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2011-2012Exercices - M´ecanique|PTSI

?Forces centrales conservativesM7 ???Ex-M7.1Point mat´eriel tir´e par une corde (*)

Un paletPde masseMglisse sans frottement

sur un plateau horizontal (Oxy) perc´e d"un trou `a l"origineO. Sa position est rep´er´ee par les coordonn´ees polaires retθ, d"axe (Oz). L"exp´erimentateur lance le palet, `a la distancer0

du pointO, avec une vitesse initiale orthoradiale-→v(0) =v0-→eθ(t=0)(on prendraθ(t= 0) = 0), et

tire sur le fil de fa¸con `a rapprocher r´eguli`erement le palet du pointO:r(t) =r0-V t. Or F z x y P r 0θ P0 v0 On admet que la force exerc´ee par le fil (qui reste toujours tendu) surPest-→T=-F-→er.

1)Montrer que la vitesse angulaire du palet s"´ecritω=θ=r0v0

(r0-V t)2. En d´eduire l"´evolution de la force -→Fqu"il faut exercer pour r´ealiser cet objectif. Commenter.

2)Calculer directement le travail de traction fourni par cet op´erateur s"il fait passer la distance

du mobile `a l"axe de la valeurr0`a la valeurr1. Retrouver ce r´esultat par une m´ethode ´energ´etique.

R´ep : 1)F=Mr20v20

(r0-V t)3; dont-→T=-MC2r3-→er=-dEpdravecEp=-MC22r2+??Cte(avec E p(∞) = 0 etC=r0v0la constante des aires);2)W0→1(-→F) =Mr20v20 2?

1r21-1r20?

???Ex-M7.2Force centrale en1/r3(**, `a chercher apr`es avoir travaill´e le reste) Un point mat´erielMde massemest soumis, dans un r´ef´erentiel galil´eenR, `a une force d"expression-→F=-a r3-→eren coordonn´ees sph´eriques de centreO,a´etant une constante po- sitive.

`A l"instant initial,Mest `a la positionM0telle que---→OM0=r0-→ex, avec une vitesse-→v0=v0(cosα-→ex+ sinα-→ey).

1)Montrer que le mouvement est plan et d´eterminer le plan de latrajectoire.

2)Montrer que la force-→Fest une force conservative. En d´eduire l"´energie potentielleEp(r) dont

elle d´erive (on prendreEp(∞) = 0)). D´eterminer l"expression de l"´energie potentielle effective

E p,effcompte tenu des conditions initiales.

3)r0´etant donn´e, indiquer la condition surv0pour que le syst`eme soit dans un ´etat de diffusion.

4)La particule est dans un ´etat de diffusion etα=π

2. a)

´Etablir que r=r0v0

r2drdθ. En d´eduire quer=-r0v0u?θavecu(θ) =1r(θ)etu?θ=dudθ. b)Exprimer la conservation de l"´energie m´ecanique en fonction de la variableuet deu?θ.

En d´eduire queuv´erifie l"´equation :

u??θ+η2u= 0 avecη=?1-amr20v20. c)D´eterminer l"´equation polaire de la trajectoire compte tenu des conditions initiales. d)Donner l"allure de la trajectoire pourη= 0,1,θ0= 0 etr0= 1m.

Solution Ex-M7.2

1)La force est centrale de centre de forceO. LeT.M.C.pourM´evalu´e enOdans le r´ef´erentiel

Rs"´ecrit :?d---→LO/R(M)

dt? R =MO(-→F) =--→OM×-→F=-→0 , soit---→LO/R(M) =-→Cte, d"expression : L

O/R(M) =?

LO/R(M0) =r0-→ex×mv0(cosα-→ex+ sinα-→ey) =mr0v0sinα-→ez--→OM×---→vM/R=r-→er×(r-→er+rθ-→eθ) =mr2θvez=mC-→ez

avec

C=r2θ=r0v0sinα, laconstante des aires.

PTSI|Exercices - M´ecanique2011-2012

Le vecteur position--→OMest orthogonal `a tout instant `a-→LO, donc `a-→ez, direction fixe de l"espace :

la trajectoire est donc plane, contenue dans le plan (Oxy)?-→ez.

2)Lors d"un d´eplacement ´el´ementaire deM, le travail de la force-→Fest :δW=-a

r3ver?(d-→er+ rd-→er) =-a r3dr=-dEp, avecEp=-a2r2(en choisissant l"´energie potentielle nulle `a l"infini).

ThmEm: dEm=δWNC= 0, soit

Em=Cte:le syst`eme est conservatif.

Le syst`eme{M,m}a pour ´energie m´ecanique : E m=Ek+Ep=1

2mv2M/R+Ep(r) =12m(r2+r2θ2) +Ep(r) =12mr2

E k,r+ 12mC

2r2+Ep(r)

E p,eff(r) D"o`u

Ep,eff(r) =12mC

2r2+Ep(r) =mr20v20sin2α-a2r2

3)L"´energie potentielle s"annule `a l"infini. Le syst`eme est donc dans un´etat de diffusionsi son

´energie m´ecanique est positive, ce qui se traduit par : E m=Cte=Em(0) =1

2mv20-a2r20>0?v0>?a

mr20

4.a)Comme la constante des aires s"´ecrit :C=LO

m=r2θ=r0v0sinα=r0v0pourα=π2, on a : r=dr dθθ=r0v0r2? drdθ?

Commeu?θ=d?1

r? dθ=-1r2drdθ,on a :drdθ=-r2u?θ?

Soit :

r=-r0v0u?θ

AlorsEm=Ek,r+Ep,eff=1

4.b)PuisqueEm=Cteen d´erivant---------→par rapport `aθ0 =mr20v20u??θ.u?θ+ (mr20v20-a)u.u?θ

Comme le casu?θ= 0 ne nous int´eresse pas (on ´etudie le mouvement deM), on obtient : u 1-a mr20v20? u= 0?u??θ+η2u= 0avecη=?1-amr20v20

Rq :ηest bien d´efini puisque 1-a

mr20v20>0 d"apr`es la condition sur la vitesse ´etablie en3).

4.c)La solution g´en´erale de l"´equation est :u(θ) =Acos(ηθ) +Bsin(ηθ)

`At= 0,θ0= 0 (puisque---→OM0=-→0 ), donc-→er(0) =-→ex,-→eθ(0) =-→ey

Soit -→v0=?v0-→ey r(0)-→er+r0θ(0)-→eθ= r(0)-→ex+r0θ(0)-→ey

Donc : r(0) = 0 =-r0v0u?(θ0) (d"apr`es4.a)).

D"o`u???u(0) =1

r0=A u

θ(0) = 0 =-Bη

Cl :u(θ) =1

r0cos(ηθ)?r=r0 cos?

θ?1-amr20v20?4.d)±202468

±6 ±4 ±2 2

?Applications directe du coursM7 ???Ex-M7.3´Etat de diffusion et ´etat li´e

1)Un ´electron de vitessev0= 4.103m.s-1se trouve `a une distancea= 10nmd"un proton.

Peut-il y avoir formation d"un atome d"hydrog`ene? (´etat li´e) (on v´erifiera que l"´energie potentielle

2011-2012Exercices - M´ecanique|PTSI

de gravitation est n´egligeable devant les autres)

2)Quelle est la vitesse limite de l"´electron pour qu"il n"y ait pas d"´etat li´e possible?

Donn´ees :masse de l"´electron :me= 9.10-31kg; masse du proton :mp= 1,7.10-27kg;quotesdbs_dbs2.pdfusesText_2