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La formule de Biot et Savart est un outil de calcul et ne doit être utilisée que pour calculer l'induction magnétique créée par des circuits fermés • Pour un fil

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A - Cas d'un circuit fixe dans un champ magnétique dépendant du temps On peut alors en déduire la formule de Biot et Savart donnant le champ magnétique

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On observe l'apparition d'un courant induit dans un circuit fermé si : 1) l'intensité ou la direction d'un champ magnétique à travers ce circuit varie ; 2) la surface

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→ Pour tout circuit soumis a une variation de flux magnétique, il se crée à ses bornes une f e m e induite (phénomène de l'induction électromagnétique) qui est

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Potentiel vecteur du champ magnétique 11 3 L'INDUCTION ELECTROMAGNETIQUE 13 3 1 Préambule 13 3 2 Déplacement d'un conducteur filiforme

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est l'« induction magnétique », qui peut porter confusion avec le nom du 1) Cas de Lorentz (circuit déplacé dans un champ magnétique stationnaire)

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Cours LP203 Ð 2012-2013 Ð Chapitre 6 Ð Induction magntique 3/34 6.2 Champ dÕinduction magntique 6.2.1 Force de Lorentz Soient deux charges en mouvement : La force exerce par q1 sur q2 est : F12 = q1q240 r2 &'( u12 + v2c ) *+,-./v1c ) u12 F12 = q1q240 r2 u12 + q1q240 r2 &'( v2c ) *+,-./v1c ) u12  q2 E1 avec u12 = M1M2 00M1M2 le terme q1q240 r2 &'( v2c ) *+,-./v1c ) u12 est la contribution du champ dÕinduction magntique, appe l abusivement champ magntique. v1 v2 q1 q2 M1 M2

Cours LP203 Ð 2012-2013 Ð Chapitre 6 Ð Induction magntique 6/34 Units : ¥ lÕunit dÕinduction magntique est le tesla (T) ¥ on utilise aussi le gauss (G) 1 T = 104 G Ordres de grandeur : - champ magntique terrestre : 47 T en France composante horizontale :  20 T - aimant courant : 10 mT - champ magntique intense du LCMI (Grenoble) 34 T (24 MW, 31 000 A) - bobine supraconductrice : 10 T - toile neutrons 108 T

Cours LP203 Ð 2012-2013 Ð Chapitre 6 Ð Induction magntique 9/34 Spire circulaire La distribution prsente une symtrie cylindrique, 1 il convien t nouveau dÕutiliser les coordonnes cylindriques. ¥ La d istribution de courant est invaria nte par rotatio n autour du fil 1 B ne dpend pas de 2 1 B dpend que de  et z B(, , z) = B(, z) DÕautre part : (i) Tout plan contenant lÕaxe vertical passant par le centre de la spire est plan dÕantisymtrie B est contenu dans ce plan 1 B = B3(, z) e3 + Bz(, z) ez (ii) Le plan perpendicula ire lÕaxe vertical passant par le centre de la spire est plan de symtrie or B est perpendiculaire ce plan 1 en tout point de ce plan B = B ez I B B B I B B B

Cours LP203 Ð 2012-2013 Ð Chapitre 6 Ð Induction magntique 10/34 6.2.5 Principe de superposition De mme que pour le champ lectrostatique, le principe de superposition sÕapplique au champ dÕinduction magntique. Pour N particules situes ( lÕinstant t) en Pi et se mouvant la vitesse vi, le champ dÕinduction magntique peru en M est la som me des cham ps individuels cr s par chaqu e particule : B = 04 4i = 1N qivi ) PiM 0PiM 3 6.2.6 Champ cr par une densit de cha rges en mouvement En lectrostatique, le principe de superposition permet de calculer le champ cr par une d istribution de cha rges immobiles : E(M) = 140 555666777V 3(P)PM2 PM0PM d En magntostatique, les charges bougent  d8 V ¥ 3(P) M ¥ PM0 dqv dB(M)

Cours LP203 Ð 2012-2013 Ð Chapitre 6 Ð Induction magntique 11/34 Le champ infinitsimal dB cr par la charge lmentaire dq contenue dans le volume d et se dplaant la vitesse v est : dB(M) = 04 dqv ) PM 0PM3 Dans le volum e infinitsimal d, diff rents types charges sont susceptibles de se dplacer : dqv = 4 39 q9 v9 d8 39 : densit de particules de type 9 (ayant une charge q9) v9 : vitesses des particules d e type 9 Le terme 4 39 q9 v9 est appel densit de courant : j = 4 39 q9 v9 et correspond un flux de charges / unit de temps ¥91 ¥92 ¥93 ¥92 ¥91 ¥91 ¥ 93 ¥92

Cours LP203 Ð 2012-2013 Ð Chapitre 6 Ð Induction magntique 13/34 Le point M est situ une distance telle du point P de telle sorte que depuis M tous les vecteurs vitesse des charges en mouvement sont considres comme colinaires. Dans ce cas : j // d et j // ds LÕexpression du champ dÕinduction magntique au point M est : B(M) = 04 555666777 j(P) ) PM 0PM3 d B(M) = 04 567Ocircuitd 556677Sj(P) ) PM0PM3 ds B(M) = 04 567Ocircuit&''(556677Sj(P) ds d ) PM0PM3 B(M) = 04 567Ocircuit &''(556677Sj(P) ds d  ) PM0PM3 avec 556677Sj(P) ds = I courant traversant la section S

Cours LP203 Ð 2012-2013 Ð Chapitre 6 Ð Induction magntique 14/34 dÕo finalement : B(M) = 0 I4 567Ocircuitd  ) PM0PM3 Formule de Biot et Savart Remarques : ¥ Cette formule a t tablie exprimentalement en 1820. Le lien entre champ dÕinduction magntique et charges en mouvement nÕa t tabli que bien plus tard  ¥ La formule de Biot et Savart est un outil de calcul et ne doit tre utilise que pour calculer lÕinduction magntique cre par des circuits ferms. ¥ Pour un fil conducteur considr comme infiniment mince, le champ est nul en r = 0.

Cours LP203 Ð 2012-2013 Ð Chapitre 6 Ð Induction magntique 16/34 Le champ cr par lÕlment de longueur dl est donn par la relation de Biot et Savart : dB0(M) = 0 I4 d ) rr3 dB = dB0 = 0 I4 d r sin*++,-../2 + &r3 = 0 I4 d r cos&r3 On cherche tout exprimer en fonction de & : ¥  = HP HP = HM tan& HP = R tan& d = d(R tan&) = R d&cos2& ¥ R = r cos& dÕo : dB = 0 I4 R d&cos2& cos2&R2 cos& = 0 I4 R cos& d& Les d sont tous dans le mme sens (celui du couran t), donc tous les dB0(M) correspondant aux diffrents d sont dans le mme sens. La norme du champ B(M) est donne par lÕintgrale : B = 567- /2 +/20 I4 R cos& d& = 0 I4 R sin& (&-/2 +/2

Cours LP203 Ð 2012-2013 Ð Chapitre 6 Ð Induction magntique 20/34 ¥ Spire On voit le ple Nord On voit le ple Sud ¥ Solnode (de nombreuses spires jointives)

Cours LP203 Ð 2012-2013 Ð Chapitre 6 Ð Induction magntique 24/34 6.4.3 Flux de B travers une surface ferme 6.4.3.1 Contours et surfaces orients ¥ Soit un contour ferm C sur lequel sÕappuie une surface &. On oriente le contour C et la surface  : La surface peut prendre nÕimporte quelle forme : n + n + n + n + C C C C + n n n + C C >

Cours LP203 Ð 2012-2013 Ð Chapitre 6 Ð Induction magntique 32/34 Les sens de parcours tant opposs, on en dduit que B  est le mme sur ces deux segments, B  est donc constant lÕextrieur du solnode. De plus si le contour est tel que le segment DA est lÕinfini, o le champ B  est nul, alors B est nul aussi le long du segment BC, 1 B  est nul lÕextrieur du solnode. Sur le parcours IJKL : 567OIJKLB d = 0 (pas de courant traversant) dÕautre part : 567OIJKLB d = 567IJB d + 567JKB d +567KLB d +567LJB d   = 0 car B 

Cours LP203 Ð 2012-2013 Ð Chapitre 6 Ð Induction magntique 33/34 Sur le parcours MNOP : 567OMNOPB d = 0 N I L (MP = L) dÕautre part : 567OMNOPB d =567MNB d +567NOB d +567OPB d +567PMB d    = 0 = 0 = 0 B quotesdbs_dbs41.pdfusesText_41

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