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2011-2012Exercices - M´ecanique|PTSI

?Forces centrales conservativesM7 ???Ex-M7.1Point mat´eriel tir´e par une corde (*)

Un paletPde masseMglisse sans frottement

sur un plateau horizontal (Oxy) perc´e d"un trou `a l"origineO. Sa position est rep´er´ee par les coordonn´ees polaires retθ, d"axe (Oz). L"exp´erimentateur lance le palet, `a la distancer0

du pointO, avec une vitesse initiale orthoradiale-→v(0) =v0-→eθ(t=0)(on prendraθ(t= 0) = 0), et

tire sur le fil de fa¸con `a rapprocher r´eguli`erement le palet du pointO:r(t) =r0-V t. Or F z x y P r 0θ P0 v0 On admet que la force exerc´ee par le fil (qui reste toujours tendu) surPest-→T=-F-→er.

1)Montrer que la vitesse angulaire du palet s"´ecritω=θ=r0v0

(r0-V t)2. En d´eduire l"´evolution de la force -→Fqu"il faut exercer pour r´ealiser cet objectif. Commenter.

2)Calculer directement le travail de traction fourni par cet op´erateur s"il fait passer la distance

du mobile `a l"axe de la valeurr0`a la valeurr1. Retrouver ce r´esultat par une m´ethode ´energ´etique.

R´ep : 1)F=Mr20v20

(r0-V t)3; dont-→T=-MC2r3-→er=-dEpdravecEp=-MC22r2+??Cte(avec E p(∞) = 0 etC=r0v0la constante des aires);2)W0→1(-→F) =Mr20v20 2?

1r21-1r20?

???Ex-M7.2Force centrale en1/r3(**, `a chercher apr`es avoir travaill´e le reste) Un point mat´erielMde massemest soumis, dans un r´ef´erentiel galil´eenR, `a une force d"expression-→F=-a r3-→eren coordonn´ees sph´eriques de centreO,a´etant une constante po- sitive.

`A l"instant initial,Mest `a la positionM0telle que---→OM0=r0-→ex, avec une vitesse-→v0=v0(cosα-→ex+ sinα-→ey).

1)Montrer que le mouvement est plan et d´eterminer le plan de latrajectoire.

2)Montrer que la force-→Fest une force conservative. En d´eduire l"´energie potentielleEp(r) dont

elle d´erive (on prendreEp(∞) = 0)). D´eterminer l"expression de l"´energie potentielle effective

E p,effcompte tenu des conditions initiales.

3)r0´etant donn´e, indiquer la condition surv0pour que le syst`eme soit dans un ´etat de diffusion.

4)La particule est dans un ´etat de diffusion etα=π

2. a)

´Etablir que r=r0v0

r2drdθ. En d´eduire quer=-r0v0u?θavecu(θ) =1r(θ)etu?θ=dudθ. b)Exprimer la conservation de l"´energie m´ecanique en fonction de la variableuet deu?θ.

En d´eduire queuv´erifie l"´equation :

u??θ+η2u= 0 avecη=?1-amr20v20. c)D´eterminer l"´equation polaire de la trajectoire compte tenu des conditions initiales. d)Donner l"allure de la trajectoire pourη= 0,1,θ0= 0 etr0= 1m.

Solution Ex-M7.2

1)La force est centrale de centre de forceO. LeT.M.C.pourM´evalu´e enOdans le r´ef´erentiel

Rs"´ecrit :?d---→LO/R(M)

dt? R =MO(-→F) =--→OM×-→F=-→0 , soit---→LO/R(M) =-→Cte, d"expression : L

O/R(M) =?

LO/R(M0) =r0-→ex×mv0(cosα-→ex+ sinα-→ey) =mr0v0sinα-→ez--→OM×---→vM/R=r-→er×(r-→er+rθ-→eθ) =mr2θvez=mC-→ez

avec

C=r2θ=r0v0sinα, laconstante des aires.

PTSI|Exercices - M´ecanique2011-2012

Le vecteur position--→OMest orthogonal `a tout instant `a-→LO, donc `a-→ez, direction fixe de l"espace :

la trajectoire est donc plane, contenue dans le plan (Oxy)?-→ez.

2)Lors d"un d´eplacement ´el´ementaire deM, le travail de la force-→Fest :δW=-a

r3ver?(d-→er+ rd-→er) =-a r3dr=-dEp, avecEp=-a2r2(en choisissant l"´energie potentielle nulle `a l"infini).

ThmEm: dEm=δWNC= 0, soit

Em=Cte:le syst`eme est conservatif.

Le syst`eme{M,m}a pour ´energie m´ecanique : E m=Ek+Ep=1

2mv2M/R+Ep(r) =12m(r2+r2θ2) +Ep(r) =12mr2

E k,r+ 12mC

2r2+Ep(r)

E p,eff(r) D"o`u

Ep,eff(r) =12mC

2r2+Ep(r) =mr20v20sin2α-a2r2

3)L"´energie potentielle s"annule `a l"infini. Le syst`eme est donc dans un´etat de diffusionsi son

´energie m´ecanique est positive, ce qui se traduit par : E m=Cte=Em(0) =1

2mv20-a2r20>0?v0>?a

mr20

4.a)Comme la constante des aires s"´ecrit :C=LO

m=r2θ=r0v0sinα=r0v0pourα=π2, on a : r=dr dθθ=r0v0r2? drdθ?

Commeu?θ=d?1

r?

Soit :

r=-r0v0u?θ

AlorsEm=Ek,r+Ep,eff=1

4.b)PuisqueEm=Cteen d´erivant---------→par rapport `aθ0 =mr20v20u??θ.u?θ+ (mr20v20-a)u.u?θ

Comme le casu?θ= 0 ne nous int´eresse pas (on ´etudie le mouvement deM), on obtient : u 1-a mr20v20? u= 0?u??θ+η2u= 0avecη=?1-amr20v20

Rq :ηest bien d´efini puisque 1-a

mr20v20>0 d"apr`es la condition sur la vitesse ´etablie en3).

4.c)La solution g´en´erale de l"´equation est :u(θ) =Acos(ηθ) +Bsin(ηθ)

`At= 0,θ0= 0 (puisque---→OM0=-→0 ), donc-→er(0) =-→ex,-→eθ(0) =-→ey

Soit -→v0=?v0-→ey r(0)-→er+r0θ(0)-→eθ= r(0)-→ex+r0θ(0)-→ey

Donc : r(0) = 0 =-r0v0u?(θ0) (d"apr`es4.a)).

D"o`u???u(0) =1

r0=A u

θ(0) = 0 =-Bη

Cl :u(θ) =1

r0cos(ηθ)?r=r0 cos?

θ?1-amr20v20?4.d)±202468

±6 ±4 ±2 2

?Applications directe du coursM7 ???Ex-M7.3´Etat de diffusion et ´etat li´e

1)Un ´electron de vitessev0= 4.103m.s-1se trouve `a une distancea= 10nmd"un proton.

Peut-il y avoir formation d"un atome d"hydrog`ene? (´etat li´e) (on v´erifiera que l"´energie potentielle

2011-2012Exercices - M´ecanique|PTSI

de gravitation est n´egligeable devant les autres)

2)Quelle est la vitesse limite de l"´electron pour qu"il n"y ait pas d"´etat li´e possible?

Donn´ees :masse de l"´electron :me= 9.10-31kg; masse du proton :mp= 1,7.10-27kg; 1

4π?0= 9.109u.S.I.

R´ep. : 1)Ep,´elec=-2,3.10-20J,Ep,grav=-1.10-60J,Ek= 7,2.10-24J→´etat li´e car E m=Ek+Ep?Ep,´elec<0;2)vl=? -2me.14π?0.qeqpa= 2,26.105m.s-1 ???Ex-M7.4Masse de la terre En faisant l"hypoth`ese que la lune effectue un mouvement circulaire autour de la terre (hypoth`ese

justifi´ee car l"excentricit´e de la trajectoire lunaire est de 0,0549), de p´eriodeT= 27,32jourset

de rayonRL= 384400km, calculer la masse de la terre en appliquant lePFD.

R´ep. :MT?6,0.1024kg.?

???Ex-M7.5Vitesse de lib´eration

Calculer la vitesse de lib´eration (ou vitesse d"" évasion ») à la surface des astres suivants, dont

les masses et les rayons respectifs sont :

1)pour la Lune :ML= 7,4.1022kgetRL= 1700km,

2)pour Mars :MMa= 6,4.1023kgetRMa= 3400km,

3)pour Mercure :MMe= 3,3.1023kgetRMe= 2440km.

Rép :La vitesse de libération est caractérisée par une énergie mécanique (trajectoire parabolique)

nulle du point matériel de massemétudié (dans le référentiel " astrocentrique ») à la surface de

l"astre de rayonRet de masseM:Em=1

2mv2l- Gm.MR= 0, soit :vl=?

2GM R. v l,L= 2,4km.s-1;vl,Ma= 5km.s-1;vl,Me= 4,2km.s-1. ???Ex-M7.6Distance minimale de passage d"un ast´ero¨ıde

Le référentiel géocentriqueR0=Ox0y0z0est supposé galiléen, et on néglige les effets gravita-

tionnels du Soleil. Un astéroïde de massemet de taille négligeable par rapport à la masseMTde la Terre est repéré enM0, à une distance très grande de la Terre où on supposera que son influence gravitationnelle est négligeable. On mesure son vecteur vitesse-→v0=-v0-→ex0, porté par la droite(M0x0)telle que la distance du centre de la Terre à(M0x0)estb(best le " paramètre d"im- pact »).

1)Montrer queEm(M)et----→LO/R0(M)se conservent. Exprimer les deux constantes du mouvement

en fonction des données initiales.

2)Exprimer l"énergie potentielle effectiveEp,eff(r)en fonction dem,MT, etLO.

3)Déterminer la distance minimalerminà laquelle l"astéroïde passe du centre de la Terre et

donner la condition de non collision. On utilisera très utilement le potentiel effectif.

Rép : 1)Em=1

2mv20;----→LO/R0(M) =---→OM0×m-→v0=mbv0-→ez0;

2)Ep,eff=Em-1

2mr2=L2O2mr2- Gm.MTr;3)rmin=GMTv20?

?1 +b2v40G2M2T-1? "Cependant la nuit marche, et sur l"abîme immense

Tous ces mondes flottants gravitent en silence,

Et nous-même, avec eux emportés dans leurs cours,

Vers un port inconnu nous avançons toujours."

Lamartine -Les´Etoiles

PTSI|Exercices - M´ecanique2011-2012

?Orbites circulairesM7 ???Ex-M7.7satellite Phobos et D´eimos de Mars La planète Mars (masseMM= 6,24.1024kg) possède deux sa- tellites naturels, Phobos et Déimos, considérés comme des asté- roïdes en raison de leur petite taille et de leur forme irrégulière. La distance moyenne du centre de ces satellites au centre de Mars estrP?9379kmpour Phobos etrD?23459kmpour Déimos.

1)Calculer les vitesses de satellisationvPetvDde Phobos et

Déimos.

2)En déduire leurs périodes de révolution respectivesTPetTD,

en jours, heures, minutes, secondes.

3)Vérifier que le rapportT2

r3est indépendant du satellite. Quelle est l"expression littérale de ce rapport en fonction deMM?

Phobos

Rép : 1)vP= 6,67km.s-1;vD= 4,21km.s-1;2)TP= 8835s= 2h27min15s;TD=

35010s= 9h43min31s;3)T2P

r3P= 9,46.10-14s2.m-3;T2Dr3D= 9,49.10-14s2.m-3; 3eloi de

Képler :

T2 a3=4π2GMMaveca=rpour une trajectoire circulaire. ???Ex-M7.8Vitesse d"un lanceur selon la latitude Les lanceurs (ou fusées) sont tirés dans l"espace depuis des bases situées à des latitudesλvariées : Cap Canaveral aux États-Unis (λ1= 28,5◦), Pletsek en Russie (λ2= 63◦), Baïkonour dans le Kazakhstan (λ3= 46,3◦), Tanegashima au Japon (λ4= 30,5◦) et Kourou en Guyane Française (λ5= 5,2◦). La fusée étant fixée au sol, calculer la normevde sa vitesse, par rapport au référentiel géocentriqueR0=Tx0y0z0due à la rotation uniforme de la Terre, de vecteur rotation-→Ω = T-→eS→Net de vitesse angulaireωT= 7,29.10-5rad.s-1 autour de son axe sud-nord. Commenter. Rép :v1= 410m.s-1;v2= 212m.s-1;v3= 323m.s-1;v4= 402m.s-1;v5= 465m.s-1.? ???Ex-M7.9´Etude des plan`etes

1) Première loi de Kepler :" Dans le référentiel deKépler, une planète (pointM, massem)

décrit une ellipse de foyer le soleil (pointS, masseMS) ». En choisissant correctement la direction des axesSxetSy, l"équation polaire d"une telle trajec- toire est :r=p

1 +eavece=caetp=b2a

aest de demi grand-axe;ble demi petit-axe;c= ΩS;ple paramètre etel"excentricité. L"excentricitée, comprise entre 0 et 1, donne une indication précise de la forme de la trajectoire. Plus l"excentricité est grande, plus l"ellipse est écrasée; au contraire, une excentricité de zéro est celle d"un cercle (r=a=b=p). L"aphélie (A) est le point de la trajectoire le plus éloigné du soleil et le périhélie (P) le point le plus proche. →Montrer que :rA=a(1 +e)etrP=a(1-e) xyθr SF"M a b cΩa A

P(RK)v

er eθ

Les planètes du système solaire ayant une excentricité faible (voire très faible), par la suite, nous

ferons toujoursl"approximation d"un mouvement circulairede centreSet de rayonRpour leurs trajectoires (a≂=b≡R).

2011-2012Exercices - M´ecanique|PTSI

Planète Mercure Vénus Terre Mars Jupiter Saturne Uranus Excentricité 0,2056 0,0068 0,0167 0,0934 0,0484 0,0542 0,0472 Période (ans) 0,241 0,615 1 1,88 11,9 29,5 84,0

2)Rappeler la définition du référentiel héliocentrique.

3)En appliquant lePFD, déterminer la vitessevde la planète en fonction deG,MSetR.

4) Troisième loi de Kepler :"T2

a3=Ctepour toutes les planètes »

4.a)Démontrer que la valeur deT2

R3est identique pour toutes les planètes (redémontrer la troisième loi de Kepler).

4.b)Application de la troisième loi deKépler: Calculer numériquement les valeurs deRenua

(unité astronomique) pour toutes les planètes sachant que pour laterre,R≡1ua.

4.c)Autre application de la troisième loi deKepler: Sachant que1an= 365,25jourset

1ua= 1,49.108km, déterminer la masseMSdu soleil.

5)Calculer alors la valeur numérique de la vitessevde la terre dans le référentiel héliocentrique.

???Ex-M7.10Orbite g´eostationnaire (t´el´ecommunications, t´el´evision, m´et´eo)

Un corps se trouvant sur une orbite géostationnaire possède unepériode de révolution égale à la

période de rotation de la Terre sur elle-même (24h). Il paraît immobile par rapport à la surface

de la Terre. L"orbite est circulaire.Le maintien nécessite des manoeuvresde correction d"orbite consommant des ergols

1, leur épuisement étant la cause principale de fin de vie du satellite. Au

1 erjanvier 2005, on dénombrait 1124 objets de plus d"1msur l"orbite géostationnaire. Parmi eux, 346 seulement sont des satellites opérationnels!

La ceinture deVan Allen

2est, pour simplifier, à une altitude comprise entre2000kmet22000km.

Elle est constituée de particules chargées piégées dans le champ magnétique terrestre qui aveuglent

les équipements des satellites. La masse de la terre estMT= 6.1024kget son rayonRT= 6400km.

1)En appliquant lePFD, déterminer le rayonRde l"orbite, puis son altitudeh, et vérifier qu"il

n"est pas dans la ceinture deVan Allen.

2)Déterminer les formules donnant la vitesse et l"énergie en fonction deG,R,msatetMT.

3)En orbite, un réservoir d"appoint du satellite explose et lui procure lavitessev= 6km.s-1.

Est-ce suffisant pour l"arracher à l"attraction terrestre?

4) Chute du satellite

4.a)En admettant que les deux formules établies en2)restent correctes par la suite, déterminer

la loi donnant l"évolution deRau cours du temps dans le cas du frottement du satellite dans

l"atmosphère (de masse volumiqueρ) :-→f=-kρ-→v. On utilisera le théorème de l"énergie méca-

nique.

4.b)Dans le cas d"un satellite spot (msat= 2tonnes) de coefficientk= 1,35.105uSI, à822km

d"altitude la masse volumique de l"air estρ= 3.10-14kg.m-3. Calculer de combien de mètres le satellite chute en 1 jour.

4.c)S"il évoluait à250kmd"altitude, la masse volumique de l"air seraitρ= 6,8.10-11kg.m-3.

Effectuer le même calcul et conclure.

Rép. : 1)R= 42300km;h= 35900km;2)Em=-1

2GMT.msatR;3)Em=msat.(8,5.106)>0;

4.a)R(t) =R(0).exp?

-2kρ msat.t? ???Ex-M7.11La station spatiale internationale

En faisant l"hypothèse queISSa un mouvement circulaire (excentricité = 0,00031) et une altitude

de384km, déterminer sa vitessevainsi que sa périodeTen fonction uniquement deRT, g

0=G(RT)(champ gravitationnel terrestre à la surface de la Terre) etRISS.

1. Produits initiaux, s´epar´es, utilis´es dans un syst`eme propulsif `a r´eaction (constitu´es d"´el´ements oxydant et

r´educteur).

2. James AlfredVan Allen, USA (1914 - 2006)

PTSI|Exercices - M´ecanique2011-2012

Effectuer les applications numériques.Données :RT= 6400km

Rép. :v=?

g0.R2T

RISSetT=?

4π2R3ISS

g0R2T ?Approche des orbites elliptiques M7 ???Ex-M7.12M´ethode du vecteur excentricit´e[d"apr`es ´ecole de l"air 1987] On se propose d"étudier le mouvement d"un satellite autour de la Terre. La seule force est l"at- traction newtonienne de la Terre-→F=-μm r2-→er. Le satelliteMde massemest repéré par ses coordonnées polairesretθ.

1)Établir la relation différentielle liant la vitesse-→vet-→eθ. Cette relation s"intègre sous la forme-→v=α(-→eθ+-→e)où-→eest un vecteur constant appelé vecteur excentricité etαune constante à

déterminer en fonction deμetC(oùCest la constante des aires).

2)Calculer le produit scalaire-→v.-→eθ. En déduire l"équation polaire de la trajectoire sous la

forme : r(θ) =p1 +ecos(θ-θ0)oùe=||-→e||etθ0= (-→ey,-→e).

Exprimerpen fonction deμetC.

3)Montrer que l"on peut exprimer l"énergie totaleEsous la forme :E=k(e2-1). Exprimerk

en fonction deμ, Cetm.

Rép : 1)

d-→v ???Ex-M7.13Vecteur de Runge-Lentz (*)

On considère une particule ponctuelleMde massemdont la position est repérée par ses coordon-

nées cylindriques(r, θ, z)dans un référentielRgaliléen de repère(Oxyz). Sa vitesse dansRest

notée

-→v. La particule est plongée dans un champ de force dérivant du " potentiel »V(r) =-α

r(avecα >0; il s"agit d"une autre manière de parler de l"énergie potentielle :Ep=V(r)).

1)Montrer que---→LO/R(M) =-→r×m-→v, moment cinétique deMpar rapport àOdans R, est un

vecteur constant. ExprimerLz=LO/Ren fonction dem,retθ. Cette relation est une intégrale première du mouvement.

2)Montrer que l"énergieE=Ek+V(r)est une intégrale première du mouvement. ExprimerE

en fonction der,r,θ,metα.quotesdbs_dbs41.pdfusesText_41