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Chapitre 7 : Mouvements à force centrale Mécanique Page 1 sur 8 I Définition œ interaction newtonienne A) Force centrale On dit que M est soumis à une 

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A elles seules, ces deux forces expliquent un nombre important de phénomènes physiques I – Force centrale et conservative : caractéristiques 1 1 Système de 

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Il n'y a que deux types de forces centrales conservatives pour les- quelles les états liés sont fermés c'est-à-dire périodiques : — la force centrale newtonienne 5 = 

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Dans ce chapitre, nous verrons les forces centrales conservatives, dont la force de Newton et celle de Coulomb font parties, et leurs caractéristiques ; puis nous 

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Lorsqu'un point est soumis à une force centrale, son mouvement est dans un plan qui contient le centre de force I·2·iii – constante des aires 4 Nous avons, par 

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On considère un point matériel M soumis à une force −→ F centrale newtonienne 2 1 Conservation du moment cinétique Mouvement à force centrale

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quantification de l'énergie des atomes III Mouvement dans un champ de forces centrales newtonien III 1 Champs Newtoniens Deux particules interagissant 

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3 2 2 3 États de diffusion, états liés 3 3 Mouvement dans un champ de force centrales newtonien 3 3 1 Équation générale de la trajectoire

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Mécanique

Chapitre 6

Interaction newtonienne

PCSI1, Fabert (Metz) I - Mouvement d"un point dans un champ deforce centrale

Interaction newtonienne

Dans ce chapitre nous allons étudier un mouvement particulier qui tient une place importante dans la physique : le mouvement d"un point matériel dans un champ de force newtonien. Nous verrons d"abord le mouvement d"un point dans un champ deforce dit central avant de nous

intéresser dans une deuxième partie au cas spécifique de la force newtonienne. Dans les troisième

et quatrième partie, nous verrons comment, à partir d"une situation plus réaliste de deux points en

interaction newtonienne, nous pouvons retrouver et utiliser les résultats énoncés.

I - Mouvement d"un point dans un champ de force

centrale

I·1 - Qu"est-ce que c"est

I·1·i- définition

Une force est ditecentralelorsqu"elle passe par un point fixe de l"espace appelécentre de force.

GEn fait il peut s"agir de n"importe quelle force car ce n"est pas sa nature qui importe, mais sa direction

géométrique.

GRemarquons que la définition fait appel à un aspect cinématique important : le point par lequel doit

passer la force doit être fixe, donc cela dépend du référentiel! Le caractère central d"une force n"est pas intrinsèque maisest relatif au référentiel.

!La conséquence est que les résultats que nous allons obtenirdans ce chapitre ne seront pas à géné-

raliser trop rapidement, surtout dans le cas où les référentiels d"étude ne seront pas usuels.

I·1·ii- exemples

GLa force que nous étudierons principalement dans ce cadre est la force gravitationnelle.

GMais nous pouvons aussi penser à un dispositif tel que celui représenté ci-dessous : une masse posée

sur un plan horizontal, reliée à un ressort fixé enOet évoluant sans frottement. ?uz ?u y ?uxO M

GIl existe d"autres dispositifs avec des forces centrales, comme le pendule simple avec la tension exercée

par le fil.

GToutefois l"intérêt de particulariser les dispositifs à force centrale apparaît lorsqu"un point matériel

est soumisuniquementà une telle force. Cela exclut, dès lors, le pendule simple. ©Matthieu Rigaut1 / 33Version du 1 août 2011 PCSI1, Fabert (Metz) I·2 - Conservation de?σet ses conséquences

I·1·iii- notations, hypothèse

z y xO M ?f L"intensité de la force centrale subie par un point matérielne dépend que de la distance entre le point et le centre de force.

GCette hypothèse est naturelle dans le cas d"une interactionphysique. Elle ne fait " que » traduire

l"isotropie de l"espace,ie.le fait qu"il n"y a pas de direction privilégiée de l"espace.

GDans toute la suite, nous supposerons :

Üque le référentiel d"étudeRest galiléen Üque le pointMest soumis soit à une seule force centrale?f, soit à pluiseurs forces dont la résultante est une force centrale I·2 - Conservation de?σet ses conséquences

I·2·i- TMC

GÉcrivons le théorème du moment cinétique par rapport àOpour le pointM: d?σO(M) dt=--→OM??f GOr--→OMest colinéaire à?fde par la nature centrale de la force. Ainsi : d?σO(M) dt=?0??????σO(M)=-→Cte Lorsqu"un point matériel est soumis à une force centrale, son moment cinétique par rapport au centre de force est constant.

Lmoment cinétique nul

GSi?σO(M)=--→OM?m?v(M)=-→Cte=?0, alors cela signifie que la vitesse est constamment dirigée suivant--→OM.

Un mouvement tel que le moment cinétique par rapport à un pointAfixe soit constamment nul est un mouvement rectiligne dont le supportpasse parA. ©Matthieu Rigaut2 / 33Version du 1 août 2011 PCSI1, Fabert (Metz) I·2 - Conservation de?σet ses conséquences

Lmoment cinétique non nul

GCela signifie que sa quantité de rotation est constante,ie.queMva globalement tourner autour du centre de force. GC"est le cas que nous étudierons dans la suite et nous noterons?σO(M)not=?σ.

I·2·ii- mouvement plan

GCalculons?σO·--→OM:

O·--→OM= (--→OM?m?v?

OM)·--→OM= 0

GNous pouvons donc en conclure que le vecteur position est toujours orthogonal à?σO. Lorsqu"un point est soumis à une force centrale, son mouvement est dans un plan qui contient le centre de force.

I·2·iii- constante des aires

GNous avons, par conservation du moment cinétiqueσ=mr2(t)θ(t)?uz=-→Cte. Laconstante des airesest définie pour un point en mouvement dans un champ de force central et vautC?σ m=r2(t)θ(t). GComme son nom l"indique, la constante des aires est une constante.

GPourquoi ce nom? Raisonnons entretett+ dt.

OB A Hr dθ

GÀt, le point est enA, àt+ dt, le point est enB. Calculons l"airedAbalayée par le rayon vecteur

OM.

GIl s"agit de l"aireOAB. Cela donne :

dA=base×hauteur

2=OA×BH2=r×rdθ2=r2dθ2

GAinsi, la vitesse avec laquelle l"aire balayéeAaugmente vaut : dA dt=r2dθ2dt=r22dθdt=12r2θ=C2 Lavitesse aréolaireest la vitesse de balayage du rayon vecteur. ©Matthieu Rigaut3 / 33Version du 1 août 2011 PCSI1, Fabert (Metz) I·3 - Conservation de l"énergie mécanique Dans le cas d"un mouvement d"un point dans un champ de force central, la vitesse aréolaire est constante.

GNous sentons poindre la 2eloi deKépler...

I·3 - Conservation de l"énergie mécanique

I·3·i- une nouvelle base bien utile

Lrepérage sphérique

GDans la suite, nous aurons besoin de la base sphérique. En repérage sphérique, le rayon vecteur s"écrit

OM=?r=r?ur.

?uz?uy ?uxO M r ?ur

!il ne faut pas confondre la coordonnéeren cylindro-polaire et la coordonnéeren sphérique. En effet,

avec le schéma ci-dessous, nous pouvons voir quersphé=? rcyl2+z2. ?uz?uy ?uxO

Mrsphé

?ur,sphé rcyl ?ur,cyl Le repérage sphérique s"utilise lorsqu"un point particulier joue un rôle essentiel dans une situtation. ©Matthieu Rigaut4 / 33Version du 1 août 2011 PCSI1, Fabert (Metz) I·3 - Conservation de l"énergie mécanique

Lpetit résultat

En notant?ur=--→OM?--→OM?le vecteur unitaire de la base sphérique, nous avons : ?u r·d?ur= 0ou?ur·d?ur dt= 0 GDémontrons-le. Dérivons la relation?ur2=?ur·?ur= 1: ?u r·d?ur dt+d?urdt·?ur= 0??ur·d?urdt= 0 I·3·ii- une évolution obligatoire conservative

Lrésultat préliminaire

Toute force centrale de la forme?f=f(r)?urdérive d"une énergie potentielle.

GMontrons queδW=-dEp.

GTout d"abord nous avonsd?r= d(r?ur) = dr?ur+rd?uret ainsi : δW=?f·d?r=f(r)?ur·(dr?ur+rd?ur) =f(r)dr?dEp?=-f(r)dr GNous avons donc bien une énergie potentielleEp(r)qui vaut : E p(r)=-? f(r)dr

Lconservation de l"énergie

Le mouvement d"un point dans un champ de force central du type?f=f(r)?urest conservatif.

GLa démonstration est immédiate car le pointMn"est soumis qu"à une seule force ...conservative.

I·3·iii- énergie potentielle effective

Lobjectif

GNous savons que le mouvement est principalement un mouvement de rotation deMautour deO. GLe but va maintenant d"essayer de décrire qualitativement l"évolution de la distanceOM.

Lréécriture de l"énergie mécanique

GL"énergie mécanique s"écritEm=12mv2+Ep(r). GOr?v= r?ur+rθ?uθce qui donnev2= r2+ (rθ)2. GÉcrivons la conservation du moment cinétiqueσ=mr2θ. Cela donneθ=σ mr2. ©Matthieu Rigaut5 / 33Version du 1 août 2011 PCSI1, Fabert (Metz) I·3 - Conservation de l"énergie mécanique

GEt ainsi :

E m=1

2mr2+12mr2?σmr2?

2 +Ep(t)=12mr2+σ22mr2+Ep(r)

GCe que nous écrirons sous la formeEm=1

2mr2+Ep,eff(t).

Lors d"un mouvement d"un point matériel dans un champ de force centrale, l"énergie potentielle effectivevaut : E p,eff=σ2

2mr2+Ep(r)

L"énergie potentielle effective dépend des conditions initiales.

GEn effet, contrairement aux énergies potentielles usuelles, une " photo » ne suffit pas pour déterminer

explicitement l"énergie potentielle effective. Il faut quelque chose de plus, il faut la connaissance du

moment cinétique.

GComme le moment cinétique est constant, autant dire qu"il suffit de connaître les conditions initiales.

Linterprétation

GNe regarder que l"évolution de la distanceOMrevient à regarder l"évolution deMdans le référentiel

non galiléen en rotation pure à la vitesseθ(t)?= Cte.

GDans ce référentiel, les forces qui s"exercent sont la forcecentrale et les forces d"inertie d"entraînement

et deCoriolis.

GEp(r)=σ2

2mr2est donc l"énergie potentielle associée à la résultante desforces d"inertie. Comme la

force d"inertie deCoriolisne travaille pas, cette énergie est donc associée à la seule force d"inertie

d"entraînement. Dans le mouvement d"un point dans un champ de force central, l"énergie potentielle

effective représente l"énergie potentielle associée à la force d"inertie d"entraînement subie

dans le référentiel en rotation où le point n"a qu"un mouvement radial.

!l"accélération d"entraînement ne vaut pas ici?ae=-θ2--→HMmais?ae=-θ2--→HM+¨θ(t)?uz?--→HM.

Lrésultat collatéral

Lors d"un mouvement dans un champ de force central, la relation de couplage entre les coordonnéesr(t)etθ(t)est la conservation du moment cinétique : r

2=σ

mθouθ=σmr2 GCette relation permet d"exprimerθen fonction derou réciproquement.

I·3·iv- exemple de discussion graphique

GNous avons déjà rencontré ce genre de cas. ©Matthieu Rigaut6 / 33Version du 1 août 2011 PCSI1, Fabert (Metz) I·4 - Une solution exacte mais inconnue GPrenons l"exemple présenté au début du chapitre, celui avecle ressort.

GAlorsEp=1

2k(?-?0)2etEp,eff=σ22mr2+12k(r-?0)2.

GCela donne le graphique ci-dessous.

Em r Em1 r1r2 Em0 r0 GPourEm=Em1, la trajectoire se situe dans la couronne comprise entrer1etr2.

GSi la masse est limité parr?r1, c"est à cause de la barrière centrifuge que " crée » l"énergie

potentielle effective. y x O M

GCes trajectoires n"onta prioriaucune forme géométrique simple et ne sont pas forcément nonplus

circulaires. GLorsqueEm=Em0, la trajectoire se fait àr=r0,ie.est circulaire.

!il n"existe pas qu"une seule trajectoire circulaire possible pour ce dispositif, mais bien une seule

trajectoire possible pour ce dispositif aveccemoment cinétique.

I·4 - Une solution exacte mais inconnue

GDans ce problème, nous avons deux degrés de libertér(t)etθ(t), ainsi que deux lois, les conservations

du moment cinétique. Il est donc soluble.

GCe qu"il y a de particulier, c"est qu"ici les solutions sont calculables sans passer par des équations

différentielles.

I·4·i-ten fonction der

GPartons de l"expression de l"énergie mécanique : ©Matthieu Rigaut7 / 33Version du 1 août 2011 PCSI1, Fabert (Metz) I·4 - Une solution exacte mais inconnue

Em=12mr2+Ep,eff(r)?r2=2m(Em-Ep,eff(r))

GNous avons ainsi :

dr dt= r=? 2 m(Em-Ep,eff(r))?dt=dr?2 m(Em-Ep,eff(r))

GEt en intégrant :

t

2-t1=?

r2 r 1dr ?2 m(Em-Ep,eff(r))

GCertes ce n"est pas une solution analytique, il faut passer par un calcul d"intégrale en général numé-

rique, mais au moins cela permet de ne pas résoudre d"équation différentielle.

GNotons aussi que nous obtenonst(r)et nonr(t).

I·4·ii-θen fonction der

GLe principe est le même en utilisant la conservation du moment cinétique. dθ m(Em-Ep,eff(r))

GCe qui donne :

dθ=σ mr2×dr?2 m(Em-Ep,eff(r))?θ2-θ1=? r2 r 1σ mr2×dr?2 m(Em-Ep,eff(r)) ©Matthieu Rigaut8 / 33Version du 1 août 2011 PCSI1, Fabert (Metz) II - Mouvement d"un point dans un champ de force newtonien

II - Mouvement d"un point dans un champ de force

newtonien

II·1 - Qu"est-ce que c"est?

II·1·i- écriture en terme de force

Une force centrale est ditenewtoniennelorsqu"elle peut s"écrire sous la forme f=-k r2?uraveckune constante. La force gravitationnelle est une force newtonienne aveck=Gm1m2. GNous verrons plus tard que l"interaction électrostatique est aussi une force newtonienne.

Pour une force newtonienne qui s"écrit

?f=-k r2?ur:

Üsik >0alors la force est attractive

Üsik <0alors la force est répulsive

II·1·ii- énergie potentielle associée

GReprenons la démonstration faite dans le cas d"une force centrale. f·d?r=-k r2?ur·(dr?ur+rd?ur) =-kr2dr?=-dEp

GEt ainsi :

dEp dr=kr2?Ep(r)=-kr+ Cte GEt avec la convention usuelleEp= 0quand?f=?0, nous trouvons ... L"énergie potentielle associée à la force newtonienne?f=-kr2?urs"écritEp(r)=-kr.

II·1·iii- intérêt

GLe problème des forces newtoniennes est historiquement important.

GEn effet, c"est en expliquant théoriquement le mouvement desastres,ie.en justifiant les lois expéri-

mentales deKépler, queNewtona imposé la théorie ... newtonienne.

GD"un point de vue pratique, ces forces et les résultats qui endécoulent sont intéressants car ils sont

connus de manière exacte pour le cas idéal.

GPour les cas réels, ceux s"écartant toujours de l"idéalité,la connaissance de résultats exacts permet

de simplifier la recherche de solutions par exemple en utilisant la méthode des perturbations (cf.

©Matthieu Rigaut9 / 33Version du 1 août 2011 PCSI1, Fabert (Metz) II·2 - Vision géométrique des trajectoires

l"exemple du pendule simple non linéaire) ou la méthode de résolution par ordre successifs (cf.

l"exemple de la déviation vers l"est). II·2 - Vision géométrique des trajectoires

II·2·i- c"est une conique

La trajectoire d"un point matériel dans un champ de force newtonien est une conique dont le centre de force est l"un des foyers. r(θ)=p

1 +ecos(θ-θ0)où :

Üpest le paramètre de la conique

Üeest l"excentricité de la conique

Üθ0est la direction de l"axe des foyers de la conique GRemarquons tout d"abord que nous n"avons pas le mouvementr(t)etθ(t)du point matériel mais uniquement sa trajectoire.

Gp,eont un caractère physique fort et dépendent donc des conditionsphysiqueset ce au contraire de

0qui ne dépend que du repérage choisi et qui n"a pas de valeur physique intrinsèque.

GDans le cas où nous avons le choix, nous nous arrangerons pouravoirθ0= 0,ie.pour mettre l"axe des foyers sur l"axe(Ox)du repère.

II·2·ii- les différents types

Lle cercle

Le cercle est une conique d"excentricité nulle,ie.e= 0.

GNous avons alorsr(θ)=p= Cte.

y x

Ll"ellipse

L"ellipse est une conique d"excentricitéetelle que0< e <1. ©Matthieu Rigaut10 / 33Version du 1 août 2011 PCSI1, Fabert (Metz) II·2 - Vision géométrique des trajectoires y xrmaxrmin 2a AP y x A

Pθ0

Graphique 1

GSur les exemples précédents, nous pouvons voir l"effet de l"excentricité sur la géométrie d"une ellipse.

Les 9 ellipses ont pour excentricité0,1;0,2;0,3; ... ;0,9. Plus l"excentricité est faible, plus l"ellipse ressemble àun cercle. Sur une trajectoire elliptique, le point le plus éloigné de l"astre au centre de force est appelé l"apoastre, le point le plus proche est lepériastre. Pour un mouvement autour du Soleil, les points remarquablessur une trajectoire elliptique sont l"aphélieet lepérihélie. Pour un mouvement autour de la Terre, les points remarquables sur une trajectoire elliptique sont l"apogéeet lepérigée.

GGéométriquement, nous pouvons voir que :

r max=p

1-e;rmin=p1 +e;rmax+rmin= 2a

Le demi-grand axeade l"ellipse caractérise une ellipse de manière plus naturelle. GC"est pourquoi nous exprimerons certaines lois en fonctiondeaet non depete. ©Matthieu Rigaut11 / 33Version du 1 août 2011 PCSI1, Fabert (Metz) II·2 - Vision géométrique des trajectoires

Lla parabole

La parabole est une conique d"excentricitée= 1. y x

θ0= 0

y x θ0

Ll"hyperbole

L"hyperbole est une conique d"excentricitée >1. y x y xθ0

GAvecr(θ)=p

1 +ecosθ, pour quer(θ)reste positif, il faut :

-θlim?θ?θlimoùθlim= arccos? 1 e?

L"hyperbole possède deux asymptotes.

©Matthieu Rigaut12 / 33Version du 1 août 2011 PCSI1, Fabert (Metz)II·3 - Approche énergétique

Graphique 2

GSur le graphique précédent, les coniques ont pour excentricité :0,9;0,95;0,975;1;1,2;1,4;1,7;

2,1;2,5;3;3,6;4,3;5,2;6,2.

Plus l"excentricité est elevée, plus les arcs d"hyperbole ressemblent à des droites.

Lnature des forces

GRappelons tout d"abord que l"accélération est dirigée versl"intérieur de la concavité (toujours) et

(ici) en direction du centre de force.

GAinsi, pour le cercle, l"ellipse, la parabole et l"hyperbole nous voyons que le centre de force peut être

à l"intérieur de la concavité, ce qui correspond à une force attractive. La trajectoire d"un point matériel dans un champ de force newtonien attractif peut être n"importe quel type de conique.

GLa seule trajectoire présentant un centre de force à l"extérieur de la cavité est l"hyperbole.

La trajectoire d"un point matériel dans un champ de force newtonien répulsif ne peut

être qu"hyperbolique.

GD"un autre côté, étant donné que nous nous limiterons dans cechapitre à la force gravitationnelle

qui est attractive, nous aurons toujours à déterminer la nature de la conique.

II·3 - Approche énergétique

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