembler sous forme d"un "livre", ou plutôt sous forme d"un recueil. Ce livre

à pour principal interet pour moi d"être transportable en cours. C"est cet interet qui m"a poussé à

faire ce livre. Dans la philosophie de mes fiches de révision, ce livre est disponible gratuitement et librement sur mon blog. Il est édité sous License Créative Commons. Vous pouvez librement adapter ce

libre à vos besoins, les sources Latex sont disponibles sur mon blog. Je pense que pour être en

accord avec la philosophie de ces fiches, il serai bien que si vous effectuez des modifications de mon ouvrage, vous rendiez ces modifications disponible à tous. Je laisserai volontiers une place pour vos modifications sur mon blog. Je pense sincèrement que ce serai vraiment profitable au plus grand nombre, et dans la logique de mon travail.

J"ai hiérarchisé mon ouvrage de façon chronologique. Les parties sont rangées dans l"ordre "d"ap-

parition" en MP, tout en conservant une certaine logique dans les parties. J"ai mis en Annexe des petites fiches de méthodologie, qui peuvent s"avérer utiles. Je vous souhaite une bonne lecture, et surtout une bonne réussite.

Jean-Baptiste Théou

PS : Pour toutes corrections, propositions, ou autre, merci de me contacter à : jbtheou@gmail.com ou par l"intermédiaire de mon site web. iii

Remerciements

Je tient à remercier Georges Marin, Professeur de Physique-Chimie en MP au Lycée Lesage et François Brunou, Professeur de Mathématiques en MP au Lycée Lesage.

Sans eux, ce livre ne pourrai exister.

v

Table des matières

Licencei

Avant-proposiii

Remerciementsv

I Révisions 11

1 Rappels et Compléments 13

1.1 Relations de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.1.1 Relations d"équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.1.2 Fonction module . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.1.3 Voisinage fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.1.4 Négligabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.1.5 Équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.1.6 Négligabilité et équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.1.7 Lien entre limite et somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.1.8 Signe et équivalent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.1.9 Domination - Grand O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.1.10 Dans le cas des suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.2 Fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.2.1 Fonctions continue sur un segments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.2.2 Fonctions continue par morceaux sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . .

16

1.2.3 Théorème des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.2.4 Inégalité des accroissement finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.2.5 Théorème de Rolles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.2.6 Théorème des valeurs intermédiaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.2.7 Lien entre limite et bornée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.2.8 Étude de Arctan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.2.9 Limite d"une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.2.10 Injectivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.2.11 Surjectivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.2.12 Bijectivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.2.13 Difféomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

1.3 Développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

1.3.1 Lien entre développement limité et dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . .

19

1.3.2 Position relative de la courbe par rapport à la tangente . . . . . . . . . . . .

19

1.3.3 Développement limités usuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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