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Primalité des nombres de Mersenne

Référence : Cours de calcul formel. Corps finis, systèmes polynomiaux, applications.

PhilippeSaux Picart, ÉricRannou

2011-2012

On appellenombres de Mersenneles

M q= 2q-1 pourq?N

On a d"abord le lemme :

Lemme 1

SiMqest un nombre premier, alorsqest premier.

Démonstration.Siqn"est pas premier,q=mn, avecm,n >2.

Et alorsMq= 2mn-1 qui est divisible par 2n-1.

On a une caractérisation :

Théorème 2

Pour tout nombre premier impairq:

M qest premier???

2 +⎷

3? 2q-1 ≡ -1 modMq.

On remarque qu"il faut se placer dans un corps où 3 admet une racine carrée. Dans la suite, on explicitera : on

prendraFMqou une de ses extensions.

Démonstration du sens direct.

Lemme 3

Pour tout entierknon nul,M2k+1est congru à 7 modulo 12.

Démonstration.Par récurrence :

(k= 1) : On a bien 22×1+1= 7. 1 (k→k+ 1) : On a modulo 12 : 2

2(k+1)+1-1≡4×22k+1-1

≡?22k+1-1?×4 + 3 ≡7×4 + 3 ≡7

Donc, pour toutqimpair,Mq≡7 mod 12.

Montrons maintenant que 3 n"est pas résidu quadratique moduloMq.

Pour cela, on montre le

Lemme 4

3 est résidu quadratique modulo un entier premierpsi, et seulement sip≡ ±1 mod 12.

Démonstration.Par la loi de réciprocité quadratique, on a : p 3? ?3p? = (-1)p-1 2.

Ainsi, par définition du symbole de Legendre :

3 résidu modulop??p

3? = (-1)p-1 2.

On remarque que le seul carré non nul deF3est 1, et donc 3 est résidu quadratique modulopsi, et seulement

sil"une des conditions est vérifiée : (i)p≡1 mod 3 etp-1

2est pair.

(ii)p≡2 mod 3 etp-1

2est impair.

Dans le premier cas,pest congru à 1 modulo 3 et 4, et donc modulo 12.

Dans le second cas,pest congru à 2 modulo 3, et 3 modulo 4, et donc par théorème chinois, à -1 modulo 12.♦

CommeMqn"est congru ni à 1, ni à -1 modulo 12, 3 n"est pas résidu quadratique moduloMq.X2-3 est donc

irréductible surFMq, et doncA=FMq[X]/(X2-3)est un corps, et on note la classe deXdansA⎷ 3.

On remarque de plus que 2

q+1≡2 modMq, et donc 2 admet une racine carrée⎷

2 := 2q+12.

On définit les quantités

ρ=1 +⎷

3⎷2etρ=1-⎷3⎷2.

On montre facilement queρ2= 2 +⎷

3 etρρ=-1.

De plus, on remarque que comme⎷

3 n"est pas résidu quadratique moduloMq, par petit théorème de Fermat :

3?

Mq= 3M

q-12⎷3 =-⎷3. CommeAest de caractéristiqueMq, on a par morphisme de Frobénius : a+b⎷ 3?

Mq=a-b⎷3.

2 De même, on aρMq=ρCommeAest de caractéristiqueMq, on a par morphisme de Frobénius : a+b⎷ 3?quotesdbs_dbs2.pdfusesText_2